精品解析：2026年河南省南阳市西峡县六校联考一模数学试卷

九年级阶段性评价数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．不要在本试卷上答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 1 2. 2026年元旦假期，河南文旅市场喜迎开门红，全省累计接待国内游客1743.7万人次，实现旅游收入89.9亿元．数据“89.9亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一个几何体的表面展开图，则这个几何体是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，点C，D在上，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 0 7. 3月14日是国际数学日．某数学小组在今年的数学日活动中策划了“逻辑快递”“图形幻方”和“的追击”三个游戏．如果小鼎和小成每人随机选择一个游戏参加，那么他们选择相同游戏的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知式子，在实数范围内均有意义，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，在轴正半轴上，，将边绕点逆时针旋转至处，连接，．若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象经过点，，且满足，当时，该函数的最大值与最小值之间满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个使函数存在的的值：_____． 12. 某学校食堂有8元、9元和10元三种价格的午餐供师生选择（每人限购一份），4月份该食堂午餐的销售情况如图所示，则该月师生购买午餐的平均价格为______元． 13. 如图，图1中有3个圆点，图2中有6个圆点，图3中有9个圆点，……按照这一规律，图中的圆点个数为____． 14. 如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，与边相切于点，若，，则图中阴影部分的面积为_____． 15. 如图，在菱形中，，，为射线上一点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接，过点作交的延长线于点，连接，若，则的长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算和化简 （1） （2）． 17. 直播电商作为新兴电商形态，近年来其市场规模实现爆发式增长，为中国消费市场注入强劲动力．某公司为提升直播间运营效率，对某个直播平台的A类零食直播间和B类零食直播间近10天的上架商品审核耗时（单位：分钟，耗时越短代表运营效率越高）进行统计，具体数据如下： 类型 天数 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天 第9天 第10天 A类零食直播间 5 8 7 11 8 6 10 5 12 8 B类零食直播间 5 4 8 7 9 6 7 8 6 8 统计人员对以上数据进行分析，结果如下： 类型 平均数 中位数 方差 A类零食直播间 8 5.2 B类零食直播间 7 2.16 根据以上信息，回答下列问题 （1）表格中_____，_____． （2）请结合统计数据对这两类直播间的运营效率作出合理评价． 18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过的顶点，与边交于点，轴，． （1）求反比例函数的表达式． （2）将向下平移，当点落在反比例函数的图象上时，求平移的距离． 19. 嵩岳寺塔（图1）位于河南省登封市嵩岳寺内，是第一批全国重点文物保护单位．某综合实践小组想通过所学知识测量该塔的高度，图2为测量示意图．嵩岳寺塔的前面有一座高的建筑物，小组成员在点E处用测角仪测得塔顶B的仰角为（点A，E，C在一条直线上），在建筑物顶部D处测得塔顶B的仰角为，测得E处的俯角为，图中所有点均在同一平面内．求嵩岳寺塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，，，，，） 20. 近年来，我国航天事业取得了举世瞩目的成就，点燃了广大青少年对航天的热情．某经销商看准商机，迅速推出“天宫”和“神舟”两款模型玩具．已知购进1个“天宫”模型玩具的费用比购进1个“神舟”模型玩具的费用多20元；购进30个“天宫”模型玩具的费用与购进40个“神舟”模型玩具的费用相等． （1）求“天宫”和“神舟”两款模型玩具的进货单价． （2）该经销商计划用4800元购进这两款模型玩具，且购进“天宫”模型玩具的数量不低于30个．已知每个“天宫”模型玩具的售价为90元，每个“神舟”模型玩具的售价为75元，该经销商如何进货才能获利最大，最大利润为多少？ 