17.2.2 公式法（课件）2025－2026学年沪科版八年级数学下册

沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件） 17.2.2 公式法 第17章 一元二次方程及其应用 授课教师： Home . 班 级： 八年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月6日 沪科版八年级下册 17.2.2 公式法 练习题 一、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 一元二次方程$$ax^2 + bx + c = 0$$（$$a eq 0$$）的求根公式是（） A. $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ B. $$x = \frac{b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ C. $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 4ac}}{2a}$$ D. $$x = \frac{-b \pm \sqrt{4ac - b^2}}{2a}$$ 1. 在一元二次方程$$2x^2 - 3x - 1 = 0$$中，判别式$$\Delta = b^2 - 4ac$$的值是（） A. 1 B. 17 C. 13 D. 5 1. 若一元二次方程$$x^2 - 2x + k = 0$$有两个相等的实数根，则$$k$$的值是（） A. 1 B. -1 C. 4 D. -4 1. 用公式法解方程$$x^2 - 3x + 2 = 0$$，正确的结果是（） A. $$x_1 = 1$$，$$x_2 = 2$$ B.$$x_1 = -1$$，$$x_2 = -2$$ C. $$x_1 = 3 + \sqrt{17}$$，$$x_2 = 3 - \sqrt{17}$$ D. $$x_1 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$$，$$x_2 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$$ 1. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（） A. $$x^2 - 4x + 4 = 0$$ B. $$x^2 - 2x + 3 = 0$$ C. $$x^2 - 2x - 3 = 0$$ D. $$x^2 + 2x - 1 = 0$$ 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 一元二次方程$$ax^2 + bx + c = 0$$（$$a eq 0$$）中，判别式$$\Delta = b^2 - 4ac$$：当$$\Delta > 0$$时，方程有________个不相等的实数根；当$$\Delta = 0$$时，方程有________个相等的实数根；当$$\Delta < 0$$时，方程________实数根。 2. 用公式法解方程$$3x^2 - 5x + 2 = 0$$，其中$$a =$$________，$$b =$$________，$$c =$$________，判别式$$\Delta =$$________。 3. 方程$$x^2 - 6x + 9 = 0$$的判别式$$\Delta =$$________，根的情况是________，根为________。 4. 若关于$$x$$的一元二次方程$$kx^2 - 2x - 1 = 0$$有两个不相等的实数根，则$$k$$的取值范围是________。 5. 用公式法解$$2x^2 + 4x - 1 = 0$$，解得$$x =$$________。 三、解答题（每题15分，共60分） 1. 用公式法解下列一元二次方程： （1）$$x^2 - 4x - 5 = 0$$ （2）$$2x^2 + 3x - 2 = 0$$ （3）$$x^2 - 2x + 1 = 0$$ 2. 先判断下列一元二次方程根的情况，再用公式法求解： （1）$$3x^2 + 4x - 1 = 0$$ （2）$$2x^2 - 3x + 2 = 0$$ （3）$$x^2 - 6x + 9 = 0$$ 3. 已知关于$$x$$的一元二次方程$$x^2 - 2(k + 1)x + k^2 = 0$$有两个实数根，求$$k$$的取值范围。 4. 已知$$x = 1$$是一元二次方程$$ax^2 + bx - 3 = 0$$的一个根，且方程有两个相等的实数根，求$$a$$、$$b$$的值。 --- 参考答案 一、选择题 1.A 2.B 3.A 4.A 5.B 二、填空题 1. 两；一；没有 2. 3；-5；2；1 3. 