19.3 矩形、菱形、正方形-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（沪科版·新教材）

拔尖特训·数学（沪科版）八年级下 19.3 矩形、 第1课时 自基础进阶 1.(2024·东营)如图，四边形ABCD是矩形， 直线EF分别交AD,BC,BD于点E,F,O. 下列条件中，不能证明△BOF≌△DOE的是 0 (第1题) A.O为矩形ABCD两条对角线的交点 B.EO=FO C.AE=CF D.EF⊥BD 2.(2025·绥化)一个矩形的一条对角线长为 10,两条对角线的一个夹角为60°，这个矩形 的面积是 () A.25B.25√3C.25√5D.50√3 3.(2025·湖北)一个矩形相邻两边的长分别为 2,m,则这个矩形的面积是 4.若矩形ABCD的一条对角线的长为2cm,两 条对角线构成的两组对顶角中，有一组对顶 角的度数是120°，求矩形ABCD的周长， 74 菱形、正方形 矩形的性质 ●“答案与解析”见P30 幻素能攀升 5.(2025·兰州)如图，四边形ABCD是矩形， 对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在 边AB,BC上，连接EF交对角线BD于点 P.若P为EF的中点，∠ADB=35°，则 ∠DPE的度数为 ( A.95 B.100° C.110° D.145° P/0 B (第5题) (第6题) 6.如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点， OE∥AB,交AD于点E.若OE=3,BC=8, 则OB的长为 A.4 B.5 C,3 2 D.√34 7.(2025·池州贵池期末)如图，在矩形ABCD 中，AB=3,E是BC边上一点，连接DE, AE,过点D作DF⊥AE交BC于点G,垂足 为F.若DE=√I0,ED平分∠AEC,则BC 的长为 A.4 B.5 C.√19 D.2√/10 G (第7题) (第8题) 8.(2025·滁州全椒期末)如图，在矩形ABCD 中，∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的 延长线于点F,取EF的中点G,连接CG, BG,BD,DG,则下列结论错误的是() A.BE=CD B.∠DGF=135° C.∠ABG+∠ADG=180° D若8-导则3Su=13S 9.(2025·贵州)如图，在矩形ABCD中，点E, F,M分别在AB,DC,AD边上，BE=2CF, FM分别交对角线BD、线段DE于点G,H, 且H是DE的中点.若CF=2,∠ABD 30°，则HG的长为 G D (第9题) 10.(2025·吉林)如图，在矩形ABCD中， 点E,F在边BC上，连接AE,DF, ∠BAE=∠CDF (1)求证：△ABE2△DCF. (2)当AB=12,DF=13时，求BE的长 (第10题) 第19章四边形 思维拓展 11.★如图①，在锐角三角形ABC中 CD,BE分别是边AB,AC上的 高，连接DE,M,N分别是线段 BC,DE的中点，连接MN,DM,ME. (1)求证：MN⊥DE (2)猜想∠A与∠DME之间的数量关系， 并证明你的猜想， (3)如图②，当∠BAC变为钝角时，(1)(2) 中的结论是否仍然成立？若成立，直接回 答，无须证明；若不成立，请说明理由、 ② (第11题) 75 拔尖特训·数学（沪科版）八年级下 第2课时 自基础进阶 1.在数学活动课上，同学们判断一个四边形门 框是否为矩形，下列是几个学习小组拟定的 方案，其中，正确的是 A.测量对角线是否互相平分 B.测量两组对边是否分别相等 C.测量对角线是否相等 D.测量其中三个内角是否都为直角 2.(2025·德阳)如图，要使平行四边形ABCD 是矩形，需要增加的一个条件可以是() D (第2题)》 A.AB//CD B.AB=BC C.∠B=∠D D.AC=BD 3.(2025·云南)如图，在△ABC中，∠ABC= 90°，O是AC的中点，延长BO至点D,使 OD=OB,连接AD,CD.记AB=a,BC=b, △AOB的周长为L1,△BOC的周长为l2,四 边形ABCD的周长为l3 (1)求证：四边形ABCD是矩形 (2)若l2-l1=2,13=28,求AC的长 (第3题) 76 矩形的判定 “答案与解析”见P31 幻素能攀升 4.如图，在锐角三角形ABC中，延长BC到点 D,O是边AC上的一个动点，过点O作直线 MN∥BC,分别交∠ACB,∠ACD的平分线 于点E,F,连接AE,AF.有下列结论： ①OE=OF;②CE=CF;③若CE=12, CF=5,则OC=6;④当AO=CO时，四边 形AECF是矩形.其中，正确的是 () M C D (第4题) A.①④ B.①② C.①②③ D.②③④ 5.(2025·铜陵枞阳期末)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,M是边 AB上一点（不与点A,B重合），过点M作 ME⊥AC于点E,MF⊥BC于点F.