17.4 一元二次方程的根与系数的关系-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（沪科版·新教材）

②)“m<-2 .△=12-4×2X(m-3)=25- 8m>0. ∴.关于x的方程2x2十x十m-3=0 有实数根」 6.A解析：根据题意，得x=一1是 方程x2+4x+c'=0的一个根， .1一4+c′=0，解得c′=3.∴.c= c'+2=5.∴.原方程为x2+4x+5= 0.△=42-4×5=-4<0，.原方 程没有实数根. 7.B解析：由题意，可得△=b2十 4a.若a-b-1=0,即a=b+1,则 △=b2+4(b+1)=(b+2)2≥0，.方 程总有实数根.故甲的建议满足方程 总有实数根.若a,b同号，则当a= 一1，b=-1时，△=1一4=一3<0，方 程没有实数根.故乙的建议不满足方 程总有实数根.若a+b一1=0，即 a=一b+1,则△=b2+4(一b+1)= (b-2)2≥0，∴.方程总有实数根.故 丙的建议满足方程总有实数根..只 有乙的建议不正确 8.A解析：点P(a,c)在第四象 限，.a>0,c<0..ac<0..△= b2-4ac>0.∴.关于x的方程a.x2十 bx十=0有两个不相等的实数根. 9.k5解析：当k一1=0，即k=1 时，方程为4x十1=0，此时方程有一 个实数根.当k一1≠0，即k≠1时，原 方程是一元二次方程.方程有实数 根，∴.△=42-4×(k-1)×1≥0，解 得k5.∴.k≤5且k≠1.综上所述， k的取值范围是k≤5. 易错警示 运用根的判别式求字母的取值 范围时忽略一元二次方程的 限制条件 运用根的判别式时，若二次项 系数中含有字母，要加上二次项系 数不为0这个限制条件：若未指明 方程类型，则需分情况讨论. 10.二11.1 12.16或12解析：当等腰三角形的 底边长为6时，关于x的一元二次方 程x2一8x+m=0有两个相等的实数 根.∴.△=（-8)2一4m=0,解得m= 16..方程为x2-8x十16=0，解得 x1=x2=4.4+4>6,.∴.m=16符 合题意.当等腰三角形的腰长为6时， x=6是关于x的一元二次方程x2 8x十m=0的一个根.把x=6代入方 程，得36-48十m=0,解得m=12. .方程为x2-8x十12=0，解得x1= 2,x2=6.:6+2>6,.m=12符合 题意.综上所述，m的值为16或12. 13.(1)△=(-2k)2-4(k2-1)= 4>0, '.无论k为何值，方程总有两个不相 等的实数根 (2),方程的一个根为x=1, .1-2k+k2-1=0,即k2-2k=0, 解得k=2或k=0. 14.（1):x1x2是关于x的一元二 次方程(m+2)x2+2(m-2)x+m十 10=0的两个实数根， .m+2≠0，且△=[2(m-2)]2 4(m+2)(m+10)≥0，解得m≤-1 且m≠一2. (2),'等腰三角形ABC的底边 BC=4,且x1,x2恰好是△ABC另外 两边的边长， .x1=x2 .'.△=[2(m-2)]2-4(m+2)(m+ 10)=0,解得m=一1. '.原方程为x2一6x+9=0,解得 x1=x2=3. ,3,3,4可以组成三角形， ∴.这个三角形的周长为3十3+ 4=10. 15.①②④解析：①若a一b+c= 0,则b=a十c.∴.b2一4ac=(a+ c)2-4ac=(a-c)≥0.故①正确： ②由条件可知，△=0-4ac>0, 8 .-4ac>0.又方程ax2+bx+ c=0根的判别式为△=b2-4ac, ∴.b2-4ac>0.∴.方程a.x2十bx十 c一0有两个不相等的实数根.故②正 确：③：c是方程a.x2十br十c=0的 一个根，.ac2十bc十c=0..c(ac十 b+1)=0.∴.c=0或ac+b+1=0, 即有两种可能性.故③错误；④若x 是一元二次方程ax2十bx十c=0的 根，则x0= -b+√64ac或xn= 2a -b-W62-4a 2a .∴.2a.xm+b= √b2-4ac或2a.x0+b= -√02-4ac.∴.b2-4ac= (2a.xn十b)2.故④正确. 16.(1)△ABC为等腰三角形. 理由：由条件可知，c+a一2b十c a=0, ∴.c=b. ∴.△ABC为等腰三角形 (2)由条件可知，a=b=c, .方程化为x2-x=0,解得x1=0, x2=1. 