第4章 因式分解 拔尖测评-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（浙教版）

项式”， 所以2c=0. 所以c=0. 所以m=4. 22.(1)把a=2代人关于x,y的二 3x+y=5a-4, 元一次方程组 得 x-y=-a, f3.x+y=6①， {x-y=-2② ①+②，得x=1, 把x=1代人②，得y=3, x=1, 所以方程组的解为 y=3. (3.x+y=5a-4①， (2)记 x-y=-a②. ①-②，得2x+2y=6a-4, 所以x+y=3a-2. 3x+y=5a-4①， (3)记 x-y=-a②. ②×5，得5.x-5y=-5a③， ①+③，得8.x-4y=-4, 所以2x-y=-1. 所以6x-3y=3(2x-y)=3× (-1)=-3. 所以无论a取何数时，代数式6.x一3y 的值始终不变 23.(1)1650.解析：设牛奶一箱 x元，咖啡一箱y元.由题意，得 20.x+10y=1100,所以30x+15y= 1.5(20x+10y)=1.5×1100= 1650. (2)①设牛奶一箱x元，咖啡一箱 y元. (20.x+10y=1100, 由题意，得 25.x+20y=1750, 解得 x=30, (y=50. 所以牛奶与咖啡每箱分别为30元 50元. ②设牛奶与咖啡的总箱数为a,则打 折牛奶的箱数为4a. 打折牛奶每箱的价格为30×0.6 18(元)，打折咖啡每箱的价格为50× 0.6=30(元)，即打折咖啡每箱的价格 与原价牛奶每箱的价格相同！ 设原价咖啡有b箱，则打折咖啡与原 价牛奶共有（子a-b)箱。 由题意，得18×4a+30×( 3 b)+50b=1200, 整理，得27a十20b=1200. 27 所以b=60一204. 因为a,b均为正整数， a=20,a=40, 所以 ”或 b=33 b=6. 因为a>b, 所以a=40,b=6. 所以此次按原价采购的咖啡有6箱. 24.(1)140.解析：设40-x=a, x-30=b.所以ab=-20,a+b= (40-x)+(x-30)=10.所以a2+ b2=(a+b)2-2ab=102-2×(-20)= 140.所以(40-x)2+(.x-30)2= 140. (2)设2x-3=m,x1=n. 9 所以m=4,一m十2n=(3-2x)+ 2(x-1)=1. 所以(-m)2+(2n)2=（-m+ 2n)2+4mm=12+4x9 =10 所以(3-2x)2+4(x-1)2=10. (3)由题意，得ED=x一14，DG= x30 所以长方形EFGD的面积为(x一14)· (x-30)=200 设x一14=p,x一30=g,则易得 MF=NF=+g. 所以g=200,p-g=(x-14)- (x-30)=16. 所以涂色部分的面积为(p十q)2= (p-g)2+4pg=162+4×200= 1056. 66 第4章拔尖测评 -、1.B2.C 3.D解析：x2-1=(x十1)(x-1), 故A选项错误：a3一2a2十a=a(a一 1)2,故B选项错误；一2y2十4y= 一2y(y一2)，故C选项错误：m2n 2m十n=n(m一1)2，故D选项正确. 4.C解析：(a十5)2-(a+5)= (a+5)(a十4).因为a为整数，所以 a十5，a十4为两个连续整数，则其中有 一个必能被2整除.所以(a十5)(a+ 4)能被2整除.根据题中条件无法确 定(a十5)2-(a十5)能被其他数整除. 5.C解析：由题意，得x2+2(m-3)· x+9=(.x士3)2，所以2(m-3)=6或 2(m-3)=-6,解得m=6或m=0. 6.A 7.A解析：因为原式=a2(a2 2)-2(a2-2)=(a2一2)2≥0，所以整 式a2(a2-2)-2a2+4的值不是 负数 8.D解析：8.x(m2-n2)-8y· (m2-n2)=8(x-y）(m2-n2)= 8(x-y)(m十n)(m一n),所以对应 密文可得到的字为我、爱、中、大 9.C解析：因为x=3y十5，所以 x-3y=5.所以(x-3y)2=x2 6xy+9y2=25.又因为x2-7xy+ 9y2=24,所以xy=1.所以x2y 3xy2=xy(x-3y)=1×5=5. 10.A解析：因为(x一y)2-2x+ 2y+1=0,所以(x-y)2-2(x y)+1=0.所以(x-y-1)2=0.所以 x一y=1①.因为该长方形的周长为 16cm,所以2(x十y)=16.所以x+ y=@.由0@，得x=号y=名.所 以该长方形的面积为号×号 Gm). 二、11.2xy(y-2)12.3400 13.a(x-2y)2解析：a.x2-4a.xy+ 4ay2=a(.x2-4.xy+4y2)=a(x 2y)2. 14.(x+y+2)(x+y一2)解析：由 题意，得p+2+(g2-8g+16)=0, 即|p+2|+(g-4)2=0.因为|p十 2≥0，(q-4)2≥0，所以p+2=0,q- 4=0,解得p=-2,q=4.所以(x2十 y2)-(y+g)=(x2+y2) (-2xy+4)=x2+y2+2xy-4= (x+y)2-2=(x十y+2)(x+y-2). 15.x2+4x解析：由S2=4x x=x(4一x),可知长方体的宽为 4-x.由S1=16-x2=(4-x)(4+ x),可知长方体的长为4十x.所以 S3=(4+x)x=x2+4x. 16.一2026解析：因为m2=1+ 2026,722=m+2026,所以m2-n2 2-m.所以(m+n)(m一n)=n一. 因为m≠n,所以m十n=一1.因为 m2=n+2026,n2=m+2026,所以 m2-n=2026,n2-m=2026.所以 m3-2n+n3=m3-m1-mn+ n3=m(m2-n)十n(n2-m)= 2026m+2026m=2026(m+n)= 2026×(-1)=-2026. 三、17.(1)原式=4m2n(a-b)+ 6mm2(a-b)=(4m2n+6mm2)(a b)=2mm(2m+3n)(a-b). (2)原式=3[(a+b)2一(3c)2]= 3(a+b+3c)(a+b-3c). (3)原式=1-(x-2y)2=(1+x- 2y)(1-x+2y). (4)原式=(a-1)2+4(a-1)=(a一 1)(a-1+4)=(a-1)(a+3). 18.2(x-1)(.x-9)=2(x2-10x+ 9)=2x2-20x+18. 因为甲同学看错了一次项， 所以一20x错误，2x2和18正确 2(x-2)(.x-4)=2(x2-6x+8)= 2x2-12x+16. 因为乙同学看错了常数项， 所以16错误，2x2和一12x正确. 所以原多项式为2x2一12x+18, 所以2x2-12x+18=2(x2-6.x十 9)=2(x-3)2」 19.(1)C. (2)(x-2)4 (3)设x2+2x=y. 原式=y(y+2)+1=y2+2y+1= (y+1)2=(x2+2x+1)2=(x+1)4. 20.(1)不是 (2)是 理由：因为(21)2-（21-2)2=[2m十 (2n-2)][2n-(2n-2)]=(2n 2-2)(2-21+2)=2×(4n-2)= 4(21-1), 又因为21一1为奇数 所以这两个连续偶数构造的“神秘数” 是4的奇数倍，即为4的倍数， (3)设这两个连续奇数为21一1， 21十1(n为正整数)： 所以(21+1)2-(21-1)2=[(21+ 1)+(2m-1)][(2m+1)-(2 1)]=(2m+1+2-1)(2n+1-2+ 1)=4n×2=8n=4×2m=4X偶数： 因为由(2)知“神秘数”是4的奇数倍， 所以两个连续奇数（都为正整数）的平 方差不是“神秘数” 21.(1)2a2+5ab+2b2=(2a+ b)(a+2b). (2)①a3+b3+3a2b+3ab2=(a+b)3. ②因为a十b=5,ab=2, 所以a3+b3=(a+b)3-3a2b 3ab2=(a+b)3-3ab(a+b)=53 3×2×5=95. 第5章拔尖测评 -、1.D 2.A解析：当x=2时，分式0一22 x+a 的值为0，即a2-2.x=a2-2×2= a2-4=0,解得a=士2.因为x十a≠ 0,即2+a≠0，所以a≠一2.所以 a=2. a2-0.2a 3. C 解析： a2-0.3a3 67 等是故选项 A错误：- x+1= -(x十1)= x-y x-y 1- 一1，故选项B错误： x一y 1 a十3 (1-2a)x6 (a+3)x6 =2十，故选项C正 2-a2_b+a)6-a=b-a, 确： a+b a+b 故选项D错误。 4D解析：因为2-品-品=2，所 以a=2bc,b=2ac,c=2ab.所以a2= 2abc,b2=2abc,c2=2abc.所以 abc abc 6abc-6. abc 5.C解析：选项A中原式 (x-y)2,x2+y2 十y（-y=1,故选项A不 符合题意.选项B中原式= 3(x+y)(x一y2 (x+y)(x-y) 8. 号，故选项B不符合题意选项C中 原式=2x+1)2x-D·(2x+1)= 2x一故选项C符合题意.选项D中 原式= m2 ab2(m-2) a2b2(m十n)(m-n)=am(m十2） 2m 故选项D不符合题意， 6.D解析：根据题意，得2024年森 林面积的增长率为6一“，2025年森林 画税的增长率为。之所以2025年与 2024年相比，森林面积的增长率提高 了-b_6-&=ac-ab-b2+ab b a ab ac-b2 ab拔尖特训·数学（浙教版）七年级下 第4章拔尖测评 拍照批改 ◎满分：100分 ○时间：90分钟 姓名： 得分： 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列由左到右的变形是因式分解的为 A2-1=z) B.x2-9=(x+3)(x-3) C.x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3.x D.(x十2)(x-2)=x2-4 2.已知多项式2x2+3.x-b分解因式的结果为(2x一5)(x十c),则b,c的值分别为 A.3,-5 B.-5,4 C.20,4 D.20,-4 3.下列各选项中，因式分解正确的是 A.x2-1=(x-1)2 B.a3-2a2+a=a(a2-2a) C.-2y2+4y=-2y(y+2) D.m2n-2mn十n=n(m-1)2 4.