2026年九年级中考数学复习第三模块 函数及其图象-第15讲 二次函数的实际应用课件

第三模块 函数及其图象 第15讲 二次函数的实际应用 1 01 依据课标·过教材 2 考点 二次函数的实际应用 1.二次函数 的最值 （1）如果，当_ ____时，函数有最小值，最小值为 _______. （2）如果，当_ ____时，函数有最大值，最大值为 _______. 3 2.常见问题类型 常见类型 关键步骤 抛物线型问题 建立方便求解析式的平面直角坐标系，找到图象上三个点的坐标，用待定 系数法求二次函数的解析式 销售利润问题 厘清各个量之间的关系，找出等量关系求得解析式，根据要求确定函数的 最值或建立方程求解 图形面积问题 利用几何知识用变量表示出图形的面积 ，根据要求确定函数的最值或建 立方程求解 4 02 典题精练·提方法 5 1.如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.图2是喷灌架为一坡地 草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是 .当喷射 出的水流与喷灌架的水平距离为时，达到最大高度 .现将喷灌架置于坡地底部 的点处，草坡上距离点水平距离为的点处有一棵高度为的小树 ， 垂直于水平地面且点处到水平地面的距离为 . 6 （1）求该抛物线水柱的函数解析式； 解：由题意，得抛物线的顶点坐标为 . 设抛物线的解析式为 . 又 抛物线过点，, . 该抛物线的解析式为 . 7 （2）求水柱的高度与斜坡铅垂高度差的最大值； 解：由题意，得点的坐标为， 直线的解析式为 . 由（1）知，抛物线的解析式为 ， 水柱的高度与斜坡铅垂高度的差为 . 又， 当 时，水柱的高度与斜坡铅垂高度的差最大，最大值为 . 8 （3）若距离喷水头水平距离为的 处及其右侧有银杏树，由于刚在树干部分涂 抹过防虫药物不能灌溉，则应将移动灌溉装置向左至少移动多少米，才能避开对银杏 树的灌溉？ 解：由题意，设应将移动灌溉装置向左至少移动 . 则此时的解析式为 . 要避开对银杏树的灌溉， 当时， . . （负值已舍去）. 应将移动灌溉装置向左至少移动 . 9 与抛物线有关的生活场景模型，有运动轨迹、隧道、大棚蔬菜的工棚等，解决这类实 际问题时，首先要根据题意建立合适的平面直角坐标系，进而确定二次函数的解析式. （1）求高度时，一般是求二次函数图象顶点的纵坐标，或先求出自变量的取值范围， 再利用函数的增减性求二次函数的最值.注意求出函数的最值后要检验函数的最值与 实际问题中的最值是否一致. （2）求水平距离时，一般令函数值 ，解出一元二次方程的两个根，求两根之差 的绝对值. 10 变式： 在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点 处 抛出一个小球，落到点 处.小球在空中所经过的路线是抛物线 的一部分. （1）求抛物线的解析式； 解：是抛物线 上的一点， ,即. . 抛物线的解析式为 . （2）求抛物线最高点的坐标； 解： 抛物线的解析式为 ， 抛物线最高点的坐标为 . 11 （3）斜坡上点处有一棵树，点是的三等分点，小球恰好越过树的顶端 ，求这 棵树的高度. 解：如图，过点，分别作轴的垂线，垂足分别是， . ， ， . 已知是 的三等分点， 12 ①当点更靠近点时， . 点的坐标为 ， ， . . , . 点 的横坐标为1. 将代入,得 . 点的坐标为 . . . 13 ②当点更靠近点时， . . , . 点 的横坐标为2. 将代入，得 . 点的坐标为 . . 综上所述，这棵树的高度是2. 14 2.某公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售.根据市场调查，每辆轮椅盈利 200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆.公司决定在成本不 变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元.设每辆轮椅降价 元，每天的 销售利润为 元. （1）求关于 的函数解析式.每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利 润为多少元？ 解： . ， . 由,得当 时，利润最大，最大利润为 （元）. 关于的函数解析式为 ；每辆轮椅降价20元时，每天的 销售利润最大，最大利润为12 240元. 15 （2）全国助残日当天，该公司共获得销售利润12 160元，这天共售出了多少辆轮椅？ 解：由题可知 . , 即 . 解得（不符合题意，舍去）， . 售出轮椅的辆数为 （辆）. 答：这天售出了64辆轮椅. 16 以热点新闻为背景创设的销售问题是把实际问题与相关知识联系在一起,这类问题主 要是求利润最大、方案最优等，解决这类问题的一般步骤如下： （1）仔细分析题意,弄清销售中的实际数量关系,建立相应的二次函数模型，求出二次 函数的解析式. （2）确定自变量的取值范围. （3）把二次函数的一般式化为顶点式，利用二次函数的增减性来确定其最值，注意 自变量的取值范围. 17 变式： 2025年春节期间，我国的一部国产动画电影刷新了中国电影票房的新纪录， 商家推出A，B两款该电影人物形象纪念品.已知购进A款200个，B款300个，需花费 14 000元；购进A款100个，B款200个，需花费8 000元. （1）A，B两款纪念品每个的进价分别为多少元？ 解：设A款纪念品每个的进价为元，B款纪念品每个的进价为 元. 由题意得 解得 款纪念品每个的进价为40元，B款纪念品每个的进价为20元. 18 （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12 000元资金购进A，B两款纪 念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ 解：设需要购进B款纪念品个，则需要购进A款纪念品 个. 由题意，得，解得 ， 的最小值为200. 至少需要购进B款纪念品200个. 19 （3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价为60元时，可售出200个，售价每增加 1元，销售量将减少5个.设每个A款纪念品售价为元， 表示该商家销 售A款纪念品的利润（单位：元），求关于的函数解析式，并求出 的最大值. 解：由题意，得 . ， ， 当时， 最大，最大值为4 500. 20 03 真题展示·悟考向 21 命题点一 销售问题或方案最优问题 1.某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于 进价时，日销售量（单位：盒）与销售单价（单位：元）是一次函数关系.下表是 与 的几组对应值. 销售单价 元 … 12 14 16 18 20 … 销售量 盒 … 56 52 48 44 40 … 22 （1）求关于 的函数解析式. 