0；有两个相等的实数根；$$x_1 = x_2 = 3$$ 4. $$k > -1$$且$$k eq 0$$ 5. $$\frac{-4 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{6}}{2}$$ 三、解答题 1. （1）$$a = 1$$，$$b = -4$$，$$c = -5$$，$$\Delta = 16 + 20 = 36$$，$$x = \frac{4 \pm 6}{2}$$，解得$$x_1 = 5$$，$$x_2 = -1$$； （2）$$a = 2$$，$$b = 3$$，$$c = -2$$，$$\Delta = 9 + 16 = 25$$，$$x = \frac{-3 \pm 5}{4}$$，解得$$x_1 = \frac{1}{2}$$，$$x_2 = -2$$； （3）$$a = 1$$，$$b = -2$$，$$c = 1$$，$$\Delta = 4 - 4 = 0$$，$$x = \frac{2 \pm 0}{2} = 1$$，解得$$x_1 = x_2 = 1$$。 2. （1）$$\Delta = 16 + 12 = 28 > 0$$，有两个不相等的实数根；$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{7}}{3}$$； （2）$$\Delta = 9 - 16 = -7 < 0$$，没有实数根； （3）$$\Delta = 36 - 36 = 0$$，有两个相等的实数根；$$x = \frac{6 \pm 0}{2} = 3$$，解得$$x_1 = x_2 = 3$$。 3. 由题意得$$\Delta = [-2(k + 1)]^2 - 4 \times 1 \times k^2 \geq 0$$，化简得$$4k^2 + 8k + 4 - 4k^2 \geq 0$$，即$$8k + 4 \geq 0$$，解得$$k \geq -\frac{1}{2}$$。 4. 把$$x = 1$$代入方程得$$a + b - 3 = 0$$，即$$b = 3 - a$$； 由方程有两个相等的实数根，得$$\Delta = b^2 - 4a \times (-3) = 0$$，代入$$b = 3 - a$$得$$(3 - a)^2 + 12a = 0$$， 化简得$$9 - 6a + a^2 + 12a = 0$$，即$$(a + 3)^2 = 0$$，解得$$a = -3$$，则$$b = 3 - (-3) = 6$$。 2026年4月6日星期一5时52分31秒 2026年4月6日星期一5时52分34秒 学习目标 1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程；(难点) 2. 会利用求根公式解简单系数的一元二次方程； (重点) 3. 经历探索求根公式的过程，培养逻辑推理和数学运算的核心素养，并养成良好的运算习惯； 4. 通过运用公式法解简单系数的一元二次方程，提高运算能力 . 任何一个一元二次方程都可以化为一般形式： ax2 + bx + c = 0. 合作探究 求根公式的推导 思考 如何使用配方法得出任意一元二次方程解呢？ 配方法 x2 + px + ( )2 = (x + )2. 1 用配方法解一般形式一元二次方程 解： ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 方程两边都除以 a， 因为 a ≠ 0 ， 移项，得 配方，得 则 得 ∵ a ≠ 0， 4a2 > 0， ∴ 当 b2 - 4ac≥0 时， ≥0 . 将方程左右两边开平方，得 化简、整理得 当 b2 - 4ac＜0 时， 而 x 取任何实数都不能使上式成立， ∴ 此时方程无实数根. 这个式子叫作一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫作公式法.由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根. 由上可知，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根由方程的系数 a，b，c 确定. 因此，解一元二次方程时，先将方程化为 ax2 + bx + c = 0 的一般形式， 当 b2 - 4ac≥0 时，将 a，b，c 代入求根公式，就可以得出方程的实数根. 注意 使用公式法解一元二次方程的前提是： 1. 必须是一般形式的一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)； 2. 必须满足 b2 - 4ac≥0 才能代公式计算. 例1 用公式法解下列方程 (1) 2x2 + 7x - 4 = 0； (2) x2 + 3 = 2x. 解： (1) ∵ a = 2，b = 7，c = -4， 公式法解方程 代入求根公式，得 ∴ b² - 4ac = 72 - 4×2×(-4) = 81 > 0. 所以原方程的根是 2 . (2) x2 + 3 = 2x. (2) 将原方程化为一般形式，得 x² - 2x + 3 = 0. 所以原方程的根是 代入求根公式，得 ∴ b² - 4ac = (-2)2 - 4×1×3 = 0. ∵ a = 1，b = -2，c = 3， 例2 解方程：x2＋x－1＝0 (精确到 0.001). 