广西南宁市第三中学2025-2026学年高一下学期3月月考数学试题

数学试题 2026.3 命题人：高一数学备课组 审题人：高一数学备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，只有一个选项符合题目要求。 1.复数2-3i的虚部是（ A.3i B.-3i C.3 D.-3 2.如图，在△ABC中，BD=2DC,则AD=) A.恋+c B.3+ c.+号4c 3 D.48+2C 3 3.已知向量a、b满足ai=-3,且=2，则向量a在向量上的投影向量为( A.-36 B.-36 c.3 D. 2 4记a=2,=,c=le分，则() A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a 5.已知△ABC中，角AB,C的对边分别是ab,c,若， m(5-M2cos2B-1cosC,则△ABC是（） 2 A.钝角三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 6.在△ABC中，B= 石，a=x,b=1,若满足条件的△ABC有2个，则x的取值范围是() A.(0,1]U23 B.(0,)U23 C.(0,2) D.(1,2) 7.已知函数f似-4如(a+p4>0@>lk到的部分图像如图所示，f0=f(得)-() 则f() A.0 B.-1 C.-V2 D.-V5 高一月考（一）数学试题第1页共4页 8.已知函数f(x)= -4x-3,x≤0，若函数A()=6[f(门-(2m+3列f(+m有6个不同的零点， n,x>0, 则实数m的范围是、) A.[-9,0)U(3,+∞)B.(-6,0)U(3,+o)C.【-9,0)U[2,+∞)D.(-3,0U[1,+o) 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。有多个选项符合题目要求。全对得6分， 部分选对得部分分，有选错的得零分。 9.设z为复数（ⅰ为虚数单位），下列命题正确的有( A.若z∈R,则z=z B.若z2∈R,则z∈R C.若z2+1=0,则z=士i D.若(1+i)z=1-i,则2=1 10.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f(x+1)为偶函数，当x∈(0，]时，f(x)=2-1,则 A.4为函数f(x)的一个周期 B.y=f(x)的图象关于直线x=-3对称 C.f(x)在[-7，-5]上单调递增 D.f(-1)+f(-2)+f(-3)++f(-201)+f(-202)=-1 11.己知△4BC三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若(W3c-2 asin B)sinC=V3(bsin B-asim), 则下列选项正确的是( AB=君 B.若点E在边AC上，BE为角平分线且长度为1，则a+c=V3ac C若D是4C边上的点，且C历=2DA,BD=2,则△MBC的面积的最大值为 2 D.若0是△4BC的外心，OB=mOA+nOC,则m+n∈[-2,1) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数f(x)=log(3-2)+2(a>0,a≠1)的图象恒过定点） 13.在亚运会女子十米跳台决赛颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度15°的看台上，同一列上的第一 排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排A点和最后一排E点的距离为9√6米 (如图所示)，则旗杆的高度为 米。 旗杆 E430 最后一推播丛 人60°☐B B D 第一排 第13题图 第14题图 14.在以O为圆心，半径为A0=1的⊙0中，有一个内接锐角三角形ABC,其中BC=√5，∠BAC的 角平分线交BC于点D,则OA.DA的取值范围是 高一月考（一)数学试题第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分。 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(1)已知平面向量a=(3,2),万=(2，-1)，若a+i与a+26平行，求实数元的值； (2)已知平面向量a,万的夹角为120，且同=3，同=2，若ā+6与a-k品垂直，求实数k的值。 16.