第18章 专题特训五、六 巧用勾股定理解决折叠问题 巧用勾股定理解决最短路径问题-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（沪科版·新教材）

拔尖特训·数学（沪科版）入年级下 专题特训五 巧用勾股 类型一三角形中的折叠问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，将△ABC 沿AM折叠，使点B落在AC边上点D的 位置 (1)若AM=MC,求∠C的度数. (2)若AB=12,BC=16. ①求BM的长. ②△AMC的面积为 (第1题) 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点 E,F在边AB上，将边AC沿CE折 叠，使点A落在AB上的点D处，再 将边BC沿CF折叠，使点B落在CD的延 长线上的点B'处 (1)求∠ECF的度数， (2)若CE=4,B'F=1,求线段BC的长和 △ABC的面积. Cds---------B (第2题) 52 定理解决折叠问题，“答案与解析”见P18 3.分类讨论思想如图①，直线MN⊥PQ,垂足 为O,直线l分别与射线OP,ON相交于点 A,B,且OA=4,OB=3. (1)求线段AB的长， (2)若C为直线1上的一个动点，求点O到 点C的距离的最小值. (3)如图②，将△AOB沿直线L折叠，点O 落在点D处，DE⊥MN,垂足为E,求DE 的长 (4)若F为直线MN或PQ上的一个动点， 并使得以A,B,F为顶点的三角形是等腰三 角形，则满足条件的所有点F的个数为 ① ② (第3题) 类型二长方形中的折叠问题 4.如图，在长方形纸片ABCD中，AD=9, AB=3,将其折叠，使点D与点B重合，点C 落在点C'处，折痕EF交AD于点E,交BC 于点F (1)求线段AE的长， (2)线段BF的长为 D (第4题) 5.如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折 叠，使点C落在点C处，BC交AD于点E (1)试判断△BDE的形状，并说明理由. (2)若AB=6,BC=18,求△BDE的面积 E (第5题) 第18章勾股定理及其逆定理 类型三平面直角坐标系中的折叠问题 6.已知在平面直角坐标系中，A(-5,4),AB1 x轴于点B,AC⊥y轴于点C,D是y轴正半 轴上的动点，将△BOD折叠得到△BED,点 O与点E对应，折痕为BD,连接CE. (1)如图①，∠A= AB= ,AC= (2)如图②，△BED的边BE,DE分别与 AC交于点F,G,且EG=CG. ①求证：CF=ED. ②求OD的长. (3)分类讨论思想当△CDE是以C为直角顶 点的直角三角形时，直接写出点D的坐标. B 5-4-3-2-1012x 5-4-3-2-1012x ② (第6题) 53 拔尖特训·数学（沪科版）八年级下 专题特训六巧用勾股定理 类型一正方体中的最短路径 1.数形结合思想如图，正方体的棱长为3，一只 蚂蚁从点A处出发，沿正方体的表面到点B 处吃食物，那么它爬行的最短距离是( A.√29 B.√4I C.35 D.√53 (第1题) 类型二长方体中的最短路径 2.如图所示为一个长方体盒子，其长、 宽、高分别为4,1,7，用一根细线从 7 点M处开始，绕侧面一圈到达点NM 4 处，不计线头，细线的最短长度（第2题） 为 类型三圆柱中的最短路径 3.如图，圆柱的底面直径为16cm,高为18cm, 蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最 短路径是（注：π取3） A.20 cm B.30 cm C.40 cm D.50 cm (第3题) 类型四台阶中的最短路径 4.