精品解析：湖南师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期第一次大练习数学试卷

高二下学期第一次大练习 数 学 命题：曹菲菲 胡美玲 刘芸 刘伟才 审题：胡美玲 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，即可根据选项逐一求解. 【详解】， 故，，，不是的子集，C正确，ABD错误. 故选：C 2. 若，则“”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 充要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先根据纯虚数的概念求得，再结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若复数为纯虚数，则，解得， 所以“”是“复数为纯虚数”的充要条件. 故选：B 3. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【详解】对于A. 若，，则与平行或异面，故A错误； 对于B. 若，，，则，故，故B正确； 对于C. 若，，则或，故C错误； 对于D. 若，又，根据面面垂直的判定，即有， 若，由于，，则，过任作一个面，使其和相交于直线， 根据线面平行的性质定理，，又则，结合，即，故D错误.. 4. 在 的展开式中，的系数为（ ） A. -40 B. 40 C. -80 D. 80 【答案】C 【解析】 【详解】展开式中含的项为：， 所以的系数为. 5. 如图是两个正态分布的密度函数图象，则下列表述正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合正态分布的密度函数图象性质判断即得. 【详解】令对应的正态密度函数分别为， 则函数图象的对称轴分别为，且， 观察图象，得，，所以，. 故选：C 6. 已知点在抛物线上，点到的焦点的距离与到直线的距离之比为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，结合焦半径公式得到，进而可求解. 【详解】设的焦点为， 则， 则. 故选：C. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式和同角的商数关系可得，进而，结合两角和的正切关系计算即可求解. 详解】由，得， 等式两边同时除以，得， 即，又，所以， 所以. 故选：A 8. 已知数列是各项为正数的等比数列，公比为，在，之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在，之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，…，在，之间插入个数，使这个数成等差数列，公差为，以下能使得数列单调递增的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项可得，可得，进而得到，即可对讨论，结合选项逐一判断. 【详解】对于A，数列是各项为正数的等比数列，则，由题意，，则. 当时，，由，若取，则，即，即此时不能使数列单调递增，故A错误； 对于B，当时，，，则数列单调递增，等价于， 即对任意恒成立.因为当时，函数的最大值为，所以，故B错误； 对于C，当时，，因，则化简得，解得或. 当时，，因，则得，即数列单调递增；当时，由B项知，数列单调递增，故C正确； 对于D，当时，，化简得，解得或. 对于时，若取，则，则得，即此时不能使数列单调递增，故D错误. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某市气象部门对本市的温度（单位：℃）与相对湿度进行研究，记录了五组数据如表所示： 温度 28 25 22 19 16 相对湿度 41 48 62 65 70 已知与线性相关，根据表中的数据计算得经验回归方程为，则（ ） A. 与负相关 B. 经验回归直线一定经过点 C. 当温度为10℃时，相对湿度大约为87.2% D. 样本相关系数 【答案】AC 【解析】 【详解】A.由表格可知，温度越小，越大，所以与负相关，故A正确； B.，，所以经验回归直线一定经过点，故B错误； C.，得，所以，当时，， 所以当温度为时，相对湿度大约为，故C正确； D.因为与负相关，所以样本相关系数，故D错误. 10. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，，则（     ） A. B. 的图象关于点中心对称 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，对条件，取可得；对于B，对条件，两边同时除以可得；对于C，反证法，假设C正确，求导，结合条件，可得与矛盾，可判断C；对于D，求出，，所以有，，，得出数列是以0为首项，为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可判断． 【详解】对于A，因为， 令，得，故A正确； 对于B，因为， 当时，， 所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C，假设成立， 求导得， 即，又， 所以，令，得， 因为， 所以，即， 令，得， 所以与矛盾，故C错误； 对于D，因为，， 所以，，，， 所以有， 所以数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列， 数列的偶数项是以为首项，为公差的等差数列， 又，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以，故D正确． 11. 如图，在梯形中，，，为的中点，将沿折起到的位置，下列说法中正确的是（ ） A. 在线段上存在点，使平面 B. 点到平面距离的最大值为 C. 当三棱锥外接球的表面积为时，平面平面 D. 当平面平面时，四棱锥的过的截面面积的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】取中点，利用线面垂直的判定推理判断A；利用面面垂直的判定性质判断B；确定球心位置并计算判断C；作出截面并求出面积的函数关系，利用导数求出最小值判断D. 