18.1 勾股定理-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（沪科版·新教材）

第18章 勾股定理及其逆员 18.1勾 第1课时 自基础进阶 1.(2025·滁州全椒期末)在△ABC中，∠C= 90°，AB=3,则AB+BC2+AC的值为 A.24 B.18 C.12 D.9 2.(2025·阜阳界首期中)如图，在四边形 ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，分别以四 边形的四条边为边向外作四个正方形，其面 积分别记为S1,S2,S3,S4.若S2=40,S3 58,S4=62,则AD的长为 () S (第2题) A.7 B.5 C.4 D.6 3.数形结合如图，在数轴上找到点A,使OA 5,过点A作虚线l垂直于OA,在L上取点 B,使AB=2,以点O为圆心，OB长为半径 作弧，与数轴交于点C,那么点C表示的无理 数是 () B 0- C- 012345 (第3题) A.√21 B.√J29 C.7 D.29 44 理 股定理 勾股定理 “答案与解析”见P14 4. 新考向·数学文化如图所示为“弦图”的示意 图，“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽 在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着我 国古代的数学成就.它由4个全等的直角三 角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大 正方形，每个直角三角形的两条直角边长分 别为a,b(a<b),斜边长为c.请你运用此图 形证明勾股定理：a2十b2=c2. (第4题) 幻素能攀升 5.(2025·安徽模拟)如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，AC=8,BC=6,BD平分∠ABC 交AC于点D,则线段BD的长为() (第5题) A.5 B.52 C.3√/5 D.6√5 6.(2025·滁州全椒期末)直角三角形两直角边 长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式总能 成立的是 () A.ab=h? B.a2+b2=2h2 c日+gh 111 D.点+6- 7.(2025·合肥期中)如图，在长方形纸片 ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,将此长方 形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在 点H的位置，折痕为EF,则△ABE的面 积为 H (第7题) A.6 cm2 B.8 cm2 C.10 cm D.12 cm2 8.(2025·阜阳阜南期末)已知Rt△ABC的斜 边AB=√17，面积为2，则AC十BC= 9.(2025·成都)如图，在Rt△ABC中，∠ABC 90°，AB=1,BC=2.以点A为圆心，AB长 为半径作弧；再以点C为圆心，BC长为半径 作弧，两弧在AC上方交于点D,连接BD,则 BD的长为 D (第9题) (第10题) 10.如图，CB⊥AD,AE⊥CD,垂足分 别为B,E,AE,BC相交于点F AB=CB.若AB=8,CF=2,则 CD的长为 第18章勾股定理及其逆定理 思维拓展 1.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB= BC,D是AB的中点，过点A作AE⊥CD, 交CD的延长线于点E,AC=2√2.求： (1)△ACD的面积. (2)线段DE的长. E& D B (第11题) 45 拔尖特训·数学（沪科版）八年级下 第2课时 勾股 自基础进阶 1.将一架长3.5米的木梯斜靠在竖直的墙上， 木梯顶端离地面2.8米，则木梯底端到墙脚 的距离为 ( A.2.7米 B.2.5米 C.2.1米 D.1.5米 2.新考向·数学文化《九章算术》是我国古代数 学的重要著作，其中有一道题，原文是今有户 不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之 不出二尺，邪之适出.问户高、广、邪各几何？ 译文：今有门，不知其高和宽，有竿，不知其长 短.横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高 长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等，问： 门的高、宽、对角线的长分别是多少？若设门 对角线的长为x尺，则可列方程为() A.x2=(x-4)2+(x-2)2 B.2x2=(x-4)2+(x-2) C.x2=4+(x-2)2 D.x2=(x-4)2+22 3.