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2c-b=2ac0SB. (1)求角A; (2)若△ABC是锐角三角形，且a=V3,求△4BC周长的范围. 17.己知0为坐标原点，点A2,2W3sin@x,B(cos0x,cosx),0>0,记函数f(x)=OA.08-1,函数 f()的对称中心到相邻对称轴的距离为 4 (1)求f(x)的解析式及函数的单调递增区间； ②)将函数（闷图像上所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移豆个单位，就可 12 符到的图像，当x合引， 求函数g()的值域， 高一月考（一)数学试题第3页共4页 18.如图，设Ox,Oy是平面内相交成a(0<u<的两条射线，，，分别为0x,Oy同向的单位向量，若 向量O丽=xg+y吧2，则把有序数对(，y)叫做向量在斜坐标系α-xOy中的坐标，记为O严=(x,y). ①在斜坐标系号x0中，O成=（亿，），求O: ②在斜坐标系a-x0中，0丽=（久，）00-(-，且0丽与00的夹角0-号 ①求a; ②4，B分别在射线0x,Oy上，A8例=3，E,F为线段B上两点，且花=花，正=B,求O远.O币 的最小值. e 19.记锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为ab,c. (I)若f(x)=sinx,证明：f(sinA)>f(cosB). ②当c=2,、1+1 1 =1时，求△ABC面积的最大值. 'tan 4 tan B tan Atan B (3)当角A,B,C满足tan Atan Btan C≤[tan]+[tanB]+[tanC],其中符号[x]表示不大于x的最 大整数，若A≤B≤C,试探讨tanC-tanB是否为定值？请说明理由. 高一月考（一)数学试题第4页共4页 数学试题参考答案 1.【答案】D【详解】因为复数2-3i的虚部为-3. 2.【答案】D【详解】由历=2DC,可得B0=号C=(c-,所以 D=店+BD=店+ac-)=西+子c. 3.【答案】A【详解】因为卜2，且a.i=-3,由投影向量的定义，向量ā在6上的投影向量为： a-66=-36. 18P 4 4. 【答案】D【详解】因为y=2*在R上单调递增，又0.1>0，所以a=21>2°=1，因为y=3产在R上 单调递增，又-0.2<0，所以0<b=32<3°=1，因为y=1ogx在R上单调递增，)<1，所以 2 c=l1og5<log,1=0,所以c<b<a b 5.【答案】B【详解】由sing-02cos2 -1cosC,结合正弦定理可得sin4-s血BsiC 2 cos0 cosC,所 以tanA=tanB=anC,又因为A,B,C是△ABC的内角，故A=B=C,所以△ABC是等边三角形. 6.【答案】D【详解】在△MBC中，B=营，a=x,b=l,又满足条件的△ABC有2个，则asin B<b<a, 即xsin匹<1<x,解得1<x<2,所以x的取值范围是1,2). 6 7.【答案1c【详解】由图像可知，4=2，由fo)=(得)-f()可得1-号-0，且r=吾 3 所以子=2，解得@=3，所以f()=2si(3x+,由f(倍)f)可得， a咖时-时s 4+2ke乙，且似<分当k=1时，-异，所以=2sm3x+引，则 f(》-2m(受+到. 8.【答案】A【详解】画出函数∫(x)的图像如图所示，函数 h(x)=6[f(x]-(2m+3)f(x)+m有6个零点，等价于 6[(-(2m+3)+m=0有6个解，即f(=号或=号共有6个解，等价于y=f()的 图像与直线y=号和直线)y=贺，共有6个交点，由图得y=()的图像与直线y=有4个交点， 所以)y=f冈的图像与直线y-罗有2个交点，所以-3≤号<0或号>1，解得-95m<0或m>3, 3 即实数m的取值范围是[-9,0U(3,+o). 9.【答案ACD《详解对于A选项，若z∈R,则z=z,A对；对于B选项，不妨取z=i,则z2==-1∈R, 但z不是实数，B错：对于C选项，若z2+1=0,则z2=-1,可得z=i或z=-i,C对；对于D选 项，若=心=-，则以=1，D对 Γ1+i(1+)(1-)2 10.