【详解】在梯形中，，，为的中点，连接，如图： 则四边形、四边形均为平行四边形，则，且， 为等边三角形，，和均为菱形， 于是，，设与交于点，则， 对于A，翻折后，，如图： 又平面，则平面， 因此在线段上存在点（即点），使平面，A正确； 对于B，由平面，平面，得平面平面， 则边上的高是点到平面的距离，而， 因此点到平面的距离的最大值为，B错误； 对于C，设三棱锥外接球的半径为，其表面积，得， 设等边，等边外接圆圆心分别为，令外接球球心为， 则平面，平面，连接，，如图： ，，， 得，同理得，即，因此四边形是菱形， ，平面，而平面，则平面平面，C正确； 对于D，设四棱锥的过的截面与交于点，与交于点，连接，如图： 由，平面，平面，得平面， 又平面，平面平面，则，又， 因此四边形为梯形，而平面，平面，则， 即为梯形的高，当平面平面时，，则， 且，设，在中， ，由，得，则 ， 设，求导得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 则当时，，， 而，，因此截面面积的最小值为，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知有一个质地均匀的正方体骰子，其六个面上的数分别为1，2，3，4，5，6，抛掷这个骰子两次，则向上的点数之和是8的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出基本事件总数，再利用列举法求出点数之和为8的情况，即可求解. 【详解】将先后两次的向上点数记为有序实数对，则共有个基本事件， 其中向上点数之和为8的情况有，共5种， 所以满足条件的概率为. 故答案为：. 13. 骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为的等边三角形.设点为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】方法一：以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，根据向量数量积的坐标运算和三角恒等变换知识可表示出，则当时可得所求最大值； 方法二：根据向量线性运算可得，利用向量数量积的定义和运算律可化简得到，由此可求得最大值. 【详解】方法一：以点为坐标原点，为轴负半轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，， 点在以为圆心，为半径的圆上，可设， ，， ， 则当时，取得最大值. 方法二：， 则当与同向，即时，取得最大值为. 14. 双曲线的左､右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点，若，则双曲线的离心率__________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线，过作的垂线，垂足为，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得， ∴，即离心率为. 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）在边上存在一点，使得，连接，若的面积为的平分线交于点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将角化为边，然后进行化简即可求解； （2）利用三角形面积公式结合余弦定理即可求解边长，进而由角平分线定理求比值. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 又，所以， 因为，所以，所以， 所以 【小问2详解】 因为，所以， 则， 所以， 又由余弦定理得，可得， 联立方程解得， 由角平线定理得 16. 已知椭圆过点，且离心率为 （1）求椭圆的方程； （2）若过原点的直线与椭圆交于两点，且在直线上存在点，使得为等边三角形，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）方程y=0或. 【解析】 【分析】（1）将点代入椭圆方程，由，结合，可得，即可求解. （2）讨论直线的斜率是否存在，将直线与椭圆方程联立，求出交点，设，可得，再将的垂直平分线方程与椭圆联立，求出，求出，根据即可求解. 【详解】（1）由题，解得，，，∴椭圆的方程为 （2）由题，当的斜率不存在时，此时，直线与轴的交点，不满足题意； 当的斜率存在时，设直线， 与椭圆联立得，， 设，则，， 又的垂直平分线方程为，由，解得， ，，∵为等边三角形， ，即， 解得或，∴直线的方程为或； 综上可知，直线的方程为y=0或. 【点睛】关键点点睛：将直线方程联立，关键求出，由的形状，列出等式，此题要求有较高的计算求解能力，难度较大. 17. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与相邻的顶点，且平面，平面，…，平面为多面体的所有以为公共点的面．现给出如图所示的三棱锥． （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若平面，，三棱锥在顶点处的离散曲率为．问：棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的余弦值为？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2 （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据所给的定义，表示，再相加，即可求解； （2）首先根据题设中垂直关系结合点C处的离散曲率求得、，构造线面角，再设，表示出，再利用余弦定理求，再由余弦值，转化为正切值，得到关于的等式求解即可得答案. 【小问1详解】 根据离散曲率的定义得， ， 又因为 所以． 【小问2详解】 ∵平面平面，∴， 又∵，平面， ∴平面 ∵平面，∴， ∵，即 ∴，∴， 过点作交于，连接， 因为平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 假设棱上存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为， 则， 设， 依题意可得，， ， ， 由假设可得， 在中，  ， 又，所以， 则， 所以， 解得：或（舍） 即，故， 所以点为线段的靠近点的三等分点时，直线与平面所成角的余弦值为，此时. 18. 袋中共有6个球，其中有4个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且添加一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记作 的数学期望记为 （1）求随机变量的分布列； （2）设用含的式子表示 （3）求 【答案】（1） 4 5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）确定的可能取值，按照分布列的步骤进行求解即可； （2）利用条件概率及全概率公式结合数学期望的计算公式即可求解； （3）利用（2）中的结论及可得到递推公式，再利用构造法即可求出. 