若P是 EF的中点，则CP长的最小值是 C (第5题) A.1.2 B.1.5 C.2.4 D.2.5 6.★如图，在△ABC中，AB=AC,将△ABC绕 点C按顺时针方向旋转180°得到△FE℃，连 接AE,BF.当∠ACB= 时，四边形 ABFE为矩形 (第6题) 7.(2025·淮北濉溪期末)如图，在△ABC中， AB=AC,D是AC的中点，AE∥BC,过D 点作EF∥AB,分别交AE,BC于点E,F,连 接AF,CE.求证：四边形AECF是矩形. (第7题) 8.(2025·阜阳阜南期末)如图，在平行四边形 ABCD中，DE平分∠ADB,交AB于点E, BF平分∠CBD,交CD于点F. (1)求证：DF=BE (2)若AD=BD,求证：四边形DEBF是 矩形. (第8题) 第19章四边形 思维拓展 9.新考法·条件开放题如图，在△ABC 中，AB=AC,AD是△ABC的角平 分线，F为AC的中点，延长FD到 点E,使DE=DF,连接BF,CE,BE (1)求证：BE=CF (2)判断四边形BECF的形状，并给予证明. (3)再给△ABC添加一个条件，使四边形 BECF是矩形，并加以证明. (第9题) 拔尖特训·数学（沪科版）八年级下 第3课时 自基础进阶 1.(2025·潜山期末)在菱形ABCD中，若 ∠A=60°，则∠B的度数是 A.60°B.90° C.120°D.150° 2.(2025·淮南期末)如图，在菱形ABCD中， E,F分别是AB,AC的中点.若EF=2,则 菱形ABCD的周长为 () D B (第2题) A.4 B.8 C.16D.20 3.(2025·青海)如图，在菱形ABCD中，BD= 6,E,F分别为AB,BC的中点，且EF=2, 则菱形ABCD的面积为 D B≌ (第3题) (第4题) 4.(2025·马鞍山和县期中)如图，四边形 ABCD为菱形，对角线AC,BD相交于点O, DH⊥AB于点H,连接OH.若∠CAD= 25°，则∠DHO的度数是 5.(2025·泸州)如图，在菱形ABCD中，E,F 分别是边AB,BC上的点，且AE=CF.求 证：AF=CE. (第5题) 78 菱形的性质 ●“答案与解析”见P32 幻素能攀升 6.(2025·安徽模拟)如图，在边长为2的菱形 ABCD中，分别以点A,B为圆心，大于号AB 的长为半径作弧，两弧相交于点M,N,作直 线MN,交AD于点E,连接CE.若∠B= 135°，则CE的长为 () A.√6 B.√2+1C.√3+1D.22 YA (第6题) (第7题) 7.数形结合思想如图，菱形ABCD的对角线AC 的中点与平面直角坐标系的原点O重合，且 AD∥x轴.若点A(-1,2),菱形ABCD的面 积为20，则点D的坐标为 A.(3,2) B.（2,2) C.(2√5,2) D.(4,2) 8.★易错题如图，在菱形ABCD中，AB=4, E,F分别是AB,BC的中点，P是AC上一 动点，则PF十PE的最小值为 () D D (第8题) A.3 B.35C.4 D.4√5 9.(2025·兰州)如图，在菱形ABCD中，AE⊥ BC,垂足为E,交BD于点F,BE=CE.若 AB=4√3，则AF= (第9题) 10.(2025·辽宁)如图，在菱形ABCD中，对角 线AC与BD相交于点O,AC=8,BD= 12,点E在线段OA上，AE=2,点F在线 段OC上，OF=1,连接BE,G为BE的中 点，连接FG,则FG的长为 (第10题) (第11题) 11.(2025·凉山)如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC,BD相交于点 O,E是边CD的中点，过点E作 EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G.若 AC=12,BD=16,则FG的长为 12.(2025·合肥庐江期中)如图，菱形ABCD 的边长为4cm,∠BAD=120°，对角线AC, BD相交于点O.求： (1)菱形的两条对角线的长， (2)菱形的面积 D (第12题) 第19章四边形 思维拓展 13.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E在 边BC上，点F在边CD上. (1)若E是BC的中点，∠AEF=60°，求 证：BE=DF. (2)若∠EAF=60°，求证：△AEF是等边 三角形 B E C (第13题) 79 拔尖特训·数学（沪科版）八年级下 第4课时 自基础进阶 1.(2025·宿州萧县一模)已知四边形ABCD 的对角线AC与BD交于点O,AB∥CD.添 加下列选项中的条件，仍不能判定四边形 ABCD是菱形的为 A.AD=BC,AC⊥BD B.AB=CD,AB=AD C.AD//BC,OA?+OB2=AB? D.AB=CD,AC⊥BD 2.(2025·湖南)如图，在四边形ABCD中，对 角线AC与BD互相垂直平分，AB=3,则四 边形ABCD的周长为 () A.6 B.9 C.12 D.18 (第2题) (第3题) 3.