21. 阅读下列材料，完成相应的任务． 如图1，点，分别为两边上的点，如何利用无刻度的直尺和圆规在，之间画一条过点的直线，使得点，到这条直线的距离相等？ 下面是小成的作图思路： 第一步：以点为圆心，以的长为半径画弧； 第二步：以点为圆心，以的长为半径画弧，两弧在内部交于点； 第三步：作直线，则点，到直线的距离相等． …… （1）请你根据小成的作图思路，在图1中，利用无刻度的直尺和圆规完成作图． （2）根据（1）中的作图，请你证明点，到直线的距离相等． （3）你还有其他作图方法吗？请在图2中完成尺规作图．（保留作图痕迹，不写作法） 22. 为迎接校庆，学校需要在校门上悬挂灯笼，如图是校门的截面示意图，校门上部呈抛物线形，校门下部为矩形，已知，，校门最高点到的距离．现需在校门上部的点，处各悬挂一个灯笼（点，均在抛物线上），且点，关于对称，，之间的距离为． （1）请以所在的直线为轴，所在的直线为轴，在图中建立平面直角坐标系，并写出点的坐标． （2）求抛物线的函数表达式，并写出自变量的取值范围． （3）若悬挂点到灯笼最底端的长为，求灯笼最底端离地面的高度． 23. 数学活动课上，兴趣小组进行了如下讨论，请阅读并完成下列问题． 【问题初探】 如图1，在正方形中，为边上一动点（不与点，重合），过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点． 甲同学观察图1后发现结论：①． 乙同学思考后认为可以改变四边形的形状，再探究． 如图2，在矩形中，为边上一动点（不与点，重合），过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．若，，则②． （1）上述材料中横线①处应填____，横线②处应填_____． （2）【问题延伸】丙同学在乙同学的基础上进一步提出问题：如图3，在图2的基础上，连接，过点作的垂线交的延长线于点，求的值． （3）【问题解决】在（2）的基础上，若，，点为射线上一点，且，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级阶段性评价数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．不要在本试卷上答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较，运用负数小于正数，两个负数比较大小，绝对值越大的负数越小的规则即可求解. 【详解】解：∵ 正数大于一切负数， ∴ 选项D的是正数，不符合要求. 由，且， ， ， ∵ ， ∴， ∴ 四个数中最小的数是. 2. 2026年元旦假期，河南文旅市场喜迎开门红，全省累计接待国内游客1743.7万人次，实现旅游收入89.9亿元．数据“89.9亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：89.9亿． 3. 如图是一个几何体的表面展开图，则这个几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由几何体的表面展开图，知该几何体为圆柱． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：与不是同类项，不能合并，B错误； 选项C：，C错误； 选项D：，D正确． 5. 如图，是的直径，点C，D在上，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，先根据圆周角定理可得，再根据直角三角形两个锐角互余得出，再根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：∵是的直径， ， ∵， ， ， ， 故选：C． 6. 对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据新运算定义整理得到关于x的一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式求出m的取值范围，再选出符合条件的选项即可． 【详解】解：由新运算定义可得， 因此方程可化为， 整理得， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 化简得， 解得， 观察选项，仅有D选项的满足． 7. 3月14日是国际数学日．某数学小组在今年的数学日活动中策划了“逻辑快递”“图形幻方”和“的追击”三个游戏．如果小鼎和小成每人随机选择一个游戏参加，那么他们选择相同游戏的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出表格，列出所有等可能的情况数，然后根据概率求解即可． 【详解】解：记三个游戏分别为1，2，3， 列表如下： 1 2 3 1 2 3 可知一共9种情况，其中两人选择相同游戏的结果有3种，即，，， ∴选择相同游戏的概率． 8. 