17.2.3 因式分解法 课件 2025-2026学年沪科版 八年级数学下册

沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件） 17.2.3 因式分解法 第17章 一元二次方程及其应用 授课教师： Home . 班 级： 八年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月6日 沪科版八年级下册 17.2.3 因式分解法 练习题 一、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 用因式分解法解一元二次方程的核心是将方程化为（）的形式，再利用“若两数积为0，则至少一个数为0”求解 A. $$(x + m)(x + n) = 0$$ B. $$(x + m)^2 = n$$ C. $$ax^2 + bx + c = 0$$ D. $$x^2 = k$$ 1. 用因式分解法解方程$$x^2 - 5x = 0$$，正确的解是（） A. $$x = 5$$ B. $$x_1 = 0$$，$$x_2 = 5$$ C. $$x = 0$$ D. $$x_1 = 0$$，$$x_2 = -5$$ 1. 下列方程中，不能用因式分解法直接求解的是（） A. $$x^2 - 4 = 0$$ B. $$x^2 - 2x + 1 = 0$$ C. $$x^2 - 3x + 1 = 0$$ D. $$x^2 + x = 0$$ 1. 用因式分解法解方程$$x^2 - 6x + 8 = 0$$，步骤正确的是（） A. 分解因式得$$(x - 2)(x - 4) = 0$$，解得$$x_1 = 2$$，$$x_2 = 4$$ B. 分解因式得$$(x + 2)(x + 4) = 0$$，解得$$x_1 = -2$$，$$x_2 = -4$$ C. 分解因式得$$(x - 2)(x + 4) = 0$$，解得$$x_1 = 2$$，$$x_2 = -4$$ D. 分解因式得$$(x + 2)(x - 4) = 0$$，解得$$x_1 = -2$$，$$x_2 = 4$$ 1. 若一元二次方程$$(x - 3)(x + m) = 0$$的两个根为$$x_1 = 3$$，$$x_2 = -4$$，则$$m$$的值是（） A. 4 B. -4 C. 3 D. -3 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 因式分解法解一元二次方程的关键是：先将方程化为________形式，再令每个因式等于0，解两个一元一次方程。 2. 用因式分解法解方程$$x^2 - 9 = 0$$，可分解为$$(x + 3)(x - 3) = 0$$，方程的解为________。 3. 方程$$x^2 - 7x + 12 = 0$$分解因式为________，解为________。 4. 若方程$$x(x - 2) = 0$$，则两根之积为________，两根之和为________。 5. 用因式分解法解$$2x^2 - 4x = 0$$，先提取公因式得________，解得________。 三、解答题（每题15分，共60分） 1. 用因式分解法解下列一元二次方程： （1）$$x^2 - 3x = 0$$ （2）$$x^2 - 2x - 8 = 0$$ （3）$$4x^2 - 1 = 0$$ 2. 用因式分解法解下列一元二次方程（需先整理为标准形式）： （1）$$x(x - 5) = 3x$$ （2）$$(x + 2)(x - 3) = 6$$ （3）$$2x^2 - 5x + 2 = 0$$ 3. 先判断下列一元二次方程根的情况，再用因式分解法求解： （1）$$x^2 - 4x + 4 = 0$$ （2）$$x^2 - 5x + 6 = 0$$ （3）$$2x^2 + 3x + 1 = 0$$ 4. 已知关于$$x$$的一元二次方程$$x^2 - (m + 2)x + 2m = 0$$，用因式分解法求解，并说明无论$$m$$取何实数，方程总有实数根。 --- 参考答案 一、选择题 1.A 2.B 3.C 4.A 5.A 二、填空题 1. 两个因式的积等于0（或$$(x + m)(x + n) = 0$$） 2. $$x_1 = 3$$，$$x_2 = -3$$ 3. $$(x - 3)(x - 4) = 0$$；$$x_1 = 3$$，$$x_2 = 4$$ 4. 