数形结合思想如图所示为一个二级台阶，每一 级台阶的长、宽、高分别为60cm,30cm, 10cm.A,B是台阶两个相对的端点，在点B 处有一只蚂蚁，想到点A处觅食，那么它爬 行的最短路程是 30cm 10 cm 60cm (第4题) A.60 cm B.80 cm C.100 cm D.140 cm 54 解决最短路径问题，“答案与解析”见P20 类型五根据垂线段最短求最短路径 5.(2025·潜山期末)如图，在△ABC中，AC 6,BC=8,AB=10,D为边AB上一动点， DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F,P为EF 的中点，则PD长的最小值为 () (第5题) A.2.4B.4.8C.6 D.8 类型六根据“将军饮马”求最短路径 6.如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，AC=3,BC= 4,AD平分∠CAB交BC于 点D,E,F分别是AD,AC C 上的动点，则EF+EC的最 (第6题) 小值为 类型七不规则图形中求最短路径 7.新情境·现实生活如图，河岸CD的同侧有 A,B两村，且AB=2√13km,A,B两村到 河的距离分别为AC=2km,BD=6km.现 要在河边CD上建一水厂分别向A,B两村 输送自来水，辅设水管的费用为每千米 2000元.请你在河岸CD上选择水厂位置 O,使铺设水管的费用最少，并求出此时铺设 水管的费用. B (第7题).'在△ABD中，AB=13cm,AD= 5 cm, .AD2+BD2=AB2. ∴.△ABD是直角三角形，且 ∠ADB=90°、 .∠ADB=∠DBC. ∴.AD∥BC. ∴该尾翼符合设计要求。 4.D 5.C解析：如图，过点D作DE⊥ AB于点E,则∠AED=∠BED 90°.AC=6,BC=8,AB=10, .AB2=100,AC2+BC2=62+82= 100..AB2=AC2+BC.∴.△ABC 是直角三角形，且∠C=90°.：AD 平分∠CAB,∴.易得CD=ED.在 CD=ED, Rt△ACD和Rt△AED中， AD-AD. ,.Rt△ACD2Rt△AED.'.AE= AC=6.在Rt△BED中，由勾股定 理，得BD2=DE2十BE2,∴.(8 CD)2=CD2+(10-6)2,解得 CD=3. D (第5题) 6.①②③解析：由勾股定理，得 AB=V22+1=√5，AC= √32+4=5，BC=√22+4=25， .AB+BC2=AC2..△ABC是 直角三角形，且∠ABC=90°.故①正 确.△ABC的周长是√5+5+2√5= 35+5,故②正确.设点B到边AC 的距离是h.由三角形的面积公式，得 合4C·A=合AB·C,A AB·BC_5×25=2.故③正确， AC 5 S△n=S△A,.点D到BC的 距离等于点A到BC的距离.如图，过 点A作直线m∥BC,作点A关于BC 的对称点A',过点A'作直线BC ∴.D可以是直线m,n上的任意一 点.又点D在格点上（不与点A重 合)，.这样的点D有3十4=7（个）. 故④错误.综上所述，正确的有① ②③. 名 (第6题) 7.如图，连接BE. 在Rt△DCE中，由勾股定理，得 DE=√CE2-CD=√502-30= 40(米) 在Rt△BDE中，由勾股定理，得 BE2=BD2+DE2=702+402= 6500(平方米). 在△ABE中，：AB+AE2=802+ 102=6500(平方米)=BE2, ∴.△ABE是直角三角形，且 ∠A=90° ∴.SI边托AE=S△ABR十S△nE=之 1 80×10+2 ×70×40=1800(平方米)： B D (第7题) 8.(1)是. 理由：(2.4)2+(1.8)2=9=32， .CH2+BH2=BC2 '.△CHB是直角三角形，∠CHB= 90°，即CH⊥AB. '.CH是从村庄C到河边的最近 的路 (2)设AC=x千米，则AB=x千米， AH=AB-BH=(x-1.8)千米. 由(1)，知CH⊥AB. .