安徽省合肥市第八中学等校2025-2026学年高二下学期4月学情检测数学试题C

高二4月数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.AC8= A.1120 B.1680 C.2240 D.3360 2若函数f)是+a的导函数为∫(x),且/2)=f(2),则a= A.0 c-4 D.、3 3.设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,若S19=20a1o,则Sg= A.S10 B.S11 C.S12 D.S13 ④.已知双曲线C:-Y1(@>0.6>0)的离心率为2，则x轴正半轴上到C的渐近线距离2 2的点的横坐标为 A.25 B.4 C.26 D.4 3 3 5.小明家过年贴窗花，要把马、到、成、功、春五个字贴成一排，则春字不在两端的贴法有 A.96种 B.72种 C.60种 D.48种 6.函数f(x)=(x2-3x+1)e*-1的最小值为 A.-e B.-e2 C.5e2 D.e 数学(C)第1页（共4页） 7.已知正项等比数列{an}的公比为q(q≠1)，前99项和为A,数列{√an}的前9项和为B, 则数列{(-1)”√an}的前99项和为 a台 B.4 B2 c- 8.已知a=ln96=-7,c=-sim7,则 A.c<b<a B.b<a<c C.a<b<c D.a<c<b 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.若{α，b,c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是 A.a,-b,c B.a-b,b-c,c-a C.a+b,2a +b,4a +3b D.2a-b,c-a,a+b+c 10.已知函数f(x)的导函数f'(x)在[-4,3]上的图象如图所示，则下列说法正确的是 -4 -2 23x A.f(x)在(-2,2)上单调递减 B.当x=-2时，f(x)取得极大值 C.当x=2时，f(x)取得极小值 D.f(3)是f(x)在[-4,3]上的最大值 11.若数列{an}满足：存在正整数k,使得n>k时恒有an+an-k=c(c为常数)，则称数列{an}为 “k阶等和数列”，其中c为该数列的“阶和”.已知无穷数列{b}是“3阶等和数列”，b1=1, b2=2,b3=3,且“阶和”c=4,记数列{bn}的前n项和为Sn,则下列说法正确的是 A.on+6=bn B.存在正整数m,使得bm=0 C.存在无穷多个正整数p,使得S2,=2S。 D.当Bn=1bn-21,且{Bn}的前m项和为2026时，m=3039 数学(C)第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.曲线y=cosx+e在x=0处的切线方程为 13.某市派4位专家到西部某市2家医院坐诊，每家医院至少去1名专家，且每名专家只去1 家医院，则不同的分配方案种数为 14.已知数列{an}的前n项和Sn满足4Sn=6+an,则Sn的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知直线l:x+ay-2=0. (1)若直线1'：3x-y=0与l垂直，求a的值； (2)若直线l与抛物线y2=2x交于A,B两点，0为坐标原点，求证：OA⊥OB. 16.(15分) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S,=a2s=-49. (1)求an与Sn; (2)若.=二48，求6，的前n项和T anan+l 数学(C)第3页（共4页） 17.(15分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B,C1中，侧面ACC1A1是边长为3的正方形，D为AB1的中点， AD∩AB=E,点F满足BF=2F元 (1)求证：EF∥平面ACC1A1; (2)若BC=BA1,BA1·BA=9,求平面AC,E与平面EFC1夹角的余弦值. A D E A B 18.(17分) 已知函数f(x)=lnx-2x+k√x(k∈R). (1)若太=0，求x)在[4,2上的最小值； (2)讨论f(x)的零点个数； (3)若x)有两个不同的零点名，（名<），证明：+区>号 19.