解：设一次函数的解析式为 . 由题意，得解得 . （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大？最大利润是多少元？ 解：设日销售利润为 元. . 糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元. 23 （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为 元的礼品.赠送礼品 后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求 的值. 解： . 最大利润为392元， . 整理，得,即 . 解得， . 当时， . 此时每盒糖果的利润为 （元），不符合实际，舍去. . 24 命题点二 抛物线型问题 2.如图，一小球从斜坡 点向一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数 的图象刻画，斜坡可以用一次函数 的图象刻画.小球飞行 的水平距离（单位：）与小球飞行的高度（单位： ）的变化规律如下表所示： 0 1 2 4 5 6 7 … 0 6 8 … 25 （1）①___， _ ______________________； 3 [解析] 根据小球飞行的水平距离（单位：）与小球飞行的高度（单位： ）的 变化规律表可知，抛物线的顶点坐标为 . 则解得 二次函数的解析式为 . 当时，，解得或（舍去） . 当时， . 26 ②小球的落点是，求点 的坐标. 解：由 解得或 点的坐标是 . 27 （2）小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）满足关系 . ①小球飞行的最大高度为___ ； 8 ②求 的值. 解：，则 . 解得 （负值已舍去）. 28 04 跟踪训练·提素养 29 ·基础过关练· 1.如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置 ，喷头 向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线 路径落下.如图，在平面直角坐标系中，水流喷出的高度 （单位：）与水平距离（单位： ）之间的关系式是 ，水流喷出的最大高度是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 30 2.如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过 ，其 余的三边，，是篱笆，且这三边的和为.有下列结论： 的长可以为 ；的长有两个不同的值满足菜园的面积为；③菜园 面积 的最大值为 .其中，正确结论的个数是( ) C A.0 B.1 C.2 D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 31 3.在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度 （单位：厘米/天）和光照 强度（单位：勒克斯）之间存在一定关系.在低光照强度范围 内， 与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与 近似成二次函 数关系.其部分图象如图所示.根据图象，下列结论正确的是( ) B A.当时，随的增大而减小 B.当时， 取得最大值 C.当时， D.当时， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 32 4.为了实时规划路径，卫星导航系统需要计 算运动点与观测点之间距离的平方.如图1， 是一个固定观测点，运动点从 处出发，沿 笔直公路向目的地处运动.设为 单位：，为 （单位：）.如图2，关于 的函数图象 D A. B. C.点的纵坐标为240 D.点 在该函数图象上 与轴相交于点，最低点为，且经过和 两点.下列选项正 确的是( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 33 5.九年级（2）班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来 长的围栏，准备围 成一边靠墙（墙足够长）的菜园.为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、 等腰三角形（底边靠墙）和半圆形这三种方案.最佳方案是( ) C 方案1 方案2 方案3 A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.方案1或方案2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 34 6.如图，小明的父亲想用长为 的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形菜园.已知 房屋外墙长，则可围成的菜园的最大面积是_____ . 450 1 2 3 4 5 6 7 8 9 35 7.图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分.棚顶的竖直高度 （单位：）与距离停车棚支柱的水平距离（单位： ）近似满足函数关系 ，图象如图2所示，点 在图象上.若一辆厢式货车需 在停车棚下避雨，货车截面可看作长，高 的矩形，则可判定该 货车____（填“能”或“不能”）完全停到车棚内. 能 图1 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 36 8.学校计划租用客车送师生到某红色基地参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活 动.请阅读下列材料，并完成相关问题. 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员的情况下，每辆A型客 车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车 辆数相同 材料二 A型客车的租车费用为3 200元/辆；B型客车的租车费用为3 000元/辆. 优惠方案：若租用A型客车辆，则租车费用为 元/辆； 若租用B型客车，则租车费用打八折 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动的师生共有530人，租用A，B两种型号的客车共10辆 1 2 3 4 5 6 7 8 9 37 （1）求A，B两种型号的客车每辆的载客量; 解：设A型客车每辆的载客量为人，则B型客车每辆的载客量为 人. 根据题意，得.解得 . 经检验， 是所列方程的解，且符合题意. （人）. 答：A型客车每辆的载客量为60人，B型客车每辆的载客量为45人. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 38 （2）本次研学活动学校的租车费用最少是多少？ 解：设租用A型客车辆，则租用B型客车 辆. 根据题意，得解得 . 设本次研学活动学校的租车总费用为 元，则 抛物线的对称轴为直线 ， 当时，随着 的增大而增大. 取正整数，且 ， 当时，取得最小值，最小值为 . 答：本次研学活动学校的租车费用最少是27 000元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 39 9.某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，发现该航模飞机相对于出发 点的飞行水平距离（单位：）与飞行时间（单位： ）之间的函数关系式为 ，该航模飞机相对于出发点的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位： ） 之间的函数关系式为为常数, .如图，若该航模飞机从水平安全 线上的点处发射，则飞机再次落到水平安全线上时飞行的水平距离为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 40 （1）求 的值. 解：对于，当时， ， . 当时，，即 . . （2）求关于的函数解析式，并求出飞行高度 的最大值. 解：， . ，且 ， 当时， 最大，最大值为75. 飞行高度的最大值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 41 （3）该活动小组在水平安全线上的点 处设置了一个高度可以变化的发射平台进行试 飞训练，且发射平台高度（单位：）的取值范围为 ，并在水平安全线上 设置一个飞机降落区域.若要保证飞机能降落在区域内，求线段 的最小长度. 解：当最小时， . 当时，该航模飞机的飞行高度与的函数解析式为 . 令，即，解得, （不符合题 意，舍去）. . 线段的最小长度为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 42 ·素养提升练· 1.一款抛物线形状的落地灯示意图如图，防滑螺母 为抛物线支架 的最高点，灯罩距离地面，最高点 距灯柱的水平距离为 ，灯柱 .若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯 柱的距离 为( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 43 2.某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元.在销售过程中，每天的销售量 （单位：个）与销售价格（单位：元/个）的关系如图所示.当 时，其图 象是线段 ，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为_____元. （利润 总销售额-总成本） 121 1 2 3 4 5 44 3.九年级（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上的两段围墙 ，，且于点（如图），其中上的 段围墙空缺.同学们测得 ，，，， .班长买来可切断的围栏 ，准备利用已有围墙围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地的最大面积是_____ . 46.4 1 2 3 4 5 45 [解析] 设矩形在上的一段长为，矩形菜地的面积是 . ①当时， . 当时，取最大值，最大为 ， ②当时， . 由于在的范围内，均小于 ， 综上所述，该菜地的最大面积为 . 1 2 3 4 5 46 4.一个装满水的水杯竖直放置在水平桌面 上时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓 线，都是抛物线的一部分.已知水杯底部宽为，水杯高度为 ， 杯口直径为，且.以杯底的中点为原点，以所在直线为 轴，的垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系. 图1 图2 1 2 3 4 5 47 （1）轮廓线，所在的抛物线 的解析式为_ ___________. （2）将水杯绕点倾斜倒出部分水，杯中水面 ，如图2.当倾斜角 时，水面的宽度____ . 14 图1 图2 1 2 3 4 5 48 5.【问题背景】对于一个函数，当存在自变量时，其对应的函数值 ，那 么我们称该函数为“不动点函数”， 为该函数图象上的一个“不动点”.例如：在函 数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”， 为该函 数图象上的一个“不动点”.某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了 相关探究. 1 2 3 4 5 49 【探究1】 （1）对一次函数 进行探究后，得出下列结论： ① 是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是 ； ③ 是“不动点函数”，且有无数个不动点. 以上结论中，你认为正确的是____（填序号）. ③ [解析] ①对于，，不是“不动点函数”. 错误. ②对于，代入点，得，解得. 是“不动点函数”，且不动点是.错误 是“不动点函数”，且有无数个 不动点. 正确. 故答案为③. 1 2 3 4 5 50 （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出， 应满足的条件. 解： 一次函数 是“不动点函数”， 代入点，得 . 整理,得 . 当，即且时， 为任意实数. 当,即时， . 1 2 3 4 5 51 【探究2】 （3）对二次函数 进行探究后，该小组设计了以下问题：若 抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求， 满足的关系式. 解：由抛物线，得顶点坐标为 . 抛物线 的顶点为该函数图象上的一个不动点， ,即 . 1 2 3 4 5 52 【探究3】 （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件元出售，可卖出 件，获得利润元.请写出关于 的函数解析式，判断该函数是否为“不动点函数”，并说 明理由.若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义. 解：根据题意，得 . 令 ， 整理,得.解得， . 该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为在这段时间内，当销售单价为8 元或9元时，销售总利润与销售单价相等. 1 2 3 4 5 53 $