∠AHC=90. .在Rt△ACH中，CH=2.4千米， ∴.由勾股定理，得AC2=AH十 18 CH2,即x2=(x-1.8)2+(2.4)2,解 得x=2.5. .原来路线AC的长为2.5千米 9.(1)是 理由：AM+NB2=22+(2√5)2= 16,MN2=42=16, .AM+NB2=MN2 ∴.以AM,MN,NB为边的三角形是 直角三角形， ∴.M,N是线段AB的“勾股分割点” (2)设NB=x,则MN=12-AM- NB=7-x. ①当MN为最长线段时，根据题意， 得MN2=AM2+NB2,即(7-x)2= 25十，解得1号 NB-号 ②当NB为最长线段时，根据题意， 得NB2=AM+MN2,即x2=25+ (?-xy,解得x号 37 .NB=7 综上所述，NB的长为号安号。 专题特训五巧用勾股定理 解决折叠问题 1.(1)·△ABC沿AM折叠，使点 B落在AC边上点D的位置， '.∠BAM=∠DAM. AM=MC, ∴.∠C=∠DAM. ∴.∠BAM=∠DAM=∠C. ∠B=90°， ∴.∠BAM+∠DAM+∠C=90°. ∴.∠C=30° (2)①，△ABC沿AM折叠，使点 B落在AC边上点D的位置， ∠B=90°， .'AB AD =12,BM=DM, ∠ADM=90° AB=12,BC=16, ∴.AC=√AB2+BC=20. .'.CD=AC-AD=20-12=8. 设BM=DM=x,则CM=16- :∠MDC=180°-∠ADM=90, ∴.DM+CD2=CM2,即x2+82= (16-x)2,解得x=6. .BM的长为6. ②60. 2.(1)由折叠的性质可知，∠ACE= ∠ECD=2∠ACD,∠BCF= ∠B'CF=∠BCB. ,∠ACB=∠ACD+∠BCB=90, ·∠ECD+∠FCD=2(∠ACD+ ∠BCB)=7X90=-45,即 ∠ECF=45°. (2)由折叠的性质可知，∠DE℃ ∠AEC=90°，BF=B'F=1, ∴.∠EFC=180°-∠DEC ∠ECF=45°=∠ECF. .EF=CE=4. ∴.BE=EF+BF=4+1=5. 在Rt△BCE中，由勾股定理，得BC= √BE+CE=√5+4=√. 设AE=x,则AB=x十5. :在Rt△ACE中，AC2=AE2+ CE2,在Rt△ABC中，AC2= AB2-BC2, .AE+CE2=AB2-BC2,即x2十 4=十5)-6个)，解得x- AE=吕AB=+5= 1 1×4L× ·SAAx=2AB·CE=2X5 4婴 3.(1)MN⊥PQ, ∴.∠AOB=90. OA=4,OB=3, .∴.AB=√/OA2+OB √32+4=5. (2)如图①，过点O作OC⊥AB于 点C. 此时点O到点C的距离最小，即为 OC的长 1 1 :Sam=Z0A·OB=2AB· OC, ·.OA·OB3义42，即点 AB 5 0到点C的距离的最小值为号 (3)如图②，连接OD,交AB于点C. 点O与点D关于AB对称， .AB垂直平分OD,即OC⊥AB, OC-CD. 0C=0A,0B=3×4-2 AB 55 &0D=0c+(D=器 根据折叠可知，BD=OB=3. 设BE=x,则OE=OB+BE=3+x. 在Rt△BDE中，DE2=BD2-BE= 32-x2, 在Rt△ODE中，DE2=OD2-OE2 (借)°-8+x. .33-x2 () -(3十x)2,解得 21 251 DE √BD-BE √-( 72 一251 (4)8.解析：当AB=AF,点F在 MN上时，如图③所示；当AB=AF, 点F在PQ上时，如图④所示；当 AB=BF,点F在MN上时，如图 ⑤所示；当AB=BF,点F在PQ上 时，如图⑥所示；当BF=AF,点F在 MN上时，如图⑦所示；当BF=AF, 点F在PQ上时，如图⑧所示.综上所 述，满足条件的所有点F的个数为8. P ① 19 之 ⊙ 4.(1)在长方形纸片ABCD中， ∠A=90. 