(17分) 已知曲线C:x2+2g 2+=3经过椭圆D:多+1(0>0,6>0，a≠6)的左、石顶点4 A2,圆E:x2+(y-3)2=2(r>0)的圆心为D的一个焦点. (1)求C,D的方程，并判断C与D的公共点个数. (2)若r=23, (i)证明：C上的点都在圆E内； (ⅱ)已知圆E与直线y=√3分别交于点G,H(点G在y轴左侧)，点P(4√3，t)(t≠ √3)，直线PG,PH分别与E交于另外一点M,N,当t变动时，证明直线GM,GW的 斜率之积为定值，且直线MN过定点. 数学(C)第4页（共4页）高二4月数学(C)答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.答案A 命题透析本题考查排列数与组合数的计算。 解折A=5×4=20.G-交79=56，放原式=20×56=120 2.答案B 命题透析本题考查导数的计算。 解析由)=之+a=2+a,得∫()=-2一是，由九2)=2)，得}+a=-子解得a=分 3.答案B 命题透析本题考查等差数列的性质. 解析因为Sg 19(a+ao）=19a0=20a0,所以ao=0,4+ao+au=3an=0,所以S,=S 2 4.答案D 命题透析本题考查双曲线的几何性质， 解析由C的商心率为2，得品-√1+（合 =2,得6=5，所以C的一条渐近线的方程为y=√5x,设所求 点的横坐标为5（，>0)，则3二02，解得= /(5)2+1 5.答案B 命题透析本题考查排列组合的应用。 解析5个字全排列有A;=120种情况，春字在两端的情况有2A4=48种，故春字不在两端的贴法有120- 48=72(种). 6.答案A 命题透析本题考查利用导数研究函数的极值与最值. 解析由fx)=(x2-3x+1)é-1，得f(x)=(x2-x-2)e-1=(x+1)(x-2)e-1.令f'(x)=0,得x=-1或 x=2,当x<-1或x>2时'(x)>0,f(x)单调递增，当-1<x<2时f'(x)<0,f(x)单调递减，所以f(x)的极小 值为f(2)=(2-3×2+1)e=-e,又当x→-∞时，f(x)0且f(x)>0,所以f(2)=-e也是f(x)的最小值 一1 7.答案C 命题透析本题考查等比数列的前n项和公式 解析由题知数列{an},{√an},{(-1)”√an均为等比数列，首项分别为a,√a1,-√a1,公比分别为g, ,-,且g=AYa1-（三B,设数列1(1a,的前9项和为Q,则0 1-√9 -1-(-)1.-回1+()”门，所以0=a,”）:-A,所以Q=-合 1+/g 1+√q 1-9 8.答案C 命题透析本题考查构造函数并利用导数比较大小 解析设x)=lnx-x(0<x<1),则f'(x)=1->0f代x)在(0,1)上单调递增，所以fx)<n1-1=-1,即 nx<x-1(xe(0,),取x=号，得1n号<-7，即a<b:设g()=sinx-x(x<0),则g()=csx-1≤0， g()在(-0,0)上单调递减，所以g(x)>in0-0=0,所以x<nx(x<0),取x=-7,得-7< sim(-）-im7,即b<6故a<b<c 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案AD 命题透析本题考查空间向量基本定理 解析对于A,易得a,-b,c不共面，故A正确； 对于B,因为a-b+b-c+c-a=0,所以a-b,b-c,c-a共面，故B错误； 对于C,因为4a+3b=2(a+b)+2a+b,所以a+b,2a+b,4a+3b共面，故C错误； 对于D,假设2a-b,c-a,a+b+c共面，则存在实数x,y,使得a+b+c=x(2a-b)+y(c-a),因为a,b,c不共 2x-y=1, 面，所以-x=1,该方程组无解，所以假设不成立，故D正确 y=1, 10.答案ABC 命题透析本题考查根据导函数的图象判断函数的性质， 解析对于A,由题图可知x∈(-2,2)时，∫'(x)<0,(x)单调递减，故A正确； 对于B,C,由题图易知f(x)在(-4，-2)上单调递增，在(-2,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增，所以当x= -2时，f(x)取得极大值，当x=2时，f(x)取得极小值，故B,C正确； 对于D,f(x)在[-4,3]上的最大值应是f(3)与f(-2)中的较大者，故D错误. 2 11.