【答案】ABD【详解】对于A,因为函数y=f(x+1)为偶函数，所以f(x+1)=f(-x+1),即f(x) 的图像关于直线x=1对称，因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x),则 f(x+2)=f[-(x+1)+1]=f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(),所以f()是周期 为4的周期函数，故A正确：因为f(x)关于直线x=1对称，根据A可知f(x)是周期为4的周期 函数，所以关于直线x=-3对称，故B正确；又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(O)=0, 因为当x∈(0，]时，f(x)=2-1,所以函数f(x)在(0，]上单调递增，所以函数f(x)在[0，]上单 调递增，又f(x)是定义在上的奇函数，所以f(x)在[-1,0]上单调递增，所以f(x)在[-1，上单 调递增，又(x)关于直线x=1对称，所以函数f(x)在[1,3]上单调递减，又因为f(x)是周期为4 的周期函数，所以f(x)在[-7，-5]上的单调性相当于在[1,3]上的单调性，故此时递减，故C错误； 当x∈(0,1]时，f(x)=2-1,所以f()=2-1=1,f(-1)=-f()=-1, f(2)=f(1+)=f(-1+1)=f(0)=0,所以f(-2)=-f(2)=0,f(-3)=f(-3+4)=f()=1, f(-4)=f(-4+4)=f(0)=0,所以f(-)+f(-2)+f(-3)+f(-4)=-1+0+1+0=0,所以 f(-1)+f(-2)+f(-3)+…+f(-201)+f(-202) =50[f(-1)+f(-2)+f(-3)+f(-4)]+f(-1)+f(-2)=-1+0=-1,故D正确. 2 1l.【答案】BCD【详解】对于A选项，因为(V3c-2 asinB)sinC=V3(bsinB-asin4), 由正弦定理可得v5c2-2 acsinB=V3b2-V3a2,整理可得 a2+c2-b2=2 BacsinB,由与余弦定理可得 cosB=4-28ee-号sinB>0,所以aB=5,因为B∈(0，， 2ac 6ac 故B=A错：对于B选项，因为点B在边AC上，BE为角平分线且长度为1，所以LABE=∠CBE= 由Saac=SAABE+SACBE,即号acsin号=c,BEsin+a·BEsin因为BE=1,所以ac=a+ c,故a+c=V3ac,B对；对于C选项，因为c币=2DA,则B币-BC=2(8A-D,即3BD=BC+ 28A,所以98D2=(8C+2BA2-B2+4B水+4BC.BA,即36=a2+4c2+4acos=a2+ a=2c 2ac22a2.4c2+2ac=6ac,即ac≤6，当且仅当2+4c2+2ac=36,即当03 (c=3 时，等号成立，所以，5oAD=acsi号=ac≤9×6=9，故△ABC面积的最大值3为票C 对：对于D选项，因为LABC=子所以LA0C=,可知点B在优弧AC上（端点除外），由题意 得0i=m0A+n0C,则m+n<1,又因为0=(m0A+no2=m20a+n20+2mn0i.0元， 且o=1OA=o,所以可得1=m2+n2-mn=(m+)2-3m,即mn=m+n2-1,又因为 3 mn≤，所以+≤+，解得(m十m≤4，当且仅当m=n=士1时，等号成立，所 以可得-2≤m+n<1,故D正确. 12.【答案】(1,2)【详解】令3-2=1，解得x=1,则f()=log。1+2=2,所以函数f(x)的图象恒过 定点(1,2). 13.【答案】27【详解】由图可得∠ECA=360°-90°-120°-120°=30°，在△E4C中，由正弦定理可得 Sn0+1阿30，即AC=sn45EA=号x9W5x2=185,在AMBC中，2C4B=60, AC EA sin30°=2 可得BC=4C×sin60=18W5×5=27米. 2 答案】Q.【详解】OaD=40而，设B=c,AC=b,BC=Q,则s咖A=品=3 则4号再由角平分战定里，是铝分则由定比分点能质，而。而+C,又0 b+c b+c 为三角形ABC的外心，所以： 0A.DA=A0.AD=A0. b+c 6B2+642= cb2 be 2(6+c) 2(6+c) C“26+可+26+日气：且三角形4C为锐角三角形，则三角形的 面积S△ABC= CsnA=h,其中为三角形ABC的BC边上的商，由题意，h的取值范围为 (引则9=e 2 2sinA 15.【详解K1)a+万=(32+2,21-1)，a+26=(7,0）,:a+6与a+26平行，.(3元+2)×0=(2元-1)×7， 解得：元=分 .…。·6分 2)a5-同leos2=3x2x-=-3, a+b与a-k6垂直，(a+列(a-)=0, a-k+1-k)ai=0,得9-4k-31-)=0,解得k=6.············13分 16.【详解】(1)因为2c-b=2 acosB,由正弦定理可得2sinC-sinB=2 sinAcosB, 2sin(A+B)-sinB 2sinAcosB 2cosAsinB-sinB 2sinAcosB, 得到2 cosAsinB-sinB=0,即sinB(2cosA-1)=0,又B∈(0，m,sinB≠0，所以cosA=2 又因为AE(0,),可得A=···· ..6分 (2)设△ABC外接圆半径为2R,则2R=品=2， 周长LAABC=a+b+c=b+c+V3=2R(sinB+sinC)+V3 =2(sinB+sim(B+)+V3=2·2(sin(B+君)·cos(-8)+V3 =2W3(sin(B+)+V3, 因为△ABC是锐角三角形，且A=子所以号<B<,测则明<B+君<智 则9<sm(B+8)≤1，所以周长的取值范围为3+V3,3V.··. ..15分 17.【详解】（1)由题意得： (--1+00+5sim2x2im2 因为函数f()的对称中心到相邻对称轴的距离为二，所以函数f(x)的周期为T=元， 即无=x→0=1，所以)=2n2x+8别 20 当-受+2加≤2x+将经+2eZ时，解得-骨+br≤xs行+eZ。 2 即/)的单调增区间是[骨+血+]ke。 .9分 (2)若格函数f()图像上所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的号，则f)=2m4红+号司 再向右平移合个单位，就可得到g纠的图像，即8()-2[4女}+引-2（红-哥引 12 当xe[吾引时-[后】所以m-引[]，即8-2m4x引ta 故函数g(x)的值域为[1,2].。 .·15分 18. 【答案】(1)9； 20号 ②0小值为号-26 【详解】(1)因为0M=(2,3), 则0M-=2g+36,0m=(28+3e2=4e2+12g6,+9g=13+6=19,所以0d=V19；.4分 (2)①因为0P=(2,1)=2g+e2,00=(1,-1)=g-62, =5+4ee,@=2-2ge,丽.00=(2g+)g-4)=2-1-2g8tg61-g6, 则cos8= 0p.00 1-g·g2 Op 00 5+4g2-2ee 2=片，化简并整理得26--5日-1=0， 解得写-6=osa=-2或g6=cosa=1（舍去，因为0<a<元)，则a=2；.·10分 3 ②依题意设OA=m%,OB=ne2, 因为F为8中点，则0示-+0丽=方网+分吗， B 2 同理死-0+正=0+名=0+《0+o列=m+G, 则o死.o示=5m2g+r含2+6mg=立5m2+-3mn小. 在△0AB中，A08-季h=3,依据余弦定理得m2+-9=m, 所以o元.o示=2(3m2+4n-27）-=2m2+n）-号 3 o4 o 在△0MB中，乙40B=经AB=3,由正弦定理 sin∠OBA sin∠OAB, 3 设∠0AB=A,则o=n=25s如，lo4=m=25sn(行- rr-以2m仔-p小-1-管-92] 目5明，(o<引 所以，当B=元时，2m2+m2取最小值18-6N5, 此时O呢O示取最小值5-25.. ·····17分 19.【详解】(1)由题意可知，A,BE(0,受)，A+B>受则5>A>-B>0, 因为f)=sinx在(0，)上单调递增，所以1>sinA>sin(侵-B)=cosB>0, 所以f(sinA)>f(cosB).···。 .4分 (2)在锐角△ABC中，由tanC=tan(t-(A+B)=-tan(A+B)=- tanA+tanB 1-tanAtanB tanA tanB tanc tanAtanBtanC. 因为品+品B+taAn=l,可得anA+anB+1=tanAtanB, 得tanc=1,又.Ce(0,),所以C=平由余弦定理有c2=b2+a2-2 abcos≥2ab-V2ab, 当且仅当a=b时取等，而c=2,所以ab≤2=2(2+V2, 所以saBc=2 absinC≤×22+V②×号=1+V2. 即该三角形的面积的最大值为1+V2.········· (3)由(2)知tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC. 记x=tanC,y=tanB,z=tanA,由条件得x+y+z≤[x]+y]+[☑， 因为[≤t,所以[凶+y)+[☒≤x+y+z≤[☒+y)+[, 所以x+y+z=)+[y]+[,所以xy,z必为整数. 由A≤B≤C,得0<A≤F所以tanA≤V3,又anA∈Z,所以tanA=1,A= 所8-停BsG,所sBs÷n(e+0-片-高-1 解得an晋=V2+1≈24，tanB=2,代入tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanc得tanC=3, 即tanC=3,tanB=2,tanA=1,所以tanC-tanB=1.,.,,,,·,,···、,17分 6