已知式子，在实数范围内均有意义，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断的属性，根据不等式的性质求解即可； 【详解】解：式子，在实数范围内均有意义， 故即， ， ． 9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，在轴正半轴上，，将边绕点逆时针旋转至处，连接，．若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过点作于点，过点作于点，标记，，，由旋转，得，证明，设，则，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，标记，，，由旋转，得． ， ， ，， 又，， ， ． 设，则． 在中，，即， 解得（负值已舍去）． ，， ∵， ， 又， ． ． ，． ， ． 10. 已知二次函数的图象经过点，，且满足，当时，该函数的最大值与最小值之间满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定抛物线的对称轴为直线，继而确定，根据抛物线的增减性，确定函数在处取得最小值．函数在处取得最大值，求解即可． 【详解】解：由题意，得抛物线的对称轴为直线． 点，关于对称轴对称， ． ， ． ， 抛物线开口向上， 点与对称轴的距离越大，函数值越大， 当时，在这个给定的范围内， 故函数在处取得最小值． ， 函数在处取得最大值． ， ． ． ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个使函数存在的的值：_____． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：∵函数存在， ∴， 解得， 故的值可为3． 12. 某学校食堂有8元、9元和10元三种价格的午餐供师生选择（每人限购一份），4月份该食堂午餐的销售情况如图所示，则该月师生购买午餐的平均价格为______元． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意，得该月师生购买午餐的平均价格为（元）． 13. 如图，图1中有3个圆点，图2中有6个圆点，图3中有9个圆点，……按照这一规律，图中的圆点个数为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察图形可知，图n的圆点个数为，据此可得答案． 【详解】解：图1中有个圆点， 图2中有个圆点， 图3中有个圆点， ……， 以此类推，可知图n中有个圆点， 14. 如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，与边相切于点，若，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先由直径得出圆的半径：；再根据圆与相切于，得，结合推出，进而证得，求出，得到，算出；接着作，利用直角三角形性质求出的长度；最后用扇形的面积减去的面积，算出阴影部分的面积为． 【详解】如解图，连接，过点作于点 ， ， 与相切于点， ， ， ， ， ，即，解得， ∴， ， ， ， ，． ， ． 15. 如图，在菱形中，，，为射线上一点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接，过点作交的延长线于点，连接，若，则的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】先利用菱形性质和等边的条件，证得，推出，再结合证得为等边三角形，得；设，分两种情况讨论：①当点在线段上时，作，用勾股定理列方程，解得后算出；②当点在的延长线上时，同理作，列方程，解得后算出，最终得到的两个可能长度． 【详解】解：四边形为菱形，， ，， 为等边三角形， ，， ， ， ，． ， ， ， 为等边三角形， ， 设，则， 分两种情况讨论： ①当点在线段上时，如解图，过点作于点， ， ， ，， ，． ， 在中，， 即， 解得（负值已舍去）， ②当点在的延长线上时， 如解图，过点作于点 同理①，可得，， ，， 在中，， 即，解得（负值已舍去）， ， 综上所述，的长为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算和化简 （1） （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）先计算立方根，零次幂，绝对值，再合并即可； （2）先整式乘法运算，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 直播电商作为新兴电商形态，近年来其市场规模实现爆发式增长，为中国消费市场注入强劲动力．