17.4一元二次方程的根 与系数的关系 1.C2.D3.B4.-35.1 6.(1)把x1=-1代人方程(x-1)· (x-2)=m2,得m2=6, ,'.m=士√6 .(x-1)(x-2)=6,即x2-3x- 4=0,解得x1=-1,x2=4. ∴.x2=4,m=士6. (2)方程(x-1)(.x-2)=m2可化为 x2-3.x+2-m2=0. 方程(x-1)(x-2)=m2,即x2- 3.x十2-m2=0的两根为x1x2, .x1十x2=3,x1·x2=2-m2. .(x1-1)(x2-1)=x1·x2- (x1+x2)+1=2-m2-3+1= -m2. m2≥0 .-m2≤0，即(x1-1)(x2-1)≤0. 7.A8.A9.C 10.C解析：设关于x的一元二次方 程x2+bx+c=0的两个实数根为 x1,x1+1,则x1十x1+1=-b,即 2x1+1=-b①，x1(x1+1)=c,即 x+x1=c②.由①得，x1=二b1 2 将其代入®，得(。+ 一b1=.化简，得62-4c=1. 11.10解析：将x=a代人原方程， 得2a2-6a-1=0,.2a2-6a=1. 一元二次方程2x2-6.x一1=0的 两根为a,3,∴.a十3=3.∴.2a2 3a+33=(2a2-6a)+3(a+3)=1+ 3×3=10. 12.2p+q=0 13.(1)由条件，得△=(-6)2-4× 1×(2m-1)≥0，解得m≤5. (2)一元二次方程x2一6x+2m 1=0有x1,x2两个实数根， x1十x2=6, {x1·x2=2m-1. ·(x1-1)(x2-1)=6 二5，即 x1x2一(x1十x2)+1= m-51 ..2m-1-6+1= m-5,即m2 6 8m+12=0,解得1=2，m2=6. 又.m5且m一5≠0， .m=2. 14.D解析：①当力=-专时，方程 为x+子x十号=0，解得x 4 4 2=-1,3= 4 34 x2-13 x,<x2<0,1≤≤3，该方程 ℃2 是“友好方程”.故①正确.②解方程 x2+(1-p)x-p=0,得x1=-1, x2=p或x1=p,x2=一1.该方程 是“友好方程”，.该方程有两个不相 等的实数根..△=（1+p)2>0. ,p≠-1.当x1=一1，x2=p时， :1≤4≤3,1≤21≤3，解得 一1≤b≤-3，此时整数p不存在： 当x=p=-1时，1<号<3，解 得-3≤p≤-1，又p≠-1，.此 时满足要求的整数力的值只有 一3，一2两个，故②错误， 15.(1)此方程总有两个实数根， 理由：△=[-(2m+1)]-4m· 2=(2m-1)2≥0， .此方程总有两个实数根」 (2)由题意，易知m≠0. 设方程的两个根为x1,x2,则x1十 x,=2m士=2+ 2 m·x=m ,此方程的两个实数根都是整数， .m的值为士1. ∴符合条件的整数m的值的和为0. (3)x1,x2是方程mx2-(2m十 1)x+2=0的两个实数根， .∴.m.x号-(2m+1)x1+2=0,m.x (2m+1)x2+2=0. .'.m,x-(2m+1)x+2x=0①， mx3-(2m+1)x+2x=0②. ①+②得，m(x+x)-(2m+1)· (x+x)+2(x3+x3)=0. 专题特训二灵活选用一元 二次方程的解法 1.(1)整理方程，得x2=25. 开平方，得x=土5. .x1=5,x2=-5. (2)整理方程，得(x十2)=3. 开平方，得x+2=士√3. .x1=-2十√5，x2=-2-√5 2.(1)移项，得x2+8x=-3. 配方，得x2+8.x+16=16一3，即 (x+4)2=13. 9 ∴.x十4=±√13. .x1=√13-4，x2=-√/13-4. (2)原方程化为x2-8.x=-11. 配方，得x2-8.x十16=-11+16，即 (x-4)2=5. 开平方，得x一4=士√5. ∴.x1=4+5,x2=4-√5. 3.(1)把方程左边分解因式，得(x十 3)(x-4)=0. ∴.x十3=0或x-4=0,解得x1= -3,x2=4. (2)原方程化为x(x一6)+3(x 6)=0. 把方程左边分解因式，得(x一6)(x十 3)=0. .x-6=0或x十3=0，解得x1=6, xg=-3. 4.(1)原方程整理，得x2十4x一 3=0. a=1,b=4,c=-3, ∴.