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC, BD相交于点O,请添加一个条件： ,使平行四边形ABCD为菱形 4.(2025·贵州)如图，在□ABCD中，E为对角 线AC的中点，连接BE,且BE⊥AC,垂足 为E.延长BC至点F,使CF=CE,连接 EF,FD,且EF交CD于点G. (1)求证：四边形ABCD是菱形 (2)若BE=EF,EC=4,求△DCF的面积 (第4题》 80 菱形的判定 ●“答案与解析”见P33 幻素能攀升 5.(2025·合肥庐阳期末)如图，将两张对边平 行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起， 转动其中一张，重合部分是一个四边形，则下 列结论不一定成立的是 ( A.∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD B.AB=BC C.AB=CD,AD=BC D.∠DAB+∠BCD=180 D (第5题) (第6题) 6.(2025·合肥庐阳期末)如图，AC,BD是四 边形ABCD的对角线，E,F分别是AD,BC 的中点，M,N分别是AC,BD的中点.若四 边形EMFN是菱形，则原四边形ABCD应 满足的条件是 ( ) A.AB=CD B.AB⊥CD C.AC=BD D.AC⊥BD 7.新考法·条件开放题如图，在△ABC中，AD, CD分别平分∠BAC,∠ACB,AE∥CD, CE∥AD.有下列条件：①AB=AC; ②AB=BC:③AC=BC.从中选择一个作 为已知条件，能使四边形ADCE为菱形的是 .(填序号) H (第7题) (第8题 8.新考法·条件开放题如图，在四边 ABCD中，连接四边的中点E,F G,H,构成一个新的四边形，请你 四边形ABCD添加一个条件，使四边形 EFGH成为一个菱形.这个条件可以是 9.★(2025·淮南期末)如图，在四边形ABCD 中，AB=AD,CB=CD,E是CD上一点， BE交AC于点F,连接DF. (1)求证：∠BAC=∠DAC. (2)若∠BEC=∠ABE,求证：四边形 ABCD是菱形 (第9题) 第19章四边形 思维拓展 10.如图①，在△ABC和△EDC中，AC= CE=CB=CD,∠ACB=∠DCE=90°， AB与CE交于点F,ED分别与AB,BC 交于点M,H. (1)求证：CF=CH. (2)如图②，△ABC不动，将△EDC绕点 C旋转，使∠BCE=45°，试判断四边形 ACDM是什么特殊四边形，并说明理由， H C ① ② (第10题) 81 拔尖特训·数学（沪科版）八年级下 第5课时正方 自基础进阶 1.(2025·滁州期末)平行四边形、矩形、菱形、 正方形都具有的性质是 A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线互相垂直 2.(2025·合肥瑶海期末)如图，四边形ABCD 是平行四边形，下列结论不正确的是() A.当AB=BC时，它是菱形 B.当AC⊥BD时，它是菱形 C.当∠ABC=90°时，且AC=BD,它是正方形 D.当AC=BD时，它是矩形 B (第2题) (第3题) 3.(2025·合肥庐江段考)如图，在正方形 ABCD中，E为对角线AC上一点，F为边 AB上一点，且BF=DE,连接EF.若 ∠CDE=50°，则∠BFE的度数为 4.(2025·广安)如图，E,F是正方形ABCD的 对角线BD上的两点，BD=10,DE=BF,连 接AE,AF,CE,CF. (1)求证：△ADE≌△CBF, (2)若四边形AECF的周长为4√34，求EF 的长 (第4题) 82 形的性质与判定 “答案与解析”见P33 幻素能攀升 5.(2025·天长期末)如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，AC=BC=5.正方形DEFG 的边长为√5，顶点D,E,G分别在△ABC的 边上，则BG的长为 A.3 B.3√2 C.5 D.5√2 (第5题) (第6题) 6.(2025·芜湖二模)正方形ABCD,CEFG按 如图所示的方式放置，点B,C,E在同一条 直线上，点P在EC边上，且∠APF=90°，连 接AF交CG于点M,连接PM.下列条件 中，不能使PA=PF的是 A.EP=BC B.PM=PE+GM C.SE方形ABD十S正方形CEr=2S△APF D.∠DAM=∠EFP 7.(2025·淮南田家庵期中)如图，在平面直角 坐标系中，四边形OABC是正方形，M,N分 别是边AB,BC上的点.已知点A(1,3),点 N(n,0),∠MON=45°，则△MNB的周长 为 M 0 B (第7题) (第8题) 8.(2023·广西)如图，在边长为2的正方形 ABCD中，E,F分别是BC,CD上的动点， M,N分别是EF,AF的中点，则MN长的 最大值为 9.