19.3.1 第2课时 矩形的判定(课件)2025-2026学年沪科版八年级数学下册

19.3.1 矩形 第2课时 矩形的判定 第 19 章 四边形 八年级下册数学（沪科版） 学习目标 1. 经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理. (重点) 2. 能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题. (难点) 问题1 矩形的定义是什么？ 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 问题2 矩形有哪些性质？ 矩形 边： 角： 对角线： 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 导入新课 思考 工人师傅在做矩形门窗或零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？ 这堂课我们一起探讨矩形的判定吧. 类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法. 问题1 除了定义以外，还有其他判定矩形的方法吗？ 类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立. 矩形是特殊的平行四边形. 对角线相等的平行四边形是矩形 1 新知探究 问题2 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？ 思考 你能证明这一猜想吗？ 我猜想：对角线相等的四边形是矩形. 不对，等腰梯形的对角线也相等. 不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分. 已知：如图，在□ ABCD中， AC = DB. 求证：□ ABCD 是矩形. A B C D 证一证 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD = BC，AD∥BC， ∴△ADC≌△BCD.∴∠ADC = ∠BCD. 又∵∠ADC +∠BCD = 180°， ∴∠ADC = ∠BCD = 90°. ∴ □ ABCD是矩形. 在△ADC 和△BCD 中， ∵ AD = BC，DC = CD，AC = BD， 矩形的判定定理1： 对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言描述： 在平行四边形 ABCD 中，∵ AC = BD， ∴ 平行四边形 ABCD 是矩形. A D C B 归纳总结 思考 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，其中一种方法就是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，那么窗框一定是矩形，你 现在知道为什么了吗？ 对角线相等的平行四边形是矩形. 　例1 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA = OD，∠OAD = 50°．求∠OAB 的度数． 　 A　 B　 C　 D　 O 解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC = AC， OB = OD = BD. 又∵ OA = OD， ∴ AC = BD. ∴ 四边形 ABCD 是矩形. ∴∠BAD = 90°. 又∵∠OAD = 50°， ∴∠OAB = 40°. 典例精析 例2 如图，在△ABC 中，AB = AC ，点 D 是 AC 的中点，直线 AE∥BC，过点 D 作直线 EF∥AB，分别交 AE ，BC 于点 E ，F. 求证：四边形 AECF 是矩形. 证明 ∵ AE // BC， ∴ ∠1 =∠2. 在 △ADE 和△CDF， ∵ ∠1 =∠2，AD = CD， ∠ADE = ∠CDF， ∴ △ADE≌△CDF. ∴ AE = CF. ∴ 四边形 AECF 是平行四边形. ∵ AE // BC，EF // AB， ∴ 四边形 ABFE 是平行四边形. ∴ EF = AB. ∵ AC = AB， ∴ EF = AC. ∴ 四边形 AECF 是矩形 . 1. 如图，在□ ABCD 中，AC 和 BD 相交于点 O，则下面条件能判定 □ ABCD 是矩形的是 （　　） A．AC = BD B．AC = BC C．AD = BC D．AB = AD A A D C B O 练一练 2. 如图，□ ABCD 中，∠1 =∠2，此时四边形 ABCD 是矩形吗？为什么？ A B C D O 1 2 解：四边形 ABCD 是矩形. 理由如下： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AO = CO，DO = BO. 又∵∠1 = ∠2， ∴ AO = BO. ∴ AC = BD. ∴ □ ABCD 是矩形. 14 问题1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，这个性质的逆命题是什么？成立吗？ 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形. 成立. 问题2 至少有几个角是直角的四边形是矩形？ A B D C (有一个角是直角) A B D C (有两个角是直角) A B D C (有三个角是直角) 猜测：有三个角是直角的四边形是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形 2 例3 如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C = 90°. 求证：四边形 ABCD 是矩形. 证明：∵∠A =∠B =∠C = 90°， ∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°. ∴ AB∥CD，AD∥BC. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 又∵∠A = 90°， ∴ 四边形 ABCD 是矩形. A B C D 几何语言描述： 在四边形 ABCD 中，∵∠A =∠B =∠C = 90°， ∴ 四边形 ABCD 是矩形. A B C D 归纳总结 矩形的判定定理 2： 有三个角是直角的四边形是矩形. 思考 一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？ 有三个角是直角的四边形是矩形. 例4 如图，□ ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 E、F、G、H，求证：四边形 EFGH 为矩形． 证明：在□ ABCD 中，AD∥BC， ∴∠DAB +∠ABC = 180°. ∵ AE 与 BG 分别为∠DAB、 ∠ABC 的平分线， A B D C H E F G ∴ 四边形 EFGH 为矩形． 同理可得∠FEH =∠EHG = 90°， ∴∠AFB = 90°. ∴∠GFE = 90°. ∴∠BAF +∠ABF = ∠DAB + ∠ABC = 90°. 例5 如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为 D，AN 是△ABC 的外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为 E，求证：四边形 ADCE 为矩形． ∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM. ＝ (∠BAC＋∠CAM )＝90°. 证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC. 又∵ AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线， ∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE 又∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC＝∠CEA＝90°. ∴ 四边形 ADCE 为矩形． 在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的 4 位同学分别拟定了如下的方案，其中合理的是 （　　） A．测量对角线是否相等 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三个角是否都为直角 D 练一练 1. 下列判定矩形的说法是否正确？ （1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （3）有一个角是直角的四边形是矩形； （5）有三个角是直角的四边形是矩形； （6）四个角都相等的四边形是矩形； （7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （4）有三个角都相等的四边形是矩形； × × × × √ √ √ √ （8）一组对角互补的平行四边形是矩形. 课本练习 2. 如图，直线 EF∥MN，PQ 交 EF、MN 于 A、C 两点，AB、CB、CD、AD 分别是∠EAC、∠MCA、∠ ACN、∠CAF 的平分线，则四边形 ABCD 是 （ ） A. 梯形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 不能确定 D E F M N Q P A B C C 23 3. 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD， ∠BAD = 90°，AB = 5，BC = 12，AC = 13． 求证：四边形 ABCD 是矩形． 证明：四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠BAD = 90°， ∴∠ADC = 90°. 在△ABC 中，∵ AB = 5，BC = 12，AC = 13， ∴ AB2 + BC2 = AC2. ∴△ABC 是直角三角形，且∠B = 90°. ∴ 四边形 ABCD 是矩形． A B C D 4. 如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，延长 OA 到 N，使 ON＝OB，再延长 OC 至 M，使 CM＝AN. 求证：四边形 NDMB 为矩形． 证明：∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ OA＝OC，OD＝OB. ∵ AN＝CM，ON＝OB， ∴ ON＝OM＝OD＝OB. ∴ 四边形 NDMB 为平行四边形，且 MN＝BD. ∴ 平行四边形 NDMB 为矩形. 5. 如图，△ABC 中，AB＝AC，AD 是 BC 边上的高，AE 是外角的平分线，DE∥AB 交 AE 于点 E，求证：四边形 ADCE 是矩形． 证明：∵ AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠B＝∠ACB，BD＝DC. ∵ AE 是△ABC 的外角平分线， ∴∠FAE＝∠EAC. ∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC， ∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC. ∴ AE∥BC. 又∵DE∥AB，∴ 四边形 AEDB 是平行四边形. ∴ AE 平行且等于 BD. 又∵ BD＝DC， ∴ AE 平行且等于 DC. 故四边形 ADCE 是平行四边形. 又∵∠ADC＝90°， ∴ 平行四边形 ADCE 是矩形. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 运用定理进行计算和证明 矩形的判定 定义 判定定理 课堂小结 $