对任意整数a,多项式(a十5)2-(a十5)都能 A.被5整除 B.被4整除 C.被2整除 D.被3整除 5.若x2十2(m-3)·x十9是一个完全平方式，则m的值是 A.0 B.6 C.0或6 D.6或3 6.在多项式16.x2十1中添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，以下是三名同学 的做法，嘉琪：添加士8.x,可得16.x2十1士8x=（4x士1)2；陌陌：添加64x,可得64x4十16.x2十1= (8.x2十1)2；嘟嘟：添加一1，可得16.x2十1一1=16.x2=(4x)2.下列判断中，正确的是 () A.嘉琪和陌陌的做法正确 B.嘉琪和嘟嘟的做法正确 C.陌陌和嘟嘟的做法正确 D.三名同学的做法都不正确 7.若a是实数，则整式a2(a2-2)-2a2十4的值 A.不是负数 B.恒为正数 C.恒为负数 D.不等于0 8.某课外密码研究小组接收到一条密文：8x(m2一n2)一8y(m2一n2).已知密码手册的部分信息如下表： 密文 m-n m+n x-y z+y x 明文 我 爱 中 华 大 地 把密文8.x(m2-n2)一8y(m2一n2)用因式分解解码后，明文可能是 A.中华大地 B.爱我中华 C.爱大中华 D.我爱中大 9.已知x=3y十5，且x2-7xy十9y2=24,则x2y-3.xy2的值为 A.0 B.1 C.5 D.12 10.已知长方形的周长为16cm,两邻边长分别为xcm,ycm,且满足(.x-y)2-2x十2y十1=0，则该长方 形的面积为 () 31 B.cm C.15 cm2 D.16 cm 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.分解因式：2xy2-4xy= 12.计算：17×512-492×17= 13.分解因式：a.x2-4a.xy+4ay2= 14.若|p十2与g2-8q十16互为相反数，则多项式(x2十y2)一(p.xy十q)分解因式的结果为 15.如图，长方体的高为x,S1=16-x2,S2=4x一x2,则S3= 16.若m2=n十2026，n2=m十2026，m≠n,则代数式m3-2mn十n3的值为 0 三、解答题（共52分） 17.(16分)分解因式： (第15题) (1)4m2n(a-b)-6mn2(b-a). (2)3(a+b)2-27c2. (3)1-(x2-4xy+4y2). (4)a2+1-2a+4(a-1). 18.(7分)对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项而将其分解为2(x一1)(x一9)，而乙同 学因看错了常数项而将其分解为2(x一2)(x一4)，试将此多项式进行正确的因式分解. 19.(9分)阅读下面的材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分 解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解 的方法称为“换元法”. 下面是小涵同学用换元法对多项式(x2一4x十1)(x2一4x十7)十9进行因式分解的过程. 解：设x2一4x=y. 原式=(y十1)(y+7)+9(第一步) =y2+8y十16（第二步） =(y十4)2（第三步） =(x2-4x十4)2（第四步）. 请根据上述材料，解决下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 () A.提取公因式法 B.平方差公式法 C.完全平方公式法 (2)老师说小涵同学因式分解的结果不彻底，则该因式分解的最后结果为 (3)请你用换元法对多项式(x2十2x)(x2十2x十2)十1进行因式分解. 20.(10分)如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4=22一 02,12=42-22,20=6一4，因此，4,12,20这三个数都是“神秘数”. (1)200 “神秘数”（填“是”或“不是”）. 12 (2)设两个连续偶数为2n和2n一2（其中n为正整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数 吗？请说明理由 (3)两个连续奇数（都为正整数）的平方差是“神秘数”吗？ 21.(10分)对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式， (1)如图①，观察可以发现代数式2a2十5ab十2b2能进行因式分解，请写出将其分解因式的结果. (2)通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式.如图②，棱长为α十b 的正方体被分割线分成8块. ①通过不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个因式分解的等式，则这个等式为 ②若a+b=5,ab=2,利用上面的规律求a3十b3的值， 2 b ① (第21题)