(2025·长沙)如图，在正方形ABCD中， 点E,F分别在AB,CD上，且BE=DF】 (1)求证：四边形AECF是平行四边形， (2)连接EF.若BC=12,BE=5,求EF 的长 B (第9题) 10.(2025·合肥包河期末)如图，在正方形 ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别截取 相等的线段AE,BF,CG,DH,连接EF, FG,GH,HE得四边形EFGH. (1)求证：四边形EFGH是正方形. (2)连接EG.若AB=7,BE=3,求EG 的长. H B (第10题) 第19章四边形 思维拓展 金 11.新情境·现实生活(2025·德阳) 综合实践活动中，同学们将对学 的一块正方形花园ABCD进行 量并规划使用.如图，点E,F处是它的两个 门，且DE=CF,要修建两条直路AF,BE, AF,BE相交于点O(门的大小忽略不计). (1)这两条路是否等长？它们有什么位置 关系？并说明理由 (2)同学们测得AD=4米，AE=3米，根据 实际需要，某小组同学想在四边形OBCF 上再修一条2.5米长的直路，这条直路的一 端在点F处，另一端P在已经修建好的路 段OB或花园的边界BC上，并且另一端P 与点B处的距离不少于1.5米.请问能否修 建成这样的直路？若能，能修建几条？并说 明理由、 (第11题) 83.易得BG=3,FG=1. ∴.AG=√62-3=35.】 ∴.BE=AF=√AG+FG=2√7. 8.(1)补全图形如图所示. △ABC是等边三角形， .∠A=∠B=∠ACB=60. 点E,G关于AC对称， ..∠ACG=∠ACB=60°，CE=CG. ..∠A=∠ACG. ∴.ABCG,即BDCG. .·∠DEF=60°，∠BED+∠CEF十 ∠DEF=180°， ∴.∠BED+∠CEF=120 ,在△BDE中，∠BDE+∠BED= 180°-∠B=120°， .∠BDE=∠CEF. 在△BDE和△CEF中， ∠B=∠ECF, ∠BDE=∠CEF, DE=EF, ∴.△BDE≌△CEF. ∴.BD=CE ∴.CG=BD 又BDCG, ∴.四边形DBCG是平行四边形 (2)如图，连接DF,GF. 四边形DBCG是平行四边形， ∴.BC=DG,∠DGC=∠B=60 ,△ABC是等边三角形， ∴.BC=AB=√EDE. .DG=√2DE. DE=EF,∠DEF=60°， ∴.△DEF是等边三角形 .DE=DF. 点E,G关于AC对称， ∴.易得EF=GF,∠CEF=∠CGF. .DE=DF=GF. ∴.DG=√2DF=√2GF. ∴.在△DFG中，DG2=DF2+GF2. .∠DFG=90°. 又DF=GF, .'.∠FDG=∠FGD=(180°-90)÷ 2=45° ∴.∠CGF=∠DGC-∠FGD=15°. ∴.∠BDE=∠CEF=∠CGF=15. G B E (第8题) 19.3矩形、菱形、正方形 第1课时矩形的性质 1.D2.B3.2m 4.根据题意，作出图形如图所示，其 中∠BOC=120°. ,四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABC=90,AC=BD=2cm, OA-7AC.OB-7 BD. 1 .∴.OA=OB=1cm. :∠B0C=120°， ∴.∠AOB=180°-∠BOC=60. ∴.△AOB是等边三角形 .∴.AB=OA=1cm. :在Rt△ABC中，∠ABC=90°， .由勾股定理，得BC= √AC-AB=√22-1'=√5(cm). .矩形的周长为2(AB+BC)=2X (1+√5)=(2+2√3)cm. A 0 B (第4题) 5.C6.B 7.B解析：，四边形ABCD是矩 形，.AB=CD=3,∠DCE=90°， AD∥BC.∴.∠ADE=∠DEC. ·ED平分∠AEC,DC⊥CE,DF⊥ AE,∴.DF=DC=3,∠DEF= ∠DEC.∴.∠ADE=∠DEF ∴.AD=AE.在Rt△DCE中，DE= 30 √10，∴.CE=√DE2-DC=1.设 AE=x,则AD=BC=AE=x. ∴.BE=BC-CE=x-1.在Rt△ABE 中，BE2+AB2=AE2,∴.(x-1)2+ 3=x2,解得x=5.∴.BC=5. 8.B解析：由题意，易得△ABE是 等腰直角三角形，AB=BE, ∠AEB=45°.：AB=CD,∴.BE= CD.:∠CEF=∠AEB=45, ∠ECF=90°，∴.△CEF是等腰直角 三角形.G是EF的中点，∴.易得 CG=EG,∠FCG=45°.∴.∠BEG= ∠DCG=135°.BE=CD, ∴.△DCG≌△BEG.∴.∠BGE= ∠DGC,∠CBG=∠CDG..∠BGE ∠AEB,'.∠DGC=∠BGE<45. :∠CGF=90°，.∠DGF<135. ·∠BGE=∠DGC,∠CBG= ∠CDG,.∠ABG+∠ADG= ∠ABC+∠CBG+∠ADC- ∠CDG=∠ABC+∠ADC=180°. “8=专设AB=2a,AD 3a.'△DCG≌△BEG,.