新情境·现实生活(2025·连云港)如图，长为 3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线 5 的距离为1.8m,则梯子顶端的高度h为 m. ←1.8m (第3题) 4.新情境·现实生活(2025·准南期中 如图，OM,ON是两条公路，∠O= 30°，沿公路OM方向离点O为 160m的点A处有一所学校，当重型运输卡 车沿公路ON方向行驶时，在以重型运输卡 46 定理的应用 “答案与解析”见P15 车所在的，点P为圆心，100m长为半径的圆 形区域内都会受到卡车噪声的影响，且点P 与点A的距离越近，噪声影响越大.假设重 型运输卡车沿着公路OV方向行驶的速度为 5m/s.求： (1)噪声对学校的影响最大时，卡车与学校 之间的距离。 (2)该卡车沿公路ON方向行驶一次给学校 带来噪声影响的时间】 N 0130 A—M (第4题) 司素能攀升 新情境·现实生活如图，小丽在公园里荡秋 千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直， 摆绳长2m,向前荡起到最高点B处时距地 面的高度为1.3m,摆动水平距离BD为 1.6m,然后向后摆到最高点C处.若前后摆 动过程中摆绳始终拉直，且OB与Q℃成90°角， 则小丽在C处时距离地面的高度是() B D A 地面 (第5题) A.0.9m B.1.3m C.1.6m D.2m 6.(2025·阜阳颍上期中)如图，该衣架可以近 似地看成一个等腰三角形ABC,其中AB AC,AD⊥BC于点D.若AC=60cm,∠C= 30°，则BC的长为 cm (第6题) 7.新情境·科技民生如图，沿AC方向开山修 路.为了加快施工进度，要在小山的另一边同 时施工，从AC上的一点B处取∠ABD= 120°，BD=520m,∠D=30°，那么当另一边 开挖点E与点D的距离约为多少米时，恰好 使A,C,E三点在同一条直线上？（结果精 确到1m,参考数据：√3≈1.732) 1208 30 (第7题) 8.(2025·安庆潜山期末)如图，长25米的梯子 AC斜靠在一面墙上，梯子底端离墙的距离 BC为7米， (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4米(AA'=4米)， 那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ A B C C (第8题) 第18章勾股定理及其逆定理 思维拓展 9.新情境·环保意识为了保护环境，在 新农村改造的过程中，需要修建污 水处理厂.如图，A,B是位于小河 MN同侧的两个村，A村到小河MN的距离 AC=6km,B村到小河MN的距离BD= 1km.经测量，CD=24km,现准备在小河边 修建一个污水处理厂O(不考虑河宽) (1)设OC=akm,请用含a的代数式表示 OA十OB的长.（保留根号） (2)为了节省材料，使得两村的排污管道最 短，求最短的排污管道的长 (3)根据(1)(2)的结果，运用数形结合思想， 求a+36+√(15-a)+4的最小值. A M 县N (第9题) 472-ty2=+0+ 4 当且仅当x,y中有一个为0，另一个 为1时，等号成立 .x2一y+y2的最大值为1. [综合素能提升] 1.D2.A3.B4.2 5.m>g 解析：一元二次方程 2.x2十x+m=0没有实数根，..△= 12-4×2×m=1-8m<0,解得 、1 m78 6.2027解析：，m,n是关于x的 一元二次方程x2-2025x+1=0的 两个根，∴.m+n=2025,m=1. .(m+1)(n+1)=mm+m+n+ 1=1+2025+1=2027. 7.(1)移项，得x2一4x=3. 配方，得x2一4x十4=3+4，即(x 2)2=7. .x一2=士√7，解得x1=2+√7， x2=2-√7. (2)整理，得2x2-5.x-7=0. 方程左边因式分解，得(x十1)(2x 7)=0. .x十1=0或2x-7=0,解得 x1=-1,x2=2 8.(1)14000. (2)设每盒应降价x元，则每盒的利 润为(120一x)元，平均每天可售出 (100十2x)盒. 根据题意，得(120一x)(100十2x) 14400. 整理，得x2一70.x十1200=0，解得 x1=30,x2=40. ·要更多地让利于消费者， ∴.x=40,即每盒应降价40元. (3)不能 理由：假设在本次销售活动中，该商场 每天销售这种材料的利润能达到 15000元 设每盒降价y元，则每盒的利润为 (120-y)元，平均每天可售出(100+ 2y)盒 根据题意，得(120-y)(100+2y)= 15000. 整理，得y2-70y+1500=0. :△=(-70)2-4X1×1500= -1100<0 .原方程没有实数根 '.假设不成立，即在本次销售活动 中，该商场每天销售这种材料的利润 不能达到15000元. 9.(1)24. (2)设CD=x(0<x15)米，则 BC=45-x-2(x-1)+1=(48 3x)米 依题意，得x(48一3.x)=180. 