【小问1详解】 根据题意的可能取值为， 即一次摸球摸到白球，， 即一次摸球摸到黑球，， 所以的分布列为 4 5 【小问2详解】设第次摸球摸到黑球为事件，的取值可能为4，5，6， 则， ， ， 所以． 【小问3详解】 由（2）及得， ， 所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. 19. 设a为实数，函数 （1）当时，分析的单调性； （2）若，证明：； （3）若任意满足的非负实数对 恒成立，求 M的最小值． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增. （2）证明见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，根据导数的正负即可判断； （2）构造函数，令，利用导数求出函数的最小值，证明最小值大于0即可； （3）将已知条件转化为对任意的，需恒成立，再转化为，令，，结合导数求解即可. 【小问1详解】 当时, ， 则 ， 由于，则， 故当时，，，单调递减， 当时，，，单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，， 令，可得， 令，即，解得，设， 当时，，上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故的最小值为， 由于，，则，则， 故， 故，即，即； 【小问3详解】 由题意知任意满足的非负实数对 恒成立， 即有，则， 即对任意的，需恒成立， 由于，故令， 则在时单调递减，则， 故只需，即， 令，， , 当时，， 此时，在上单调递增，则，成立； 当时，显然； 若，则计算， 即当时，，不符合题意； 故M的最小值为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期第一次大练习 数 学 命题：曹菲菲 胡美玲 刘芸 刘伟才 审题：胡美玲 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则“”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 充要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 3. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 4. 在 的展开式中，的系数为（ ） A -40 B. 40 C. -80 D. 80 5. 如图是两个正态分布的密度函数图象，则下列表述正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知点在抛物线上，点到的焦点的距离与到直线的距离之比为，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列是各项为正数的等比数列，公比为，在，之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在，之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，…，在，之间插入个数，使这个数成等差数列，公差为，以下能使得数列单调递增的是（    ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某市气象部门对本市温度（单位：℃）与相对湿度进行研究，记录了五组数据如表所示： 温度 28 25 22 19 16 相对湿度 41 48 62 65 70 已知与线性相关，根据表中的数据计算得经验回归方程为，则（ ） A. 与负相关 B. 经验回归直线一定经过点 C. 当温度为10℃时，相对湿度大约为87.2% D. 样本相关系数 10. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，，则（     ） A. B. 的图象关于点中心对称 C. D. 11. 如图，在梯形中，，，为的中点，将沿折起到的位置，下列说法中正确的是（ ） A. 在线段上存在点，使平面 B. 点到平面的距离的最大值为 C. 当三棱锥外接球的表面积为时，平面平面 D. 当平面平面时，四棱锥的过的截面面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知有一个质地均匀的正方体骰子，其六个面上的数分别为1，2，3，4，5，6，抛掷这个骰子两次，则向上的点数之和是8的概率为______. 13. 骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为的等边三角形.设点为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为______. 14. 双曲线的左､右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点，若，则双曲线的离心率__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）在边上存在一点，使得，连接，若的面积为的平分线交于点，求的值． 16. 已知椭圆过点，且离心率为 （1）求椭圆的方程； （2）若过原点直线与椭圆交于两点，且在直线上存在点，使得为等边三角形，求直线的方程. 17. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与相邻的顶点，且平面，平面，…，平面为多面体的所有以为公共点的面．现给出如图所示的三棱锥． （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若平面，，三棱锥在顶点处的离散曲率为．问：棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的余弦值为？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由． 18. 袋中共有6个球，其中有4个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且添加一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球个数记作 的数学期望记为 （1）求随机变量的分布列； （2）设用含的式子表示 （3）求 19. 设a为实数，函数 （1）当时，分析的单调性； （2）若，证明：； （3）若任意满足的非负实数对 恒成立，求 M的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $