8.1一元二次方程 学案 2025--2026学年鲁教版八年级数学下册

第八章 一元二次方程 1 一元二次方程 列清单·划重点 一元二次方程的定义 只含有 未知数 x 的整式方程，并且都可以化为 (a，b，c为常数，a 0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 注意 (1)一元二次方程的概念有三个要点：①方程是整式方程 ②“一元”指的是只含有一个未知数 ③“二次”指的是未知数的最高次数是2； (2)判断一个方程是不是一元二次方程，必须看整理后的方程是否同时满足整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2(二次项系数不为0).这三个条件缺一不可. 知识点② 一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式： 我们把 (a,b,c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式.其中 ax², bx,c 分别称为 、一次项和 ，a，b分别称为 系数和 系数. 2.一元二次方程的特殊形式： (1)a≠0,b≠0,c=0时, =0; (2)a≠0,b=0,c≠0时, =0; (3)a≠0,b=0,c=0时, =0. 知识点一元二次方程解的估算 能使一元二次方程左右两边 的未知数的值，称为一元二次方程的解. 估计一元二次方程的近似解，通常采用列表的方式.首先根据具体的实际问题确定出解的适当范围，然后通过对x 的取值进行逼近使得方程中的 的值无限接近于0，这时x 的值就是方程的近似解. 一般地，一个一元二次方程如果有解，那么它有 解，这两个解可能 ，也可能不相等. 明考点·识方法 考点① 一元二次方程的定义 典例1下列方程中，是一元二次方程的有 ( ) ⑥(x-2)(x+3)=0 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 思路导析根据一元二次方程的定义进行逐项判断. 方法技巧 判别一元二次方程的“三个技巧”： (1)先把方程化简变形为一般形式后再判断； (2)分母或被开方数中含有未知数的方程一定不是一元二次方程； (3)二次项系数中含有字母时，若字母的取值不明确，不一定是一元二次方程. 变式 1 若方程 是一元二次方程，则 k 的取值范围是 . 变式 2关于 x 的方程 (1)当 m 取何值时是一元二次方程? (2)当 m 取何值时是一元一次方程? 考点② 一元二次方程的一般形式 典例2 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. (2)3y(y+1)=2(y+1). 思路导析首先去括号、移项、合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式，进而得出各项系数. 变式 1 一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 ( ) A.3,-6,1 B.3,1,6 C.3,6,1 D.3,1,-6 变式2 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项. (3)关于x的方程 q-p(m+n≠0). 考点③ 利用一元二次方程的解求字母或代数式的值 典例 3 已知一元二次方程 的一个根为1，则m= . 思路导析将x=1代入原方程，列出关于m的方程，然后解方程即可. 变式1 若a是一元二次方程 的一个实数根，则的值是 ( ) A.2 022 B.2 023 C.2 024 D.2 025 变式2 关于 x 的一元二次方程 的一个根为0,则a 值为 . 考点④ 估算一元二次方程的解 典例4 用估算的方法确定一元二次方程 的近似解.(精确到个位) 思路导析方程近似解的求法可通过列表，使代数式 的值不断接近0. 变式1 如表所示是某同学求代数式 的值的情况，根据表格可知方程 的根是 ( ) x … -2 -1 0 1 2 3 ··· 10 4 0 -2 -2 0 A. x=3 B. x=0 C. x=0或x=3 D. x=1或x=2 变式2 在估算一元二次方程的根时，小明列表如表： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 -2 -1.18 -0.32 0.58 1.52 由此可以确定，一元二次方程 8=0的一个根x 的大致范围是 ( ) A.1<x<1.1 B.1.1<x<1.2 C.1.2<x<1.3 D.1.3<x<1.4 1 一元二次方程 【列清单·划重点】 知识点1 一个 ≠ 知识点2 1.二次项 常数项 二次项 一次项 2.(1)ax²+ bx(2)ax²+c (3)ax² 知识点3 相等 两个 相等 【明考点·识方法】 典例1 C 变式1 k≠3 变式2 解:(1)∵方程 1=0是一元二次方程， (2)当m=0时,原方程为x-3x-1=0,是一元一次方程，符合题意； 当m≠0时, ∵方程 是一元一次方程， 综上所述,m=0或m=-1. 典例2 解：(1)一元二次方程( 的一般形式是 二次项系数是1，一次项系数是一10，常数项是-11; (2)一元二次方程3y(y+1)=2(y+1)的一般形式是 二次项系数是3，一次项系数是1，常数项是一2. 变式1 A 变式2 解： 二次项系数为3，一次项系数为-2，常数项为-1； 二次项系数为3，一次项系数为-1，常数项为0； 二次项系数为(m+n),一次项系数为(m-n),常数项为(p-q). 典例32 变式1D 变式2 -2 典例4 解：列表计算： x -2| -1| 0 1 2 3 4 4 -1 -4 -5 -4 -1 4 所以-2<x<-1或3<x<4. 进一步列表计算： x -1.4 -1.3 -1.2 3.2 3.3 3.4 x²-2x 0.76 0.29 -0.16| -0.16 0.29 0.76 所以x~-1或x≈3. 变式1 C 变式2 C 学科网（北京）股份有限公司 $