∠BGE= ∠DGC,BG=DG.∠EGC=90, .易得∠BGD=90.:BD= √AD2+AB=√13a,∴.BG= DG=26 2a.∴.S△G=a2 135m=翠c.过点G作GM1 CF于点M.,CE=CF=BC- BE=BC-AB=a,∴.GM= CF= 1 a.Sae=zDF·GM= 1 1 39 .3S△mG=13S△xF. 923⑤ 3 10.(1)在矩形ABCD中，AB=CD, ∠B=∠C=90°. 在△ABE和△DCF中， ∠BAE=∠CDF, AB=DC, ∠B=∠C, ∴.△ABE≌△DCF. (2)由(1)，知△ABE≌△DCF, ∴.AE=DF=13. AB=12, ∴.BE=√AE-AB2=5. 11.(1)CD,BE分别是边AB,AC 上的高， ..∠BDC=∠BEC=90°」 M是BC的中点， DM-7 BC.ME-BC. ∴.DM=ME. 又，N是DE的中点， ∴.MN⊥DE (2)∠DME=180°-2∠A. 在△ABC中，∠ABC+∠ACB= 180°-∠A. 同理(1)，得DM=ME=BM=MC= C, ∴.∠ABC=∠BDM,∠ACB= ∠CEM. .∴.∠BMD+∠CME=(180° 2∠ABC)+(180°-2∠ACB)= 360°-2（∠ABC+∠ACB)=360° 2(180°-∠A)=2∠A. ∴.∠DME=180°-（∠BMD+ ∠CME)=180°-2∠A. (3)(1)中的结论成立，(2)中的结论 不成立 理由：在△ABC中，∠ABC十 ∠ACB=180°-∠BAC. 同理(1)，得DM=ME=BM=MC= ∴.∠ACB=∠CEM,∠ABC= ∠BDM. ∴.∠BME+∠CMD=2∠ACB+ 2∠ABC=2(∠ACB+∠ABC)= 2(180°-∠BAC)=360°-2∠BAC. .'.∠DME=180°-（∠BME+ ∠CMD)=180°-(360°-2∠BAC)= 2∠BAC-180° 方法制归纳 直角三角形斜边上 中线的运用技巧 若题目中出现了一边的中点， 则往往需要用到中线.若又有直 角，则可能需要用到直角三角形斜 边上的中线等于斜边的一半这一 定理.在直角三角形中，遇到斜边 上的中点，常作斜边上的中线，把 问题转化为与等腰三角形有关的 问题，用等腰三角形的性质解决， 第2课时矩形的判定 1.D2.D 3.(1)O是AC的中点， .OA=OC. OB=OD, ,∴.四边形ABCD是平行四边形 .∠ABC=90°， ∴.四边形ABCD是矩形. (2):l2-l1=BC-AB=b-a=2, l3=2(AB+BC)=2(a+b)=28, b-a=2, a=6, 解得 b+a=14, {b=8. ..AB=6,BC=8. .AC=VAB2+BC2=10. 4.A 5.A解析：连接CM..∠ACB= 90°，AC=3,BC=4,..AB= √AC+BC=5.ME⊥AC, MF⊥BC,∠ACB=90°，.四边形 CEMF是矩形.∴.EF=CM.,P是 EF的中点，“CP=ER.当CML AB时，CM的长最小，此时EF的长 也最小，则CP的长最小.·△ABC 的面积=2 AB XCM=-2 ACX BC, :CM ACXBC 3X4 =2.4. AB 5 31 ..CP= 2 EF= 1 CM=1.2. 6.60 方法归纳 逆向思维的解题方法 要求当∠ACB等于多少度时， 四边形ABFE为矩形，可以把四边 形ABFE为矩形看成已知条件，求 ∠ACB的度数，这种逆向思维是解 决条件探索题的一般思路. 7.:D是AC的中点， .DA=DC. AE//BC, ∴.∠AED=∠CFD. :∠ADE=∠CDF .△ADE≌△CDF .AE=CF. 又：AEBC, ∴.四边形AECF是平行四边形 ·AEBC,EF∥AB, ∴.四边形ABFE是平行四边形. ∴.AB=EF. .AB=AC .AC=EF. .四边形AECF是矩形 8.(1)四边形ABCD是平行四 边形， .AD//BC,AB//CD. ∴.∠ADB=∠CBD. :DE平分∠ADB,BF平分 ∠CBD, ∴.∠EDB三7∠ADB,∠DBF自 1 /CBD. .∠EDB=∠DBF .DE//BF 又ABCD, ∴.四边形DEBF是平行四边形 .DF=BE. (2):AD=BD,DE平分∠ADB, ∴.DE⊥AB. 又，四边形DEBF是平行四边形， ∴.四边形DEBF是矩形 9.(1)AB=AC,AD是△ABC的 角平分线， .'BD=CD 在△BDE和△CDF中， (BD=CD, ∠BDE=∠CDF, DE-DF ,'.△BDE≌△CDF .'BE=CF. (2)四边形BFCF是平行四边形. .'BD=CD,DE=DF, ∴.四边形BECF是平行四边形 (3)答案不唯一，如AB=BC. 由(2)，知四边形BECF是平行四 边形， .'BE//FC,BE=FC. ∴.BE∥AF. F为AC的中点， .AF=FC. ∴BE=AF ,'.四边形ABEF是平行四边形 .AB=EF. .AB=BC, .'EF=BC. ∴.四边形BECF是矩形. 