答案ACD 命题透析本题考查新定义及数列的运算、 解析对于A,由题意知bn+3+bn=4,bn+6+bn3=4,两式相减，得bn+6=bn,故A正确； 对于B,数列{b,}的前6项依次为1,2,3,3,2,1，结合b+6=bn可知{b,}是周期为6的周期数列，其各项依次 为1,2,3,3,2,1，…，故B错误； 对于C,由对B的分析可得S12m=2S6m=24n,故C正确； 对于D,易知Bn+3=Bn,且{Bn}的前6项依次为1,0,1,1,0,1，记{Bn的前n项和为Tn,则Tm=2n,T39= 2026,即{Bn}的前m项和为2026时，m=3039,故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.答案x-y+2=0 命题透析本题考查导数的几何意义， 解析设f八x)=cosx+e,则f"(x)=-sinx+e,所以f(0)=2,f'(0)=1,所以所求切线方程为y-2=x-0, 即x-y+2=0. 13.答案14 命题透析本题考查排列组合和计数原理， 解析先将4名专家分成2组，共有CC+CGC=7种不同的分组方法，再将这2组分给2家医院，有好： A 2种不同方法，根据分步乘法计数原理，知共有7×2=14种不同的分配方案。 14答案号 命题透析本题考查递推数列、等比数列的性质。 解析因为45.=6+a,当n=1时，4S,=6+S,得S=2当n≥2时，4.=6+S-S.-1,即S.=-号51+2， 整理可得5.-子-(312)所以数列小.-}是以2为首项，方为公比的等比数列，所以5.- 子=2×(-专s,=子+2×(-3).当n为奇数时，8e(受，]，当m为偶数时se[子2} 则S,的最小值为子 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.命题透析本题考查两直线的位置关系和直线与抛物线的位置关系， 解析(1)由题知直线的斜率'=3，…(1分) 设直线l的斜率为飞，则k=- ……（(2分）》 因为11，所以k…尺=-13=-1，(4分) a 一3 解得a=3. …(6分) (2)直线1：x+ay-2=0与抛物线y2=2x的方程联立，消去x,得y2+2ay-4=0,△=4a2+16>0,…(8分)》 设A(受n),(空小则=-4， …（10分) 所以O.0成_y2) 4 +y1y2=4-4=0, 所以OA⊥OB. (13分) 16.命题透析本题考查等差数列的通项公式与前项和公式，分组、裂项相消法求和. 解析(1)设{an}的公差为d. r7a1+21d=-49, 由S7=a25=-49,得 (2分) [a1+24d=-49, 解得a1=-1,d=-2,… (4分) 所以an=a1+(n-1)d=-1+(n-1)×(-2）=-2n+1,… (6分) S.=(a,+a）-n-l,2n+=-. 2 (8分) 2 (2)由(1)知an=-2n+1,Sn=-n2, 所以&-2ntn-2n-1‘02n-n-1+2h分》 所以a+-+++22 =+-2)-20 …(15分)） 17.命题透析本题考查线面平行的证明和利用空间向量求两平面的夹角， 解析(1)如图，连接A1C 因为D为AB,的中点，所以E _BA=2, EA DA (1分) 因为B成=2元，所以5=2， (2分) 所以既瓷所以EF∥A,C … (4分) 因为EF平面ACC,A1,A1CC平面ACC,A1,所以EF∥平面ACC1A1.…(6分) 0 B (2)在直三棱柱ABC-AB1C,中，AB⊥AA1, 因为BC=BA1,BA=BA,AA1=AC,所以△BAC≌△BAA1,所以AB⊥AC, 所以AB,AC,AA1两两互相垂直. (7分) 因为BA.BA=B=9,所以AB=3. 以A为坐标原点，AB,AC,AA,所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(0,0,3),C1(0,3,3),E(1,0,2),F(1,2,0), 所以EC=（-1,3,1),E市=(0,2，-2)，EA=（-1,0,1). (9分) 设平面A1C,E的法向量为m=(x,y,z), m·EC1=0, 「-x+3y+z=0, 则 即 m·EA=0,【-x+z=0, 取x=1,得m=（1,0,1).