0；2 5. $$2x(x - 2) = 0$$；$$x_1 = 0$$，$$x_2 = 2$$ 三、解答题 1. （1）分解因式得$$x(x - 3) = 0$$，令$$x = 0$$或$$x - 3 = 0$$，解得$$x_1 = 0$$，$$x_2 = 3$$； （2）分解因式得$$(x - 4)(x + 2) = 0$$，令$$x - 4 = 0$$或$$x + 2 = 0$$，解得$$x_1 = 4$$，$$x_2 = -2$$； （3）分解因式得$$(2x + 1)(2x - 1) = 0$$，令$$2x + 1 = 0$$或$$2x - 1 = 0$$，解得$$x_1 = -\frac{1}{2}$$，$$x_2 = \frac{1}{2}$$。 2. （1）整理得$$x^2 - 8x = 0$$，分解因式得$$x(x - 8) = 0$$，解得$$x_1 = 0$$，$$x_2 = 8$$； （2）整理得$$x^2 - x - 12 = 0$$，分解因式得$$(x - 4)(x + 3) = 0$$，解得$$x_1 = 4$$，$$x_2 = -3$$； （3）分解因式得$$(2x - 1)(x - 2) = 0$$，令$$2x - 1 = 0$$或$$x - 2 = 0$$，解得$$x_1 = \frac{1}{2}$$，$$x_2 = 2$$。 3. （1）判别式$$\Delta = 16 - 16 = 0$$，有两个相等的实数根；分解因式得$$(x - 2)^2 = 0$$，解得$$x_1 = x_2 = 2$$； （2）判别式$$\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$$，有两个不相等的实数根；分解因式得$$(x - 2)(x - 3) = 0$$，解得$$x_1 = 2$$，$$x_2 = 3$$； （3）判别式$$\Delta = 9 - 8 = 1 > 0$$，有两个不相等的实数根；分解因式得$$(2x + 1)(x + 1) = 0$$，解得$$x_1 = -\frac{1}{2}$$，$$x_2 = -1$$。 4. 分解因式得$$(x - 2)(x - m) = 0$$，令$$x - 2 = 0$$或$$x - m = 0$$，解得$$x_1 = 2$$，$$x_2 = m$$； 判别式$$\Delta = (m + 2)^2 - 8m = m^2 + 4m + 4 - 8m = (m - 2)^2 \geq 0$$， ∴ 无论$$m$$取何实数，方程总有两个实数根（相等或不相等）。 2026年4月6日星期一5时52分30秒 2026年4月6日星期一5时52分34秒 学习目标 1. 会选择合适的方法进行因式分解，并解一元二次方程；(重点) 2. 在探究因式分解法解方程的过程中体会转化、降次的数学思想. (难点) 引例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10 m/s 的初速度竖直上抛，那么经过 a s 物体离地面的高度为 (10a - 4.9a2) m. 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到 0.01 s)? 分析：设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0 m，即 10x - 4.9x2 = 0. ① 因式分解法解一元二次方程 1 解： 解： ∵a = 4.9, b = -10, c = 0, ∴b2 - 4ac = (-10)2 - 4×4.9×0 =100. 公式法解方程 10x - 4.9x2 = 0. 配方法解方程 10x - 4.9x2 = 0. 4.9x2 - 10x = 0. 因式分解 如果 a · b = 0， 那么 a = 0 或 b = 0. 两个因式乘积为 0，说明什么？ 或 10 - 4.9x = 0 降次，化为两个一次方程 解两个一次方程，得出原方程的根 这种解法是不是很简单？ 10x - 4.9x2 = 0 ① x(10 - 4.9x) = 0 ② x = 0 试一试：下列各方程的根分别是多少？ (1) x(x - 5) = 0； (1) x1 = 0， x2 = 5. (2) (y + 2)(y - 3) = 0； (2) y1 = -2，y2 = 3. (3) (3x + 6)(2x - 4) = 0； (3) x1 = -2，x2 = 2. 典例精析 例1 解方程：x2 - 2x = 0. 解 提取公因式，得 x(x - 2) = 0. 因此，有 x = 0 或 x - 2 = 0. 所以原方程的根是 x1 = 0，x2 = 2. 例2 解方程：( x + 4 ) ( x -1 ) = 6. 解 将原方程化为一般形式，得 x² + 3x -10 = 0. 把方程左边分解因式，得 ( x + 5 )( x -2 ) = 0. 因此，有 x + 5 = 0 或 x - 2 = 0. 所以原方程的根是 x = -5，x = 2. 思考 方程两边同除以 x ，得 x = 1. 故方程的根为 x = 1. 这样做对吗 ? 为什么 ? 例3 解方程：x² = x. 解 移项、提取公因式，得 x( x -1 ) = 0. 因此，有 x = 0 或 x - 1 = 0. 所以原方程的根是 x1 = 0，x2 = 1. 例4 解下列方程： 解：(1) 因式分解，得 ∴ x - 2 = 0 或 x + 1 = 0. 解得 x1 = 2，x2 = -1. (x - 2)(x + 1) = 0. (2) 移项、合并同类项，得 4x2 - 1 = 0. 因式分解，得 (2x + 1)(2x - 1) = 0. ∴ 2x + 1 = 0 或 2x - 1 = 0. 解得 例5 用适当的方法解方程： (1) 3x(x + 5) = 5(x + 5)； 分析：方程左右两边含公因式，所以用因式分解法解答较快. 灵活选用适当的方法解方程 2 解：变形得 (3x - 5)(x + 5) = 0. 即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0. 解得 (2) (5x + 1)2 = 1； 解：开平方，得 5x + 1 = ±1. 分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法. 解得 x1 = 0，x2 = (3) x2 - 12x = 4； 解：配方，得 x2 - 12x + 62 = 4 + 62，即 (x - 6)2 = 40. 开平方，得 解得 x1 = ，x2 = 分析：二次项系数为 1，可用配方法解较快. (4) 3x2 = 4x + 1. 解：整理成一般形式，得 3x2 - 4x - 1 = 0. ∵ b2 - 4ac = 28 > 0， 分析：二次项系数不为 1，且不能直接开平方，也不能直接分解因式，可用公式法. 填一填：一元二次方程的各种解法及适用类型。 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0) (ax + m)2 = n (a ≠ 0, n≥0) ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0, b2 - 4ac≥0) (ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0) 归纳总结 1. 一般地，当一次项系数为 0 时 (ax2 + c = 0)，宜选用直接开平方法； 2. 若常数项为 0 (ax2 + bx = 0)，宜选用因式分解法； 3. 化为一般式 (ax2 + bx + c = 0) 后，若一次项系数和常数项都不为 0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为 1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法。系数含根式时也可选公式法。 一元二次方程的解法选择基本思路 返回 A 1．用因式分解法解方程，下列过程正确的是(　　) A．(2x－3)(3x－4)＝0化为2x－3＝0或3x－4＝0 B．(x＋3)(x－1)＝1化为x＋3＝1或x－1＝1 C．(x－2)(x－3)＝2×3化为x－2＝2或x－3＝3 D．x(x＋2)＝0化为x＋2＝0 中考考法 16 A 返回 2．已知某一元二次方程的两根分别为x1＝3，x2＝－4，则这个方程可能为(　　) A．(x－3)(x＋4)＝0 B．