第3课时菱形的性质 1.C2.C3.124.25 5.:四边形ABCD是菱形， ∴.AB=BC .AE=CF .AB-AE=BC-CF,即BE=BF」 ∠B=∠B, .∴.△ABF≌△CBE. ∴.AF=CE 6.A7.D 8.C解析：四边形ABCD是菱 形，'.AD=BC,AD∥BC,直线AC 是菱形ABCD的对称轴.如图，作点 E关于AC的对称点E,连接E'P, EF,则PE=PE'..PF+PE= PF+PE'..当点E',P,F在同一 条直线上时，PF+PE的值最小，即 为EF的长.·AC是菱形ABCD的 对称轴，E是AB的中点，.易知点 E'在AD上，且E是AD的中点.又 F是BC的中点，AD=BC, .AE=FB.ADBC,∴.四边形 AEFB是平行四边形.∴.EF= AB=4,即PF+PE的最小值为4. D 、 (第8题) 易错警示 忽略利用菱形对称性找对称 点，将所求转化为两点间线段长 求解。 方法制归纳 菱形对角线上一动点与对角线 同侧的边上两定点间距离之 和的最小值的求法 已知菱形邻边上的两个定点， 且在某条对角线的同侧，则对角线 上任意一点到这两点距离的和有 最小值，最小值为其中一个定点关 于这条对角线的对称，点与另一定 点之间的距离， 9.4 10.√3解析：AC=8,BD= 12,AE=2,OF=1,.OB=6,OC= 4..CE=8-2=6,CF=OC-OF= 4-1=3..F为CE的中点.又：G 为BE的中点，.GF为△BCE的中 位线.：'BC=√OB2+OC= 2丽，.FG=号BC=E. 11.5解析：连接OE.四边形 ABCD是菱形，AC=12,BD=16, AC⊥BD,OC=2AC=6,OD= 32 名BD=&÷∠00D=90.在 Rt△COD中，由勾股定理，得CD= √OC+OD=10.E是边CD的 1 中点，小OE=2CD=5.”EF1 BD,EG⊥AC,'.∠OGE=∠OFE= ∠COD=90°.'.四边形OGEF是矩 形.FG=OE=5. 12.(1)由题意，知AB=BC=4cm, AC⊥BD,∠BAD=120°， ·∠BAC=3∠BAD-60 ∴.△ABC是等边三角形 .'AC=AB=4 cm. 在菱形ABCD中，A0=AC 2 cm. 在Rt△AOB中，由勾股定理，得 OB2+OA2=AB2, ∴.BO=√AB2-AO=√4-2= 2√3(cm). ∴.在菱形ABCD中，BD=2BO= 4√/3cm. ∴.菱形的两条对角线长分别为4cm, 4√3cm. (2)由1)，得菱形的面积=24C· BD=号×4X45=8F(cm). 13.(1)连接AC. 四边形ABCD是菱形， ∴.AB=BC=CD,ABCD. ∠B=60°， ∴.∠ECF=180°-∠B=120°， △ABC是等边三角形. E是BC的中点， .AE⊥BC. ∴.∠AEC=90. ∠AEF=60, ∴.∠FEC=∠AEC-∠AEF=30°. ∴.∠CFE=180°-∠FEC- ∠ECF=30°. '.∠FEC=∠CFE. .'EC=CF. ∴.BC-EC=CD-CF,即BE=DF. (2)由(1)，知△ABC是等边三角形 .AB=AC,∠ACB=∠BAC=60° .∴.∠ACF=∠ECF-∠ACB=60°. .∠B=∠ACF. .*∠EAF=60°， ∴.∠EAF-∠EAC=∠BAC- ∠EAC,即∠CAF=∠BAE. 在△ABE和△ACF中， ∠B=∠ACF, RAB=AC, ∠BAE=∠CAF, .'.△ABE≌△ACF. .AE=AF. 又.∠EAF=60°， '.△AEF是等边三角形 第4课时 菱形的判定 1.A2.C3.AC⊥BD(答案不 唯一) 4.(1)E为对角线AC的中点， BE⊥AC, ∴.BE垂直平分AC .'AB=BC. ·四边形ABCD是平行四边形， ∴.四边形ABCD是菱形 (2).BE=EF, .∠EBF=∠EFB. CF=CE, '.∠CEF=∠CFE '.∠BCE=∠CEF+∠CFE 2∠CFE=2∠EBF. .∠BEC=90, .∠CBE=30°，∠BCA=60°. ∴.∠ACB=∠ACD=60. ∴.∠DCF=60. .∠BCE=∠DCF. BC=CD,CE=CF, .△BCE≌△DCF. ∴.∠DFC=∠BEC=90. .CF=CE=4, .DF=√5CF=45. ·.△DCP的面积=2DF·CF= 85. 5.D6.A7.②8.答案不唯一， 如四边形ABCD的对角线相等 9.(1)在△ABC和△ADC中， (AB=AD, RAC=AC, BC=DC, '.△ABC≌△ADC ∴.∠BAC=∠DAC. (2),∠BEC=∠ABE, :AB//CD. .∠BAC=∠ACD 又∠BAC=∠DAC, ∴.∠CAD=∠ACD. ∴.AD=CD .AB=AD,CB=CD, .AB=CB=CD=AD. .四边形ABCD是菱形. 方法归纳 判定菱形的方法 (1)用对角线进行判定：先证 明四边形是平行四边形，再证明对 角线互相垂直或直接证明四边形 的对角线互相垂直平分， (2)用边进行判定：先证明四 边形是平行四边形，再证明一组邻 边相等或直接证明四边形的四条 边都相等， 10.