… (11分) 设平面EFC1的法向量为n=(a,b,c), rn·EC=0, r-a+3b+c=0, 则 即 n·E=0, 2b-2c=0, 取c=1,得n=(4,1,1) (13分) 设平面AC,E与平面EFC1的夹角为0， 则9：惯a后名 5 故平面AC,E与平面EFC,夹角的余弦值为 (15分) 18.命题透析本题考查利用导数研究函数的性质。 解折（D当=0时)=血-2f()=士-2=2，e(0,+0), 易知)在[子，]上单调递增，在2,2上单调递减， … (2分) 汉4)-2)=n4-号-(m2-4)=子-32>2-3=2>0， 所以)>f2)x)在[4,2]上的最小值为f2)=ln2-4 (5分) (2)由f(x)=0,得k=2x-1nx √ 设丘=t,由题意知t>0,则2x-血x=2-2血E t 所以方程表=21-2h的实根个数就是/)的零点个数…(6分) 5 设60-2-2h则g0)=2-2-22+21-2 2 设a()=22+2ht-2,则k(0)=4t+2>0, 所以h(t)在(0，+∞)上单调递增，又h(1)=0, 所以当te(0,1)时，h(t)<0,g'(t)<0,g(t)单调递减， 当te(1,+∞)时，h(t)>0,g'(t)>0,g(t)单调递增， 所以g(t)的最小值为g(1)=2,g(t)在(0,1)，(1，+∞)上的取值范围都是(2，+∞)，…(10分) 所以k<2时，方程k=26-2血没有实根代x)没有零点，k=2时，方程k=2:-21n有1个实根x)有1个零 t 点，k>2时，方程k=2-2有2个实根x)有2个零点。…(12分 [In x-x+k=0,[2n2+=0, (3)设√x1=t1,√无=2，则由fx1)=f)=0,得{ 即 nx-2x2+k√=0,21n2-2号+t2=0, 两式相减，得2n4-1h)-2(G-)+66-4)=0,整理得k=24+)-2-n).…(14分) t1-t2 要证+6>资，即证+与>(6+5)-血二上， 古-2 ln 阳证 20. 因为<6，所以4-<0，会<1，h<0.故二三>0，不等式成立. 即√x1+√>2 k …(17分） 19.命题透析本题考查圆锥曲线综合问题. 解析(1)由题知圆E的圆心为(0,5)，其是D的一个焦点，所以b>a,且b2-a2=3.…(1分) 因为在线C的方程子+答+y=3中，*0，且C经过刀的两个顶点（±a0, 似02+20=3，解得a三1，故C的方程为+号+=3，…… 则公=心+3=4，D的方程为学+2=1. … (3分) 将+是+y=3与苦+2=1联立，得3对-2-2=0， 即(x2-1)(3x2+2)=0,解得x=±1， 所以C与D只有2个公共点A1,A2·… …(5分) 6 (2)(i)由(1)知c的方程为2+是+y=3, 因为2>0，所以2+y<3,即曲线C上的点都在圆02+=3内，…（门分） 圆E是以E(0,√5)为圆心，2√5为半径的圆， 圆0与圆E的圆心距|0E1=√5=2√3-√3，两圆内切，且圆0在圆E内，…(9分) 所以曲线C上的点都在圆E内.…（10分) (ⅱ)由题意，得G(-23,5),H(23,3). 由P(45,),得直线PC,PN的斜率分别为5，-5 …(11分) 65’23 易知GH为圆E的直径，则CN1PN,所以GN的斜率为-2B t-31 所以，6的斜率之积为气昌(2=古为定位 …(13分) 易知直线MW的斜率不为零，设M(x1,y),N(x2,2),MN:x=my+n, 与x2+(y-5)2=12联立，得(m2+1)y2+(2mn-23)y+n2-9=0, 所以1+%=-2mn-2,5v水=n2-9 m2+1y2= m2+1 …(14分） 因为GM,cN的斜率之积为-弓， 所以少-5.五-3 =(y-5)(2-3) x1+2√3x2+2√5(my1+n+23)(my2+n+23) yy2-5(y+2)+3 m2y2+(mn+23m)(y1+2）+(n+23)2 n2-9+25mn-6+3 m2+1m2+1 m2(n2-92-(mn+2Bm)(2mn-2,5）+(n+25)2 =-3’ m2+1 m2+1 整理得3m2+n2+2√3mn+3m+√3n-6=0, 即(5m+n+25)(5m+n-√5)=0，…(16分) 因为直线x=my+n不过点G(-23,√3)，所以W3m+n+2√3≠0， 所以W3m+n-√3=0，n=√3-√3m,代入x=my+n,得x=m(y-√3)+3， 该直线过定点(5，√3).…(17分) 7