(x＋3)(x－4)＝0 C．(x＋3)(x＋4)＝0 D．(x－3)(x－4)＝0 中考考法 17 返回 B 3．在正数范围内定义运算“※”，其规则为a※b＝a＋b2，则方程x※(x＋1)＝5的解是(　　) A．x＝5 B．x＝1 C．x1＝1，x2＝－4 D．x1＝－1，x2＝4 中考考法 18 4．直线y＝mx＋n如图所示，则关于x的方程x2＋mx＝n的根是________________． x＝1或x＝－6 中考考法 19 返回 中考考法 5.解下列方程： (1)x2＋2x－15＝0；　　 【解】∵x2＋2x－15＝0， ∴(x＋5)(x－3)＝0. ∴x＋5＝0或x－3＝0， 解得x1＝－5，x2＝3. 中考考法 21 (2)(y＋1)2＝(2y－1)2； 【解】∵(y＋1)2＝(2y－1)2， ∴(y＋1)2－(2y－1)2＝0. ∴(y＋1＋2y－1)(y＋1－2y＋1)＝0. ∴y＋1＋2y－1＝0或y＋1－2y＋1＝0， 解得y1＝0，y2＝2. 中考考法 22 (3)x(x－4)＋5(x－4)＝0； 【解】∵x(x－4)＋5(x－4)＝0， ∴(x＋5)(x－4)＝0. ∴x＋5＝0或x－4＝0， 解得x1＝－5，x2＝4. 中考考法 返回 中考考法 返回 D 6．解方程x2－97x＝0较为合适的方法是(　　) A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 中考考法 25 7．选择适当的方法解下列方程： (1)x2－6x＋9＝(5－2x)2； 中考考法 26 返回 【解】∵(x－3)2＋(x－6)2＝9，∴(x－3)2＋(x－6)2－9＝0.∴(x－3)2＋(x－6＋3)(x－6－3)＝0. ∴(x－3)2＋(x－3)(x－9)＝0.∴(x－3)[(x－3)＋(x－9)]＝0. ∴(x－3)(2x－12)＝0.∴x－3＝0或2x－12＝0. ∴x1＝3，x2＝6. (2)(x－3)2＋(x－6)2＝9. 中考考法 27 返回 【解】移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0. 提取公因式，得(x－3)(3－x＋3)＝0. ∴x－3＝0或3－x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝6. 8．解方程：3(x－3)＝(x－3)2. 中考考法 28 返回 B 9．[2025芜湖期末]已知三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程x2－6x＋8＝0的解，则这个三角形的周长是(　　) A．15 B．13 C．11或8 D．11或13 中考考法 29 中考考法 30 返回 【答案】A 中考考法 2或3 中考考法 32 因式分解法 概念 步骤 简记歌诀： 右化零，左分解；两因式，各求解 如果 a ·b = 0，那么 a = 0 或 b = 0 原理 将方程左边因式分解，使右边为 0 因式分解的常见方法有 ma + mb = m(a + b); a2±2ab + b2 = (a±b)2; a2 - b2 = (a + b)(a - b). 【点拨】由图可知直线y＝mx＋n经过点(－1，1)，(0，6)，∴解得∴关于x的方程为x2＋5x＝6.∴x2＋5x－6＝0.∴(x－1)(x＋6)＝0，解得x＝1或x＝－6. (4)x2－(＋)x＋＝0. 【解】原方程可化为(x－)(x－)＝0， ∴x－＝0或x－＝0， 解得x1＝，x2＝. 【解】∵x2－6x＋9＝(5－2x)2， ∴(x－3)2＝(5－2x)2.∴x－3＝±(5－2x)． ∴x－3＝－5＋2x或x－3＝5－2x. ∴x1＝2，x2＝. 10.数学思想方法是数学的灵魂和精髓，而转化思想是数学思想方法中最基本、最重要的一种方法，我们可以用转化思想把方程＝2转化为x＋1＝4，从而求出方程的根为3，则通过运用转化思想还可以求出方程＝x的根为(　　) A．3 B．－1 C．3或－1 D．3或1 【点拨】∵＝x，∴2x＋3＝x2，即x2－2x－3＝0.∴(x＋1)(x－3)＝0.∴x1＝3，x2＝－1.易得x＞0，∴当x＝－1时，不符合题意，舍去． ∴＝x的根为3. 11．已知x4－5x3＋8x2－5x＋1＝0，则x＋＝________． $