根据折叠可知，BE=DE. 设AE=x,则BE=DE=9一x, 在Rt△ABE中，根据勾股定理，可得 BE2=AB2+AE2,即32+x2=(9 x)2,解得x=4, ..AE=4. (2)5.解析：在长方形纸片ABCD 中，BC=AD=9,DC=AB=3, ∠C=90°.根据折叠可知，∠C' ∠C=90°，BC'=DC=3,C'F=CF, 设BF=y,则C'F=CF=9-y.在 Rt△BCF中，根据勾股定理，可得 BF2=BC2+CF2,即32+(9- y)2=y2,解得y=5,∴.BF=5. 5.(1)△BDE是等腰三角形 理由：由折叠，可知∠CBD=∠EBD, ,四边形ABCD是长方形， .'AD//BC. .∠CBD=∠EDB. '.∠EBD=∠EDB .BE=DE,即△BDE是等腰三 角形 (2)四边形ABCD是长方形， .AD=BC=18,∠A=90° 设DE=x,则BE=x,AE=18-x. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得 AB2+AE2=BE2, ∴.62+(18-x)2=x2,解得x=10. .DE=10. &SaE=2DE·AB= 1×10× 6=30. 6.(1)90:4:5. (2)①，EG=CG, .∠ECG=∠CEG ,将△BOD折叠得到△BED, .BE=OB=5,DE=OD,/BED= ∠BOD=90°=∠ACO. ∴.∠FEC=∠DCE. 又.EC=CE,∠ECG=∠CEG, .∴.△ECF≌△CED .'CF=ED. ②设CD=x,则OD=4一x= DE=CF」 .∴.AF=5-(4-x)=1+x. ,△ECF≌△CED, .EF=CD=. .BF=5-x. ,在Rt△ABF中，AB2+AF2= BF2, ∴.16+(1+x)2=(5-x)2,解得 '.OD=4-x=4 210 33 (3)点D的坐标为(，号)或(0,10). 解析：，△CDE是以C为直角顶点 的直角三角形，.点E在直线AC 上.如图，当点E在线段AC上时， :将△BOD折叠得到△BED, ∴.BE=OB=5,DE=OD.∴.AE √BE2-AB2=√25-16=3. ∴.CE=2.DE2=EC2+CD2, ∴.OD2=4+(4-OD)2.∴.OD= 是Do,）当点E在线段CA 的延长线上时，同理，可得AE=3, .E'C=8.D'E2=E'C2+CD2, ∴.OD2=64+(OD'-4)2.∴.OD= 10.'.D'(0,10).综上所述，点D的 坐标为(0，号)或0,10. D 8 6 E5 C 0 2 5-4-3-2-1012x -2 (第6题) 专题特训六巧用勾股定理 解决最短路径问题 1.C解析：将正方体的前面和右面 展开如图所示，连接AB.根据题意可 知，最短距离为AB的长.AC=3, 20 BC=6,'.在Rt△ABC中，由勾股定 理，得AB=√AC+BC √32+6=3√5.∴.蚂蚁爬行的最短 距离为3√5. c (第1题) 2.√149解析：如图，将长方体盒子 的侧面展开，连接MN',MN'即为细 线的最短长度.，NN′=4+1+4+ 1=10,MN=7,,.在Rt△MNN'中， 由勾股定理，得MN'= √MN+NN=√10+7 √149，即细线的最短长度为√149. N (第2题) 3.B解析：圆柱的侧面展开图如图 所示，连接AB,BC,则AB即为蚂蚁 爬行的最短路径.由题意，知AC的长 等于底面国周长的一半，即弓X元× 16=)×3×16=24(cm),BC 18cm,BC⊥AC.根据勾股定理，得 AB=√24+182=30(cm),∴.从点 A爬到点B的最短路径是30cm. B (第3题) 4.C解析：如图，连接AB,AB的长 即为蚂蚁爬行的最短路程.30+10+ 30+10=80(cm),AB= /602+802=100(cm). 