整理，得x2-16x十60=0，解得x1= 6,x2=10. 当x=6时，48-3.x=48-3×6=30, 30>27,不合题意，舍去： 当x=10时，48-3x=48-3×10= 18,18<27,符合题意. .边CD的长为10米， (3)不能. 理由：设CD一y(0<y15)米，则 BC=45-y-2(y-1)+1=(48 3y)米. 依题意，得y(48-3y)=210. 整理，得y2-16y+70=0. :△=(-16)2-4×1×70= -24<0, .该方程没有实数根 '.饲养场（长方形ABCD)的面积不 能达到210平方米. 第18章勾股定理 及其逆定理 18.1勾股定理 第1课时勾股定理 1.B 14 2.D解析：如图，连接AC. ∠ADC=∠ABC=90°，∴.由勾股 定理，得AC=AB十BC=S2十 S3=98,AC2=AD2+CD2=S1+ S4=S1+62..S1+62=98..S1= AD2=36..AD=6. D (第2题) 3.B解析：由题意，得OC=OB.由 勾股定理，得OB=√AO+AB2= √+2=√29，∴.点C表示的无 理数是√29 4.由题图，可知S大正方形=4× Sg三能十S证=4X号b十(6 a)2=2ab+b2+a2-2ab=a2+b2, S大正方形=c2, ∴.a2+b2=c2」 5.C解析：如图，过点D作DE⊥ AB于点E.∠C=90°，AC=8, BC=6,.DC⊥BC,AB= √AC2+BC=√82+6=10. BD平分∠ABC,.DE=DC.设 DE=DC=x.:'S△ABD+S△cD= 1×10x+ SA. +×6r=× 8X6,解得x=3.∴.CD=3..BD= √BC+CD=√62+32=35. D E (第5题) 6.D解析：根据三角形的面积公式 可以得出斜边（史丹结合勾股定 理，得a2+b2=c2.a2+62=6 2. 两边同除以a6,得时+行是 7.A解析：设AE=xcm.由折叠可 知，ED=BE=(9一x)cm.:在 Rt△ABE中，AB2+AE=BE,即 32+x2=(9-x)2,∴.x=4. 1Sa版=号AB·AE=号X3X 4=6(cm2). 8.5解析：·S△x=2AC· BC=2,.AC·BC=4.在Rt△ABC 中，由勾股定理，得AC2十BC= AB=(W17)2=17.:AC2+BC2= (AC+BC)2-2AC·BC,∴.(AC+ BC)2=AC2 BC2+2AC BC= 17+2×4=25..AC+BC=5. 9.46 5 解析：如图，连接AD,CD. 设BD交AC于点O.由作图可知， AD=AB,CD=CB,∴.AC垂直平分 BD,即AC⊥BD,OB=OD. :∠ABC=90°，AB=1,BC=2, ∴.AC=√AB2+BC=√1+2= 5.:S△e=2AC·OB= 2AB·C,OB=AB RC AC -2SBD-0B-9 √5 5 D 0 (第9题) 10.10解析：CB⊥AD,AE⊥ DC,'.∠ABF=∠CBD=∠AED= 90°..∠A+∠D=90°，∠C+ ∠D=90°.∴.∠A=∠C.在△ABF ∠A=∠C, 和△CBD中， AB=CB, ∠ABF=∠CBD, .△ABF2△CBD..BF=BD .AB=CB=8,CF=2,∴.BF BC-CF=6.∴.BD=6.在Rt△BCD 中，CD=BD+BC,∴.易得CD=10. 11.(1)'∠ABC=90°，AB=BC, AC=22, ∴.由勾股定理，得AB2十BC2= AC2,即2AB2=8. '.AB=BC=2. &Sar=2AB·BC= ×2× 2 2=2. D是AB的中点， 1 .S△Acn=2S△Ax=1. (2)由(1)，得AB=2. 又D是AB的中点， 六AD=BD=2AB=1 在Rt△BCD中，由勾股定理，得 CD=√BD2+BC=√2+22= 5. AE⊥CD, ∴.∠E=90° -1 六SaAm=2CD·AE= 1X5× AE=1. AE=2 5 在Rt△ADE中，由勾股定理，得 DE VAD2-AE _ 5 5 第2课时勾股定理的应用 1.C2.A3.2.4 4.(1)如图，过点A作AH⊥ON于 点H,则点A到ON的最短距离为线 段AH的长度. ∴.AH的长度为噪声对学校的影响 最大时，卡车与学校之间的距离. ,∠0=30°，0A=160m, ÷AH=20A=80m ∴.噪声对学校的影响最大时，卡车与 学校之间的距离为80m. (2)如图，在ON上取两，点C,D,连接 15 AC,AD. 当AC=AD=100m时，则卡车在 CD段给学校带来噪声影响. :AC=AD,AH⊥CD, .'CH=DH. 由(1)知，AH=80m,在Rt△ACH 中，由勾股定理，得CH= √AC2-AH=√1002-80=60(m). .'.CD=2CH=120m. ,重型运输卡车沿着公路ON方向 行驶的速度为5m/s, '.该卡车沿公路ON方向行驶一次 给学校带来噪声影响的时间为120÷ 5=24(s). H D A—M (第4题) 5.A解析：如图，过点C作CE⊥ OA于点E,摆绳OA与地面的垂足为 F.