△=16+12=28>0. x=二4±2级 2 ∴.x1=-2十√7，x2=-2-√7 (2)“a=1,6=-3,c=-9 4 ·△=(-5)2-4X1×(-） 12>0. :x=B±厘±25 2 2 x,=3 8= 5.(1)设y=x2-x,则原方程化为 y2-5y十4=0，解得y=4或y=1. 当y=4时，x2-x=4,解得x1= 1+√17 1-√17 2x2= 2 当y=1时，x2-x=1,解得x3= 1+51-5 2 21 六原方程的根是，=1+亚 2 2=拔尖特训·数学（沪科版）八年级下 17.4一元二次方程 自基础进阶 1.(2025·广西)已知x1,x2是方程x2-20x 25=0的两个实数根，则x1十x2的值为 ( A.-25 B.-20 C.20 D.25 2.(2025·湖北)一元二次方程x2-4x十3=0 的两个实数根为x1,x2,下列结论正确的是 A.x1+x2=-4 B.x1十x2=3 C.x1x2=4 D.x1x2=3 3.若a,B是关于x的一元二次方程x2-2x十 m=0的两根，且启+日一号则实数m的 a B 值为 A.-2B.-3C.2 D.3 4.(2025·苏州)已知x1,x2是关于x的一元 二次方程x2+2x一m=0的两个实数根，其 中x1=1,则x2= 5.(2025·阜阳临泉期末)若x1,x2是关于x 的一元二次方程的x2一(2k+3)x十k2十k= 0两个根，且x1十x2=7一x1x2,则k的值 为 6.(2025·南充)设x1,x2是关于x的方程 (x-1)(x一2)=m2的两根. (1)当x1=一1时，求x2及m的值. (2)求证：(x1-1)(x2-1)≤0. 26 的根与系数的关系 素能攀升 7.若一元二次方程x2一x一2=0的两个根为 x1,x2,则(1十x1)十x2(1一x1)的值为() A.4B.2 C.1 D.-2 8.若x1十x2=3,x十x=5,则以x1,x2为根 的一元二次方程可以是 () A.x2-3x+2=0 B.x2+3x-2=0 C.x2+3x+2=0 D.x2-3.x-2=0 9.(2025·河北)若一元二次方程x(x十2) 3=0的两根之和与两根之积分别为m,n,则 点(m,n)在平面直角坐标系中位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10.新考法·新定义题(2025·蚌埠期末)如果关 于x的一元二次方程ax2+bx十c=0(a,b, c均为常数，a≠0)有两个实数根，且其中一 个根比另一个根大1，那么称这样的方程为 “邻根方程”.若一元二次方程x2十bx十c= 0(b,c均为常数)为“邻根方程”，则b,c满 足的数量关系是 () A.b2+4c=1 B.b2+2c=1 C.b2-4c=1 D.b2-2c=1 11.（2025·泸州)若一元二次方程 2x2一6x一1=0的两根为a,B,则 2a2-3a+33的值为 12.(2025·合肥瑶海三模)某长方形的长和宽 分别等于关于x的方程x2十px十q=0的 两根.若长方形的周长和面积对应的数值相 等，则p,的关系为 13.(2025·合肥肥西期末)已知关于x 的一元二次方程x2一6.x+2m- 1=0有x1,x2两个实数根. (1)求m的取值范围. (2)是否存在实数m,满足(x1一1)(x2 1) 6 思维拓展 14.新考法·新定义题(2025·合肥庐阳期末)定 义：已知x1,x2是关于x的一元二次方程 a.x2十bx十c=0(a≠0)的两个实数根，若 x1<x2<0,且1≤≤3，则称这个方程为 “友好方程”.如：一元二次方程x2+8x十 15=0的两根为x1=一5，x2=一3，且1< 二号3一元二次方程+虹十15=0 第17章一元二次方程及其应用 为“友好方程”.关于x的一元二次方程 x2十(1一p)x一p=0,有以下两个结论： ①当力=一青时，该方程是“友好方程”， ②若该方程是“友好方程”，则有且仅有 3个整数力满足要求.对于这两个结论，下 列判断正确的是 () A.①②都错误 B.①②都正确 C.①错误，②正确 D.①正确，②错误 5.(2025·滁州天长期末)已知关于x的一元 二次方程mx2-(2m+1)x+2=0. (1)判断此方程根的情况，并说明理由 (2)若此方程的两个实数根都是整数，求符 合条件的整数m的值的和. (3)若此方程的两个实数根分别为x1,x2, 求代数式m(x+x8)-(2m+1)(x+ x)+2(x十x)的值 27