60 cm 30 cm 10 cm 30 cm 10 cm B (第4题) 5.A 6号 解析：如图，在AB上取点 F',使AF'=AF.:AD平分 ∠CAB,∴.∠FAE=∠F'AE.又 AE=AE,∴△FAE≌△F'AE. .EF=EF'.在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，AC=3,BC=4, ∴.AB=√AC2+BC=5.过点C作 CHLAB,垂足为H.:AC· 1 BC=2AB·CH,·CH= ACC-是BF+cE=EF AB EC,∴.当点C,E,F共线，且点F与 点H重合时，EF+EC的值最小，最 小值为CH的长.∴.EF+EC的最小 值为导 F(H (第6题) 7.如图，作点A关于CD的对称点 A',连接BA'交CD于点O,点O即为 水厂的位置， 过点A'作A'E∥CD交BD的延长线 于点E,过点A作AF⊥BD于点F, 连接AO,则AF=A'E,DF=AC= 2 km,DE=A'C=AC=2 km. .BF=BD-DF=6-2=4(km). 在Rt△ABF中，由勾股定理，得 AF √AB2-BF2 √(2√13)2-42=6(km), ∴.A'E=6km. 在Rt△A'BE中，BE=BD+DE= 8km,由勾股定理，得A'B √A'E+BE=√6+82=10(km). .AO+OB=AO+OB=A'B= 10km. ∴.此时铺设水管的费用为2000× 10=20000(元) D 0 A'-- ---------小E (第7题) 第18章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1过点D作DH⊥BC于点 H,则∠DHB=90 ∠DFC=45°， ∴.∠DFC=∠HDF=45. .FH=DH. :DE平分∠ADC, '.∠ADE=∠CDE DE//BC, ∴.∠ADE=∠B,∠CDE=∠BCD. .∠B=∠BCD .BD=CD. 六BH=CH=号C=7 ∴.FH=BH-BF=7-2=5. .FH=DH=5. ..DF = √FH2+DH2 √52+5-5√2 [变式]D解析：如图，延长BO交 AC于点D,连接OA,OC,过点C作 CE⊥AB于点E,过点O作OF⊥BC 于点F.,O为△ABC三边垂直平分 线的交点，'.OA=OB=OC ·∠OAB=∠OBA,BF=2BC, ∠BOF= ∠BOC,∠OAC= 1 ∠OCA.,∴.∠ODC=∠OBA+ ∠BAD=∠OAB+60°.∴.∠BOC= ∠ODC+∠OCD=∠OAB+60°+ ∠OAC=∠BAC+60°=120°. ∴.∠BOF=60..∠OBF=30°. OF =0B.CE AB, 21 ∴.∠ACE=90°-∠BAC=30. &AE=3AC=&·E √AC2-AE=3√5，BE=AB AE=5..BC=BE2+CE= 2W13..BF=√13.OF2+ BF-OB (OB)() 0B.0B=239 31 E 典例29解析：由折叠的性质可 3 知，AE=AB=13,BD=ED..·在 △ABC中，∠ACB=90°，AB=13, BC=12,..AC=VAB2-BC2=5, ∠ECD=90°.∴.CE=AE-AC=8. 设DE=x,则DC=BC-BD=12- x.在Rt△ECD中，CE2+CD2= DE2,.82+（12-x)2=x2,解得 =5DE- [安式】号 解析：由题意可知， CD=AB=6 cm,AD=BC=10 cm, ∠B=∠C=90°.由折叠的性质可知， AE AD 10 cm,EF DF, .BE=√AE-AB2=8cm. ∴.CE=BC-BE=2cm.设CF= xcm,则EF=DF=CD-CF=(6 x)cm.在Rt△CEF中，由勾股定理， 得EF2=CF2十CE2,∴.x2+22= (6-x,解得=号“CF 3 cm. 典例3.AC⊥BC,AB=17,BC= 8,CD=12,DA=9, .AC=√AB2-BC= √/172-82=15.