由题意可知，OB=OC=2m, BD=1.6 m,DF=1.3 m,.'OD= √OB2-BD=1.2m.∴.OF= 0D+DF=1.2+1.3=2.5(m). /ODB=/OEC=90°， .∠OBD+∠BOD=90. ∠BOC=90°，.∠BOD+ ∠COE=90°.∴.∠OBD=∠COE.在 △BOD 莎 △OCE 中， ∠ODB=∠CEO, ∠OBD=∠COE,'.△BOD≌ OB=OC, △OCE..∴.OE=BD=1.6m. ∴.EF=OF-OE=2.5-1.6= 0.9(m),即小丽在C处时距离地面的 高度是0.9m. 0 B- D EP---->C A 地面 (第5题) 6.605解析：.AD⊥BC,AC= 60cm,∠C=30,AD=2AC 30cm.AB=AC,∴.BD=CD= √AC2-AD=√602-30= 30W3(cm).∴.BC=60√3cm. 7.:A,C,E三点在同一条直线上， ∠ABD=120°，∠D=30°， ∴.∠AED=120°-30°=90°. 在Rt△BDE中，BD=520m, ∠D=30°， ·BE=号BD=260m 根据勾股定理，得DE= √BD2-BE=2605≈260X 1.732≈450(m). ∴当另一边开挖，点E与点D的距离 约为450m时，恰好使A,C,E三点 在同一条直线上」 8.(1)根据勾股定理，得这个梯子的 顶端距地面√25一7产=24（米）. (2)由题意，得A'C=AC=25米， A'B=AB-AA'=24-4=20(米). 根据勾股定理，得A'B2十BC2= A'C2,即202+(7+CC')2=252. ∴CC=8米，即梯子的底端在水平 方向滑动了8米 9.(1)在Rt△AOC和Rt△BOD中， AC=6 km,BD=1 km,OC=a km, 则OD=(24一a)km, ∴.根据勾股定理，得OA= √AC2+OC=√36+aZkm,OB= √OD+BD=√(24-a)2+1km ∴.OA+OB=C√36+a+ √(24-a)2+1]km. (2)如图①，作点B关于直线MN的 对称点B',连接AB交MN于点O, 则B'D=BD=1km. 此时，OA+OB=OA十OB'的长最 小，即点O是使两村排污管道最短的 污水处理厂的位置 过点B'作B'E⊥AC,交AC的延长线 于点E,则CE=B'D=1km,AE= AC+CE=7 km,B'E=CD=24 km. 根据勾股定理，得AB′= √AE+BE=√72+24=25(km). ∴.最短的排污管道的长为25km. (3)如图②，AC⊥CD,BD⊥CD,O 是CD上一点，连接OA,OB,BD=2, AC=6,CD=15. 设OC=a,则OD=15-a. 根据勾股定理，得OA十OB= Wa2+36+√(15-a)2+4 作点B关于CD的对称点B',连接 AB'交CD于点O',则当点O在点O 处时，OA十OB的长最小，即 √a2+36+√(15-a)2+4的值 最小 过点B作B'E⊥AC,交AC的延长线 于点E,则B'D=BD=2,CE= B'D=2,AE=AC+CE=8,B'E= CD=15. ∴.√a2+36+√(15-a)+4的最 小值为√/82+152=17. ① 0 ② (第9题) 18.2勾股定理的逆定理 第1课时勾股定理的逆定理 1.A2.B 3.20：15：12解析：由题意，设这 个三角形的三边长分别为3x,4x,5a (x>0).又.(3.x)2+(4x)2= 25.x2=(5.x)2,∴.这个三角形是直角 三角形.设其斜边上的高为h,则。× 3xX4t-2 15zXh,解得h三5x 16 '.这个三角形的三边上的高之比为 12 4:3x:5x=20:15:12. 4.(1).a2+b2=122+352=1369, c2=372=1369, ∴.a2+b2=c2. ∴.△ABC是直角三角形 (2).a2+c2=242+452=2601, b2=512=2601, .a2+c2=b2. ∴.△ABC是直角三角形 (3).a2+c2=182+242=900,b2= 282=784, .a2十c2≠b2 '.△ABC不是直角三角形 5.(1)5:5. (2)如图，连接BD. △ABD是直角三角形 理由：根据勾股定理，得BD= √32+4=5. 由(1)知，AB=5√2，AD=5, ∴.AB2=AD2+BD2. ∴.△ABD是直角三角形. D (第5题) 6.C解析：①设较短边长5k,则其 余两边分别长12k,13k.(5k)2+ (12k)2=(13k)2,.该三角形是直角 三角形；②设三角形为△ABC, ∠A=3x,∠B=4x,∠C=5.x. ∠A+∠B+∠C=180°，.3.x+ 4x+5x=180°，解得x=15. '.∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°， 不是直角三角形：③，32+4=52， ∴.该三角形是直角三角形：④设三 角形为△ABC,∠A=∠B+∠C. ·∠A=∠B+∠C,∠A+∠B十 ∠C=180°，.∠A=90°..△ABC 是直角三角形.∴.直角三角形有3个.