(1):∠ACB=∠DCE=90, ∴.∠ACB-∠BCE=∠DCE ∠BCE,即∠1=∠2. :AC=CB,∠ACB=90°， .∠A=(180°-90)÷2=45°. 同理，可得∠D=45, ∴.∠A=∠D. .AC=DC, .△ACF≌△DCH. ∴.CF=CH. (2)四边形ACDM是菱形. 33 理由：.∠ACB=∠DCE=90°， ∠BCE=45°， ..∠1=∠2=45 由(1)，知∠D=45°， ∴.∠E=180°-∠D-∠DCE=45. .∠1=∠E .ACDE,即MD∥AC. .∠AMH=180°-∠A=135. ∴.∠AMH+∠D=180° .AM∥DC. .四边形ACDM是平行四边形. .AC=CD, ,∴.四边形ACDM是菱形 第5课时正方形的性质与判定 1.B2.C3.70 4.(1)四边形ABCD为正方形， ∴.AD=BC,BC∥AD. .∠ADE=∠CBF. DE=BF, ∴.△ADE≌△CBF. (2)连接AC交BD于点O. 四边形ABCD为正方形，BD=10, ÷0A=0C=OB=0D=2BD=5, AF=CF,AE=CE 由(1)，知△ADE≌△CBF, .AE=CF. ∴.AF=CF=AE=CE. ∴.四边形AECF是菱形. ∴.OF=OE,即EF=2OF. ,四边形AECF的周长为4AF= 4√/34， .AF=√34. 在Rt△AOF中，由勾股定理，得 OF=√AF2-OA2=3, ∴.EF=2OF=6,即EF的长为6. 5.B解析：在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，AC=BC=5,.AB= √2AC=5√2，∠A=∠B=45°..·四 边形DEFG是正方形，.DE= EF=FG=DG=√5，∠DEF= ∠EFG=∠FGD=∠EDG=90°.如 图，过点G作GH⊥AC于点H,则 AH=GH,∠GHD=∠C=90. :∠EDG=90°，∴.∠EDC+ ∠GDH=∠EDC+∠DEC=90. ∴.∠GDH=∠DEC.∴.△GDH≌ △DEC.∴.GH=DC,HD=CE.设 AH-GH=DC=a,HD=CE=b, 则AC=AH+HD+DC=2a+b= 5.在Rt△CDE中，由勾股定理，得 CD2+CE2 DE2,.a2+62= 12a+b=5, (5)2.联立，得 解 a2+b2=(5)2, a=2, 得 (负值舍去..AH= b=1 GH=2.在Rt△AGH中，AG= √2AH=22,.BG=AB-AG= 5W2-2√2=3√2. H-- D B E (第5题) 6.D解析：当EP=BC时，则EP+ CP=BC+CP,即EC=BP.由题意， 得AB=BC,EF=CE,∠E=∠B= 90.∴.EF=BP,EP=AB. .△EPF≌△BAP.∴.PA=PF.当 PM=PE+GM时，如图，延长CG到 点H,使GH=EP,连接FH. FE=FG,∠E=∠FGC= ∠EFG=90°，.∠FGH=180°- 90°=90=∠E..△FGH≌ △FEP.∴.∠GFH=∠EFP,FH= FP.∴.∠THFP=∠GFH+ ∠PFG=∠EFP+∠PFG= ∠EFG=90.:PM=PE+GM, ∴.PM=GH+GM=MH. 又：FM=FM,∴.△PFM≌ △HFM.∴.∠PFM=∠HFM= 3∠HFP=45:∠APF=90. .PA=PF.当S正方形AXD十 S正方形G=2S△APF时，设AB=a, EF=b,EP=x,则CP=b-x. “S人件=S狂方AD十SE匹_ 2 a2+b2 22.”SAPR=S#无一SAm Sp=.a+b)- bx- 2 2 2a·(6-x+a)=Q2+2ab+b 2 bx一 ab+ ar- a2+b2 1 ab- bx+ 2 2 2 2a 2a,+b21 2 2bx十 2. ab 1 1 zbr+2ux-2a2=0.a-x)… (b-a)=0.b≠a,∴.a-x=0. ∴a=x.EP=AB=BC..易得 PA=PF.AD∥BC∥GF, ∴.∠DAM=∠GFM.,∠DAM= ∠EFP,∴.∠EFP=∠GFM.由B选 项的证明过程可知，只有当∠DAM+ ∠GFM=∠PFM=45时，才能证明 结论 H D (第6题) 7.2√10解析：如图，延长NC到 点L,使CL=AM,过点A作AK⊥y 轴于点K.,四边形OABC是正方 形，∴.OA=OC,∠OAM=∠OCB= 90°..∠OCL=180°-∠OCB=90°. ∴.∠OCL=∠OAM.∴.△OAM≌ △OCL..OM=OL,∠AOM= ∠COL..∠MON=45, ∴.∠AOM+∠CON =45°. ∴.∠C0L+∠CON=45. 34 '.∠NOL=∠MON=45°..ON= ON,.△OMN2△OLN.'.MN= NL..NL=CN+CL=CN+AM, ∴.MN=AM+CN.∴.△MNB的周 长=MN+MB+NB=AM+CN+ MB+NB=AB+BC=2AB=20A 点A的坐标是(1,3)，.AK=1, OK=3.∴.OA=√OK+AK= √10..∴.△MNB的周长是2√10. (第7题) 8.√2解析：连接AE.M,N分别 是EF,AF的中点，∴.MN是△AEF 的中位线·MN=2AE.:四边形 ABCD是正方形，∠B=90°，.在 Rt△ABE中，由勾股定理，得AE= √AB+BE=√4+BE.∴.当 BE的长最大时，AE的长取得最大 值，此时MN的长最大.E是BC 上的动点，∴.当点E和点C重合时， BE的长最大，即为BC的长..此时 AE=√4+2=22.∴.MN= 方A证=反.MN长的最大值 为W2! 9.(1)在正方形ABCD中，AB= CD,AB//CD. .'BE=DF, .AB-BE=CD-DF,AE=CF. 又ABCD, ∴.四边形AECF是平行四边形 (2)如图，过点E作EH⊥CD于点 H,则∠EHC=∠EHF=90°. .·四边形ABCD是正方形，BC=12, .AB=BC=CD=AD=12,∠B ∠BCD=90° ∴.∠EHC=∠B=∠BCD=90° '.四边形EBCH是矩形 .EH=BC=12,CH=BE=5. .DH=CD-CH=12-5=7. .BE=DF=5, .HF=DH-DF=7-5=2 在Rt△EFH中，由勾股定理，得 EF=√EH+HF=2√37. D H B (第9题) 10.(1),四边形ABCD是正方形 '.AB=BC=CD=DA,∠A= ∠B=∠C=∠D=90°. ·AE=BF=CG=DH, .AB-AE=BC-BF=CD-CG= DA-DH,即BE=CF=DG=AH. 在△AEH,△BFE,△CGF, △DHG中， AE=BF=CG=DH, ∠A=∠B=∠C=∠D, BE=CF=DG=AH, ∴.△AEH≌△BFE≌△CGF≌ △DHG. ∴.HE=EF=FG=GH, ∠AEH=∠BFE. ∴.四边形EFGH是菱形 在△BEF中，∠BEF+∠BFE=9O°， ∴.∠BEF+∠AEH=90. .∠HEF=180°-（∠BEF+ ∠AEH)=90°. ∴.四边形EFGH是正方形 (2)AB=7,BE=3, .'AE=AB-BE=4,AH=BE=3. 在Rt△AEH中，由勾股定理，得 HE=√AE+AH=5. ,四边形EFGH是正方形， .HE=GH=5,∠EHG=90 在Rt△EHG中，由勾股定理，得 EG=√HE+GH=5√2. 11.(1)这两条路等长：位置关系是互 相垂直 理由：，四边形ABCD是正方形， ∴.BA=AD=CD,∠BAE= ∠D=90. DE=CF, ∴.AD-DE=CD-CF,即AE= DF. .'.△BAE2△ADF」 '.BE=AF,∠ABE=∠DAF :∠BAE=∠BAO+∠DAF=90, '.∠BAO+∠ABE=90. :∠AOB=180°-（∠BAO+ ∠ABE)=90°，即AF⊥BE (2)能修建一条这样的直路，且点P 在边界BC上. 理由：AD=AB=CD=4米，AE= 3米， .DE=CF=1米. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得 BE=√AB2+AE=√4+32= 5(米) 由(1)，得AF=BE=5米，AF⊥BE, S△AE=7BE·OA=2AB· AE. OA=ABAE=3X4=2.4(米). BE 5 .OF=AF-OA=5-2.4= 2.6(米). 根据“垂线段最短”，得点F到路段 OB的最短距离为2.6米， ∴.路段OB上不存在点P到点F的 距离等于2.5米. 当点P在边界BC上时，在Rt△PCF 中，由勾股定理，得PC= √FP-FC=√2.52-1下= BP=C-PC-(-）米 4->4-即4 2 >15 35 '.此时点P符合题意，即能修建一条 这样的直路。 专题特训八特殊四边形 中的折叠问题 1.126°解析：，四边形ABCD是平 行四边形，∴.ADBC,∠A=∠C.由 折叠，得∠ABE=∠A'BE=∠CBF ∠A'EB=∠AEB,∠BEF=∠C= ∠A.∴.∠A'EB=∠AEB= ∠EBC=2∠A'BE=2∠ABE. EF⊥EA',∴.∠A'EF=90 .∠BEF-∠A'EB=90..∠A 2∠ABE=90.∠A=180° ∠ABC=180°-3∠ABE,.180° 3∠ABE- 2∠ABE=90. ∴.∠ABE=18°..∠AEB= 2∠ABE=36..∠A=180° ∠ABE-∠AEB=180°-18° 36°=126. 2.(1)5;30° (2)由折叠，知∠CEF=∠MEF, ∠EFD=∠EFN,∠N=∠D: AD//BC, .∠CEF+∠EFD=180°. ∴.∠MEF+∠EFN=180°. ∴.ME∥NF ∴.∠BME=∠N. ∠B=∠D,AD=BC, .∴.∠BME=∠B. .BE=ME=CE. 1 :ME-BC. :ADBC,点N在BA延长线上， ∴.∠B=∠NAF=∠N. ∴.AF=NF=DF NF-TAD. AD=BC, ∴.ME=NF. .四边形EMNF为平行四边形. 3.40°或80 4.(1)四边形AECF是菱形.