某公司为提升直播间运营效率，对某个直播平台的A类零食直播间和B类零食直播间近10天的上架商品审核耗时（单位：分钟，耗时越短代表运营效率越高）进行统计，具体数据如下： 类型 天数 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天 第9天 第10天 A类零食直播间 5 8 7 11 8 6 10 5 12 8 B类零食直播间 5 4 8 7 9 6 7 8 6 8 统计人员对以上数据进行分析，结果如下： 类型 平均数 中位数 方差 A类零食直播间 8 5.2 B类零食直播间 7 2.16 根据以上信息，回答下列问题 （1）表格中_____，_____． （2）请结合统计数据对这两类直播间的运营效率作出合理评价． 【答案】（1）8；6.8 （2）B类零食直播间审核的平均耗时小于A类零食直播间，说明B类零食直播间整体运营效率较高；B类零食直播间审核耗时的方差小于A类零食直播间，说明B类零食直播间每天审核耗时的波动范围较小，运营效率更稳定．（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数的定义计算即可； （2）根据表格数据合理分析即可． 【小问1详解】 解：A类零食直播间排序后得：5、5、6、7、8、8、8、10、11、12， 可知； ； 【小问2详解】 解：B类零食直播间审核的平均耗时小于A类零食直播间，说明B类零食直播间整体运营效率较高；B类零食直播间审核耗时的方差小于A类零食直播间，说明B类零食直播间每天审核耗时的波动范围较小，运营效率更稳定．（答案不唯一，合理即可） 18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过的顶点，与边交于点，轴，． （1）求反比例函数的表达式． （2）将向下平移，当点落在反比例函数的图象上时，求平移的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，建立等式，求解即可． （2）过点作轴于点．确定，继而得到．设向下平移的距离为，则平移后点的坐标为，代入反比例函数的表达式，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得， 解得． ， ． 反比例函数的表达式为 【小问2详解】 解：如解图，过点作轴于点． ， ，． 在中，． ， 轴， ． 设平移的距离为，则平移后点的坐标为． 将代入，得， 解得． 平移的距离为； 19. 嵩岳寺塔（图1）位于河南省登封市嵩岳寺内，是第一批全国重点文物保护单位．某综合实践小组想通过所学知识测量该塔的高度，图2为测量示意图．嵩岳寺塔的前面有一座高的建筑物，小组成员在点E处用测角仪测得塔顶B的仰角为（点A，E，C在一条直线上），在建筑物顶部D处测得塔顶B的仰角为，测得E处的俯角为，图中所有点均在同一平面内．求嵩岳寺塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，，，，，） 【答案】嵩岳寺塔的高度约为． 【解析】 【分析】过点作于点，可知四边形为矩形，得到，，，根据平行线的性质得到，根据三角函数求出，设，根据等角对等边得到，即，，根据三角函数得到，求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴四边形为矩形， ，，． ， ， ， 解得． 设， ， ∴， ， ，， 在中，， 解得． 答：嵩岳寺塔的高度约为． 20. 近年来，我国航天事业取得了举世瞩目的成就，点燃了广大青少年对航天的热情．某经销商看准商机，迅速推出“天宫”和“神舟”两款模型玩具．已知购进1个“天宫”模型玩具的费用比购进1个“神舟”模型玩具的费用多20元；购进30个“天宫”模型玩具的费用与购进40个“神舟”模型玩具的费用相等． （1）求“天宫”和“神舟”两款模型玩具的进货单价． （2）该经销商计划用4800元购进这两款模型玩具，且购进“天宫”模型玩具的数量不低于30个．已知每个“天宫”模型玩具的售价为90元，每个“神舟”模型玩具的售价为75元，该经销商如何进货才能获利最大，最大利润为多少？ 【答案】（1）“天宫”模型玩具的进货单价为80元，“神舟”模型玩具的进货单价为60元 （2）经销商购进30个“天宫”模型玩具，40个“神舟”模型玩具时获利最大，最大利润为900元 【解析】 【分析】（1）设“天宫”模型玩具的进货单价为元，“神舟”模型玩具的进货单价为元，根据购进1个“天宫”模型玩具的费用比购进1个“神舟”模型玩具的费用多20元；购进30个“天宫”模型玩具的费用与购进40个“神舟”模型玩具的费用相等列二元一次方程组求解即可； （2）设购进个“天宫”模型玩具，经销商获利元，根据题意得到购进“神舟”模型玩具个，求出的解析式，根据一次函数的性质可知当时，有最大值，进而计算即可． 【小问1详解】 解：设“天宫”模型玩具的进货单价为元，“神舟”模型玩具的进货单价为元， 根据题意，得， 解得 答：“天宫”模型玩具的进货单价为80元，“神舟”模型玩具的进货单价为60元； 【小问2详解】 解：设购进个“天宫”模型玩具，经销商获利元． 由题意，知购进“神舟”模型玩具个． ． ， 随的增大而减小． ，且为整数， 当时，有最大值，最大值为 此时． 