19.3.1 第2课时 矩形的判定 课件 2025-2026学年沪科版 八年级数学下册

沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件） 19.3.1 第2课时 矩形的判定 第19章 四边形 授课教师： Home . 班 级： 八年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月6日 沪科版数学八年级下册19.3.1第2课时 矩形的判定 练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 一、选择题（每题10分，共30分） 1. 下列条件中，不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ） A. 四边形ABCD是平行四边形，且有一个角是直角 B. 四边形ABCD的四个角都是直角 C. 四边形ABCD是平行四边形，且对角线相等 D. 四边形ABCD的对角线互相垂直且相等 2. 已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=OB，则平行四边形ABCD是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 无法确定 3. 下列说法正确的是（ ） A. 有一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 有三个角是直角的四边形是矩形 D. 对角线互相平分的四边形是矩形 二、填空题（每题10分，共30分） 1. 已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，则四边形ABCD是________。 2. 平行四边形ABCD中，若对角线AC=BD=12cm，则平行四边形ABCD是________，其对角线的交点O到各顶点的距离为________cm。 3. 要判定一个平行四边形是矩形，可添加的条件是________（写出一个即可）。 三、解答题（40分） 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠AOB=90°，OA=3，OB=4。求证：平行四边形ABCD是矩形，并求其周长。 （要求：利用矩形的判定定理进行证明，步骤完整，逻辑清晰） 参考答案： 一、选择题：1.D 2.A 3.C 二、填空题：1. 矩形 2. 矩形，6 3. 有一个角是直角（或对角线相等，答案不唯一） 三、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD（平行四边形对角线互相平分）。 ∵∠AOB=90°，OA=3，OB=4，∴AB=√(OA²+OB²)=√(3²+4²)=5。 又∵OA=3，OB=4，∴AC=2OA=6，BD=2OB=8。 ∵平行四边形ABCD的对角线AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。 矩形ABCD中，AB=5，AD=√(BD²-AB²)=√(8²-5²)=√39（或用AC计算），周长=2(AB+AD)=2(5+√39)。 2026年4月6日星期一7时43分40秒 2026年4月6日星期一7时43分42秒 学习目标 1. 经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理. (重点) 2. 能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题. (难点) 问题1 矩形的定义是什么？ 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 问题2 矩形有哪些性质？ 矩形 边： 角： 对角线： 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 思考 工人师傅在做矩形门窗或零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？ 这堂课我们一起探讨矩形的判定吧. 类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法. 问题1 除了定义以外，还有其他判定矩形的方法吗？ 类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立. 矩形是特殊的平行四边形. 对角线相等的平行四边形是矩形 1 问题2 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？ 思考 你能证明这一猜想吗？ 我猜想：对角线相等的四边形是矩形. 不对，等腰梯形的对角线也相等. 不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分. 已知：如图，在□ ABCD中， AC = DB. 求证：□ ABCD 是矩形. A B C D 证一证 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD = BC，AD∥BC， ∴△ADC≌△BCD.∴∠ADC = ∠BCD. 又∵∠ADC +∠BCD = 180°， ∴∠ADC = ∠BCD = 90°. ∴ □ ABCD是矩形. 在△ADC 和△BCD 中， ∵ AD = BC，DC = CD，AC = BD， 矩形的判定定理1： 对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言描述： 在平行四边形 ABCD 中，∵ AC = BD， ∴ 平行四边形 ABCD 是矩形. A D C B 归纳总结 思考 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，其中一种方法就是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，那么窗框一定是矩形，你 现在知道为什么了吗？ 对角线相等的平行四边形是矩形. 　例1 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA = OD，∠OAD = 50°．求∠OAB 的度数． 　 A　 B　 C　 D　 O 解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC = AC， OB = OD = BD. 又∵ OA = OD， ∴ AC = BD. ∴ 四边形 ABCD 是矩形. ∴∠BAD = 90°. 又∵∠OAD = 50°， ∴∠OAB = 40°. 典例精析 例2 如图，在△ABC 中，AB = AC ，点 D 是 AC 的中点，直线 AE∥BC，过点 D 作直线 EF∥AB，分别交 AE ，BC 于点 E ，F. 求证：四边形 AECF 是矩形. 证明 ∵ AE // BC， ∴ ∠1 =∠2. 在 △ADE 和△CDF， ∵ ∠1 =∠2，AD = CD， ∠ADE = ∠CDF， ∴ △ADE≌△CDF. ∴ AE = CF. ∴ 四边形 AECF 是平行四边形. ∵ AE // BC，EF // AB， ∴ 四边形 ABFE 是平行四边形. ∴ EF = AB. ∵ AC = AB， ∴ EF = AC. ∴ 四边形 AECF 是矩形 . 问题1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，这个性质的逆命题是什么？成立吗？ 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形. 成立. 问题2 至少有几个角是直角的四边形是矩形？ A B D C (有一个角是直角) A B D C (有两个角是直角) A B D C (有三个角是直角) 猜测：有三个角是直角的四边形是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形 2 例3 如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C = 90°. 求证：四边形 ABCD 是矩形. 证明：∵∠A =∠B =∠C = 90°， ∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°. ∴ AB∥CD，AD∥BC. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 又∵∠A = 90°， ∴ 四边形 ABCD 是矩形. A B C D 几何语言描述： 在四边形 ABCD 中，∵∠A =∠B =∠C = 90°， ∴ 四边形 ABCD 是矩形. A B C D 归纳总结 矩形的判定定理 2： 有三个角是直角的四边形是矩形. 思考 一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？ 有三个角是直角的四边形是矩形. 例4 如图，□ ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 E、F、G、H，求证：四边形 EFGH 为矩形． 证明：在□ ABCD 中，AD∥BC， ∴∠DAB +∠ABC = 180°. ∵ AE 与 BG 分别为∠DAB、 ∠ABC 的平分线， A B D C H E F G ∴ 四边形 EFGH 为矩形． 同理可得∠FEH =∠EHG = 90°， ∴∠AFB = 90°. ∴∠GFE = 90°. ∴∠BAF +∠ABF = ∠DAB + ∠ABC = 90°. 例5 如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为 D，AN 是△ABC 的外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为 E，求证：四边形 ADCE 为矩形． ∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM. ＝ (∠BAC＋∠CAM )＝90°. 证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC. 又∵ AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线， ∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE 又∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC＝∠CEA＝90°. ∴ 四边形 ADCE 为矩形． 返回 ∠A＝90°(答案不唯一) 1．如图，D，E，F是△ABC各边的中点，请添加一个条件：____________________，使四边形AEDF是矩形． 中考考法 19 C 返回 2．在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，在下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是(　　) A．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90° B．AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝90° C．AD∥BC，∠ABC＋∠BCD＝180° D．∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD 中考考法 20 3．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC. 求证：四边形ABCD是矩形． 中考考法 21 返回 中考考法 22 4．已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是(　　) A．∠A＝90° B．∠B＝∠C C．AC＝BD D．AC⊥BD D 返回 中考考法 23 返回 5. 蓉蓉和德德参加数学实践活动，检验一个用断桥铝制作的四边形窗户是否为矩形，下面的测量方法正确的是(　　) A．度量窗户的两个角是否是90° B．测量窗户两组对边是否分别相等 C．测量窗户两条对角线是否相等 D．测量窗户两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D 中考考法 24 返回 ∠B＝90°(答案不唯一) 6. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD为矩形，只需要添加一个条件是 ___________________． 中考考法 25 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D，AB＝CD. ∵AE⊥BC，CF⊥AD， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°. ∴△ABE≌△CDF(AAS)． 7．[2025合肥月考]如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足． (1)求证：△ABE≌△CDF； 中考考法 26 返回 (2)求证：四边形AECF是矩形． 【证明】∵AE⊥BC，CF⊥AD， ∴∠AEB＝∠AEC＝∠AFC＝90°. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC.∴∠EAF＝∠AEB＝90°. ∴四边形AECF是矩形． 中考考法 27 返回 C 8．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是(　　) A．AB∥CD B．AD＝BC C．∠A＝∠B D．∠A＝∠D 中考考法 28 中考考法 29 中考考法 返回 【答案】C 中考考法 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为________． 中考考法 32 有一个角是直角的平行四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 运用定理进行计算和证明 矩形的判定 定义 判定定理 【证明】∵O是边AB的中点，∴OA＝OB. 在△AOD和△BOC中， ∴△AOD≌△BOC(ASA)．∴AD＝BC. ∵∠A＋∠B＝180°，∴AD∥BC. ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形． 9．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BD，AB＝5，BD＝4，CD＝3，E是AC的中点，则BE的长为(　　) A．2 B. C. D．3 【点拨】过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F，如图所示．∵AB∥CD，AB⊥BD，∴CD⊥BD.∵CF⊥AB，∴CF⊥CD.∴四边形BFCD是矩形．∴BF＝CD＝3，CF＝BD＝4.∴AF＝8. 在Rt△AFC中， AC＝＝4； 在Rt△BCF中，BC＝＝5.∴BC＝AB. ∴△ABC是等腰三角形．∵E是AC的中点，∴BE⊥AC，AE＝AC＝2.在Rt△ABE中，BE＝＝. 3 $