解：由题意，得 a＝1，b＝1，c＝－1， 用计算器求得： 代入求根公式，得 所以原方程的根是 x1≈0.618，x2≈－1.618. 例3 解方程：4x2 - 3x + 2 = 0. ∵ 在实数范围内负数不能开平方， ∴ 方程无实数根. 解： 公式法解方程的一般步骤 1. 变形：化已知方程为一般形式； 2. 确定系数：用 a，b，c 写出各项系数； 3. 计算：b2 - 4ac 的值； 4. 判断：若 b2 - 4ac≥0，则利用求根公式得解； 若 b2 - 4ac < 0，则方程没有实数根。 归纳总结 返回 D 中考考法 13 C 返回 2．当用公式法解方程2x2－1＝3x时，b2－4ac的值为(　　) A．2 B．－3 C．17 D．－1 中考考法 14 返回 D 中考考法 15 4．若一元二次方程ax2－6x＝1能用公式法求解，则a的取值范围为______________． a≥－9且a≠0 返回 中考考法 16 返回 D 中考考法 17 6. 解方程： (1)2x2－7x＋3＝0； 中考考法 18 (2)3x2－4x－1＝0； 中考考法 19 中考考法 返回 中考考法 21 中考考法 22 【点方法】用公式法解一元二次方程的前提是一元二次方程是一般形式，不要忽略这一点． 中考考法 返回 中考考法 中考考法 25 【答案】C 返回 中考考法 B 返回 中考考法 27 2或6或12 10．已知整数m满足0<m<13，如果关于x的一元二次方程x2－(2m－1)x＋m2－2m＝0的根为有理数，则m的值为______________． 中考考法 28 返回 中考考法 中考考法 30 返回 中考考法 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（求 b2 - 4ac 的值）； 四判（方程根的情况）； 五代（代求根公式计算）。 务必将方程化为一般形式 1．一元二次方程3x－1－2x2＝0在用求根公式x＝求解时，a，b，c的值分别是(　　) A．3，－1，－2 B．－2，－1，3 C．－2，3，1 D．－2，3，－1 3．若x＝是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，则a＋b＋c＝(　　) A．－2 B．4 C．2 D．0 5．用公式法解方程4x2－12x＝3时，所得到的解正确的是(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 【解】∵2x2－7x＋3＝0，a＝2，b＝－7，c＝3， ∴b2－4ac＝(－7)2－4×2×3＝25>0. ∴x＝＝＝.∴x1＝3，x2＝. 【解】∵3x2－4x－1＝0，a＝3，b＝－4，c＝－1， ∴b2－4ac＝(－4)2－4×3×(－1)＝28>0. ∴x＝＝＝＝.∴x1＝，x2＝. (3)2x2＋x＝3； 【解】将原方程化为一般形式，得2x2＋x－3＝0， 其中a＝2，b＝，c＝－3， ∴b2－4ac＝()2－4×2×(－3)＝27>0. ∴x＝＝＝. ∴x1＝，x2＝－. 【解】∵x2＋x＝4，∴2x2＋x－8＝0. 其中a＝2，b＝1，c＝－8. ∴b2－4ac＝12－4×2×(－8)＝65＞0. ∴x＝＝. ∴x1＝，x2＝. (4)x2＋x＝4. 7. 用公式法解方程：x2－6x＝－2. 解：∵a＝1，b＝－6，c＝－2，∴b2－4ac＝(－6)2－4×1×(－2)＝44＞0.∴x＝. 上述解法是否正确？若不正确，请指出错误并改正． 【解】不正确．错误有两点：一是方程没化成一般形式；二是结果没化简．正确的解法如下：移项化为一般形式，得x2－6x＋2＝0，其中a＝1，b＝－6，c＝2. ∴b2－4ac＝(－6)2－4×1×2＝28＞0. ∴x＝＝＝3±. ∴x1＝3＋，x2＝3－. 8. 对于实数a，b，定义运算“※”：a※b＝a2－5b－3，如3※1＝32－5×1－3＝1.若3x※2x＝－5，则x的值为(　　) A. B. C.或 D. 【点拨】3x※2x＝(3x)2－5×2x－3＝9x2－10x－3＝－5，即9x2－10x＋2＝0，解得x＝或x＝.故选C. 9．[2025宣城月考]已知m是方程ax2＋c＝0和方程cx2＋a＝0的一个实数根(ac≠0，且a≠c)，则方程ax2＋2ax＋c＝0一定有实数根(　　) A．－1 B.－1 C．－m D．m 【点拨】∵a＝1，b＝－(2m－1)，c＝m2－2m，∴b2－4ac＝－4×1×(m2－2m)＝4m2－4m＋1－4m2＋8m＝4m＋1.∴x＝＝.∵0<m<13，∴1<4m＋1<53.∵一元二次方程的根为有理数，∴为有理数．∴4m＋1＝4，9，16，25，36，49. 又∵m为整数，∴4m＋1＝9，25，49，即m＝2或6或12. 11．[2025亳州期末]如果a，b都是正实数，且＋＋＝0，那么＝__________． 【点拨】∵＋＋＝0，∴＋＋1＝0，整理，得1－＋＝0.令＝t，则1－＋t＝0.∴t－1＋t2＝0，即t2＋t－1＝0.∴t＝＝.∵a，b均为正实数，∴＞0，即＝. $