答：经销商购进30个“天宫”模型玩具，40个“神舟”模型玩具时获利最大，最大利润为900元． 21. 阅读下列材料，完成相应的任务． 如图1，点，分别为两边上的点，如何利用无刻度的直尺和圆规在，之间画一条过点的直线，使得点，到这条直线的距离相等？ 下面是小成的作图思路： 第一步：以点为圆心，以的长为半径画弧； 第二步：以点为圆心，以的长为半径画弧，两弧在内部交于点； 第三步：作直线，则点，到直线的距离相等． …… （1）请你根据小成的作图思路，在图1中，利用无刻度的直尺和圆规完成作图． （2）根据（1）中的作图，请你证明点，到直线的距离相等． （3）你还有其他作图方法吗？请在图2中完成尺规作图．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1） 解：如解图1，直线即为所求． （2） 证明：如图1，连接，，交于点，过点，分别作，，垂足分别为，． 由作图，知，， 四边形为平行四边形． ． ，， ． ， ，即点，到直线的距离相等 （3） 解：如图2，直线即为所求 过点，分别作，，垂足分别为，． ∴． ∵，， ，即点，到直线的距离相等． 【解析】 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）连接，，交于点，过点，分别作，，垂足分别为，．证明得，即结论成立； （3）连接，作线段的垂直平分线与交于点D，作直线，则直线即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 为迎接校庆，学校需要在校门上悬挂灯笼，如图是校门的截面示意图，校门上部呈抛物线形，校门下部为矩形，已知，，校门最高点到的距离．现需在校门上部的点，处各悬挂一个灯笼（点，均在抛物线上），且点，关于对称，，之间的距离为． （1）请以所在的直线为轴，所在的直线为轴，在图中建立平面直角坐标系，并写出点的坐标． （2）求抛物线的函数表达式，并写出自变量的取值范围． （3）若悬挂点到灯笼最底端的长为，求灯笼最底端离地面的高度． 【答案】（1）建立平面直角坐标系如图所示： 点的坐标为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据要求建立平面直角坐标系，根据矩形的性质得到，，根据二次函数的对称性可知B、C关于对称，进而求出，根据，求出，即可求出点的坐标； （2）设抛物线的函数表达式为，将代入计算即可； （3）分别过点，作的垂线，垂足分别为，，根据对称性求出，求出当时y的值，即可得到灯笼最底端离地面的高度． 【小问1详解】 解：∵矩形， ∴，， ∵P是抛物线最高点， ∴B、C关于对称， ∴， 即， ∵，， ∴， 即点的坐标为； 【小问2详解】 解：设抛物线的函数表达式为． 由题意，得， 将代入表达式，得， 解得． 抛物线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：如图，分别过点，作的垂线，垂足分别为，． ， ∴ ∵点，关于对称， ． 当时，． ， 灯笼最底端离地面的高度为． 23. 数学活动课上，兴趣小组进行了如下讨论，请阅读并完成下列问题． 【问题初探】 如图1，在正方形中，为边上一动点（不与点，重合），过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点． 甲同学观察图1后发现结论：①． 乙同学思考后认为可以改变四边形的形状，再探究． 如图2，在矩形中，为边上一动点（不与点，重合），过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．若，，则②． （1）上述材料中横线①处应填____，横线②处应填_____． （2）【问题延伸】丙同学在乙同学的基础上进一步提出问题：如图3，在图2的基础上，连接，过点作的垂线交的延长线于点，求的值． （3）【问题解决】在（2）的基础上，若，，点为射线上一点，且，请直接写出的长． 【答案】（1）1； （2） （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，证明，得到； 根据矩形的性质，证明，得到． （2）过点分别作，的垂线，垂足分别为，，证明 ． 四边形为矩形，得到．根据求解即可． （3）分类求解即可． 【小问1详解】 ①解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【小问2详解】 解：过点分别作，的垂线，垂足分别为，，如解图1． ，, ， ． ，， ． ． ，，， 故四边形为矩形， ． ． 的值为． 【小问3详解】 解：①当点在边上时，如解图2， ， 为等腰直角三角形， ． 由（1），知， ， ． ，， ． 由（2），知， 设，则． 在中，，即， 解得（负值已舍去）． ②当点在的延长线上时，过点作于点， 如解图3，同理①，易得， ，， 为等腰直角三角形． ． ． ， ． ． ． ，即， 解得． 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $