第10章 二元一次方程组 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（人教版）

人③，得=名十x十2以. 7x=7..若小丁最后购买了7盒甲 种礼盒，则他身上的钱剩下7元. 83 1 9.12解析：由题意，知 19×2=2b+c, fa=2, 14a=2c, 解得b=12,∴.b的 6a=b, c=14. 值是12. x+2y+3z=10①， 10.(1)记 5.x+6y+7g=26② ①+②，得6.x+8y+10x=36③. ⑧×2，得3x+4y+5=18. .3x+4y+5z的值为18. (2)设购买1本笔记本需要a元，1支 签字笔需要b元，1支记号笔需要 c元 (3a+2b+c=28①， 由题意，得 (7a+5b+3c=66②， ②-①×2，得a+b+c=10③. ③×45，得45a+45b+45c=450. .购买45本笔记本、45支签字笔、 45支记号笔需要450元. 11.设音乐社、街舞社、动漫社需A礼 品的件数依次为3x,5.x,8x,音乐社 需B礼品的件数为3y,街舞社需B礼 品的件数为2y,动漫社需B礼品的件 数为之. ,三个社团各需两种礼品的件数和 之比为1：1：2， (3.x+3y=5.x+2y, 8x+之=2(3x+3y). y=2.x, {z=10x .3y=6x,2y=4x. .A礼品的件数为16x,B礼品的件 数为6.x+4x+10x=20x. 设A礼品的预算单价为a元，B礼品 的预算单价为b元. 由题意，得[16.x·(1-3.125%门· a·(1-20%)]+20x·[b·(1+ 20%)]=16.xa+20xb. 化简，得12.4a.x+24bx=16a.x+ 20bx. .10b=9a 设b=9k,则a=10k. :1,4a2_12.4X10k_3到 24bx 24×9k541 '.实际购买A礼品的总费用与实际 购买B礼品的总费用的比值为号 第十章整合拔尖 [高频考点突破] x=5, 典例1 解析：将方程组 y=-1 ax+2y=2a+b, 整理得 cx-2y=2c+d, a(x-2)+2y=b,:关于x,y的二 (c(x-2)-2y=d. ax+y=b, 元一次方程组 的解是 cx-y=d x=3, .x-2=3,2y=-2,解得 y=-2, x=5,y=一1.∴.关于x,y的方程组 ax+2y=2a+b, x=5, 的解是 cx-2y=2c+d y=-1. x=-1,,{x=2, [变式](1)7或 y=2 y=-1. (2)由题意，得方程a.x十by=c与它 的“交换系数方程”组成的方程组为 ⊙ ax十by=c, ax+by=c; 或② Acx+by=a ax+cy=b. x=-1, 方程组①的解为 _a+c当a十 b b十c=0时，方程组①的解为 x=-1, y=-1. b+c 方程组②的解为 a ’当a十 y=-1. b十c=0时，方程组②的解为 x=-1, y=-1. ∴.方程ax十by=c与它的“交换系数 x=一1， 方程”组成的方程组的解为 y=-1. 32 将-1， 代人mx+y=p,得 (y=-1 -(m+n)=p. ∴.m十n=一p. ∴.(m+n)m-p(n+p)+2023= -pmm-pm-p2+2023=-p(m+ n)-p2+2023=(-p)2-p2+ 2023=2023. 典例2解方程组 x-y=1得 x+y=3, x=2, y=1. x=2, 受+y=4 把 代人方程组 y=1 y1， 3 m+n=4, 得 1 2m-3n=1, (m+n=4①， 整理，得 {6m-n=3②， 由①+②，得7m=7,解得m=1. 把m=1代入①，得1+n=4,解得 n=3. ∴.m的值为1，n的值为3. [变式](1)将a=1代人方程①，得 2x+y=5. x,y都是正整数， .当x=1时，y=3;当x=2时， y=1. .当a=1时，方程①的所有正整数 {x=1,x=2, 解为 y=3,y=1. (2)将 z=一2代入②，得-2-b= (y=1 2,解得b=一4. 将1代人①得2a十3=5，解得 y=3 a=1. 2x+y=5①， 原方程组为 x+4y=2②. 由0×4-@，得7红=18，解得r-9 由②×2-①，得7y=-1,解得y= 18 x ∴.原方程组的解为 y= 典例3A [变式](1)设第一次实验用了x千 克粮食糟醅，y千克芋头糟醅。 根据题意，得 130%x+20%y=16, 30%×2x+20%X3y=36, 解得 x=40, (y=20. ,.第一次实验用了40千克粮食糟 醅，20千克芋头糟醅 (2)设需要准备m千克大米。 根据题意，得(m÷)×30%× 80%=(40+40×2)×30%, 解得m=37.5. .需要准备37.5千克大米 [综合素能提升] 1.C解析：设被墨水所覆盖的图形 表示的数为a.根据题意，得 2x+y=11, 把x=3代人，得 4x+ay=27, (6+y=11①， 由①，得y=5.把 12+ay=27②. y=5代入②，得12+5a=27,解得 a=3. 2.C解析：记 a.x+2(a-1)y=a①， 由②，得x= 2x+2y=3②， 3把2=3号》代人⑩.得 2 u(2）+2a-1Dy=a,整理得 a-2)y=一2a,当a=2时，方程组 无解：当a≠2时，方程组有唯一解：若 y=0,则(a-2)X0=-1 a,解得 a=0.∴.①②错误，③④正确.∴.正 确的个数为2. 3.1 4.3或号 解析：根据新定义列方程 p.xe+gx+re=x① 组：{2p十q+2r=5②，由①，得 6p+2g+3r=4③， x(pe+q)+re=x,..pe+q=1, re=0,即r=0或e=0..当e=0 时，g=1,此时方程组为 4 2p+1+2r=5, 31 解得 6p+2+3r=4, 10 3 p+gtr+e=-专+1+9+0= 3.当r=0时，方程组为 2p+g+0=5, p=一3， 解得 6p+2g+0=4, q=11. 10 ∴.由pe十q=l,得e= 3 ..p十 g+r+e=-3+11+0+ 1034 33 :p十g十r十e的值为3或3 .34 5.方程(2b2-18)x=3无解， .2b2-18=0. ∴.b=±3. 当b=3时，原方程组化为 a.x-y=1①， 3.x-2y=-2, 由①X2,得2ax-2y=2. 方程组无解， ∴.2a=3,即a=1.5. 当b=一3时，原方程组化为 a.x-y=1②， 3.x-2y=-8, 由②×2，得2a.x-2y=2. :方程组无解， .2a=3,即a=1.5. ∴.当a=1.5,b=土3时，方程与方程 组都无解 6.(1)设号-1=，号+2=y,则方 程组可变为 x+2y=4, 解此方程组 2.x+y=5, x=2, 4-1=2, 3 a=9, 得 即 解得《 y=1, b b=-5. (5 +2=1, (2)设5(m十3)=x,3(n一2)=y,则 ax+by=c, 原方程组可变形为 a2x+b2y=c2. 关于x,y的方程组 ax+by=c1, x=3, 的解是 azx+b2y=c2 y=4, 33 12 (5(m+3)=3,. m=- 5 解得 3(n-2)=4, 10 3 7.(1)设七年级(1)班有x名师生参 加红色研学活动，七年级(2)班有 y名师生参加红色研学活动. 根据题意，得 x+y=62, 18x+20y=1170, (x=35, y=27. ∴.七年级(1)班有35名师生参加红 色研学活动，七年级(2)班有27名师 生参加红色研学活动， (2)方案一：各自购买门票需32× 18+27×20=1116(元)： 方案二：联合购买59张门票需(32+ 27)×18=1062(元)： 方案三：联合购买61张门票需61× 16=976(元)： .有3种购票方案： 方案一：各自购买门票； 方案二：联合购买59张门票： 方案三：联合购买61张门票， .1116>1062>976, ∴.联合购买61张门票最省钱. 8.(1)是“奇解方程组” x一y=3①， 理由：记 {3.x+y=17②， 由①+②，得4x=20,解得x=5. 将x=5代人①，得y=2. /x=5, 。方程组的解为 y=2. .x|+v=7=2×3+1. x-y=3, 是“奇解方程组” 3.x+y=17 x+y=2a-3①， (2)记 {x-2y=9-a②. 由①-②，得3y=3a-12,解得y= a-4. 将y=a-4代人①，得x=a十1. x=a+1, ∴.方程组的解为 {y=a-4. |x+y=2a-3, 二元一次方程组 x-2y=9-a 是“奇解方程组”， .x|+lyl=|a+1|+a-4|= 2n+1(n为整数). 易得a+1+a-4的最小值是5， ∴.x|+|y的最小值为5 第十一章不等式 与不等式组 11.1不等式 第1课时不等式及其解集 1.A2.C3.B 4.D 一方法归纳 判断一个数是否为不等式的 解的基本方法 判断一个数是否为不等式的 解，只需用这个数代替不等式中的 未知数，看能否使不等式成立，若 不等式成立，则该数是不等式的 解：若不等式不成立，则该数不是 不等式的解 5.5.x>46.< 7..120÷3=40(mg),120÷4= 30(mg),180÷3=60(mg),180÷4= 45(mg),304045<60, ∴.一次服用这种药的剂量在30mg 到60mg之间. 8.B9.A10.A11.不是 12.2<x<3或x=213.②④ 14.(1)当a,b为整数时，a=4, b=8. (2)当a,b为实数时，4<a5或a= 4,7<b<8或b=8. 15.(1)-a<x<a:x>a或x< (2)对于|x一4<2，x表示到数4对 应的点距离小于2的点对应的数. 从如图所示的数轴上看：大于2而小 于6的数对应的点到数4对应的点的 距离小于2， ∴.x一4<2的解集为2<x<6. (3)在数轴上找出|x一2+|x+ 3=8的解. 由绝对值的几何意义，知该方程的解 就是在数轴上到2和一3对应的点的 距离之和等于8的点对应的数. .1x-2|+|x+3=8的解为 x=-4.5或x=3.5. ∴.|x-2|+|x+3<8的解集为 -4.5<x<3.5. -10123456 (第15题) 第2课时不等式的性质 1.C2.D3.B4.不正确 5.(1)y>-1. (2).x-y=4, .x=y+4. ∴.S=x+y=y+4+y=2y+4. 由(1)，知y>一1， 又y<1, .-1<y1. .-2<2y<2. ∴.2<2y+46. .S的取值范围是2<S<6. 6.A7.B 8.B解析：：y1= 么+1=a+b, =+1=“，又：u+6=3, b y- ay=方.a+b=3, 3 ∴.a=3-b,b=3-a.又2a≥b十 3,∴.2a≥3-a+3,2(3-b)≥b+3. ∴.a≥2，b1..0< 1<1,1<0 a 3,3∠0或 或>≥1.0<8<号，名 a 名≥80≤号<0或为≥ 3 3 3..y有最大值，为2，y2没有 最值 9.-4≤y<5解析：由3.x十y=2, 得y=2一3.x,根据不等式的性质3， 将-1<x≤2同乘-3，得3> 一3x≥一6.根据不等式的性质1，将 3>一3x≥一6同时加2，得5>2 3x≥-4，即-4≤y<5. 10.≥解析：，x一3(x一2)≥4， .x1.2x+y-3=0,.x 3,1,y≥1，.A-B=2y十 34 1)x+3y-(2.x+1)y-3x=2y 2x=2(y-x).x≤1，y≥1， .A-B=2(y-x)≥0..A≥B. 11.一1解析：由题图，可知不等式 的解集是x≤1.a*b=a-2b,x* m≤3，∴.x-2m≤3.不等式两边同 时加2m,得x≤3+2m.∴.3+2m= 1,解得m=一1. 2x<专 解析：关于x的不 等式r-b>0的解集为x<弓， a<0,且<台台=吉 i a ∴.a=3b,且b<0.:(a+b)x>b @,.4hr>=2b.六x<-7 13.(1)2或-2. (2),x+y=8,且x>y, .易得x>4,y4. ∴.T(4,x)-T(4,y)=4+x-(4 y)=x+y=8. 14.(1)②③. (2)解不等式x+2m≥0，得x≥ -2m, 解不等式2x一3<x+m,得x< m+3. 关于x的不等式x+2m≥0与 2x一3<x十m不互为“友好不等式”， ∴.-2m≥m十3，解得m≤-1. .m的取值范围是m≤-1. (3)解不等式x十3≥u,得x≥u-3. 由a.x-1<a-x,得(a+1)x<a+1. a≠-1， .a十1≠0. ①当a+1>0,即a>-1时，x<1, 根据题意，得a-3<1,即a<4, .-1<a<4. ②当a+1<0,即a<-1时，x>1, 符合题意， ∴.a<-1. 综上所述，a的取值范围是a<一1 或-1<a<4. 15.0-8解析：.a十b+c=3, .a+b=3-c,a+c=3-b,b+c= 3-a.m=21c+41-al+ c-1 a-1拔尖特训·数学（人教版）七年级下 拍照批改 第十章整合拔尖 >“答案与解析”见P32 知识体系构建 二元一次方程组 二元一次方程 方程中含有两个未知数 含有未知数的项的次数是1 整式方程 二元一次方程组 方程组中含有两个未知数 含有未知数的项的次数是1 两个整式方程 二元一次方程的解。使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值 二元一次方程组的解。二元一次方程组的两个方程的公共解 二元一次方程组的解法 代入消元法 定义 步骤：变形→代入→求解→回代→写出解 次方程组 加减消元法 定义 步骤：变形→加减→求解→回代→写出解 列二元一次方程组 实际问题与 解应用题的一般步骤 审题 二元一次方程组 设元 根据等量关系列出方程组 解方程组，并检验所得的解是否符合题意 写出答案 常见问题类型 三元一次方程组 三元一次方程组 方程组含有三个未知数 含有未知数的项的次数是1 三个整式方程 解三元一次方程组的基本思路消元：化三元为二元，化二元为一元 S幻高频考点突破 考点一二元一次方程（组）的解 数a,b之一互换，得到的方程叫作“交换系数方 典例1(2024·宿迁)若关于x,y的二元一次 程”，例如：a.x十by=c的“交换系数方程”为 方程组ax十y=b, x=3, cx+by=a或ax+cy=b. 的解是 则关于x,y cx-y=d y=-2. (1)方程3x十2y=4与它的“交换系数方程”组 ax+2y=2a+b, 成的方程组的解为 的方程组 的解是 cx-2y=2c+d (2)已知关于x,y的二元一次方程ax十by=c [变式]定义：关于x,y的二元一次方程ax十 的系数满足a十b十c=0,且ax十by=c与它的 by=c(其中a≠b≠c)中的常数项c与未知数系 “交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于 82 第十章二元一次方程组 x,y的二元一次方程mx十ny=p的一个解，求说：“我比你多收集了5节废电池.”小芬说：“如 (m十n)m-p(n+p)+2023的值. 果你给我6节废电池，此时我的废电池数量就是 你的2倍.”如果他们说的都是真的，设小亮收集 了m节废电池，小芬收集了n节废电池，那么根 据题意可列方程组为 () m-n=5, m-n=5, A. B. 2(m-6)=n+6 m-6=2(n+6) 考点二解含字母系数的二元一次方程组 m-n=5, m-n=5, C D. 典例2若关于x,y的二元一次方程组 2(m-6)=n m+6=2(n-6) mx [变式](2025·江西)某文物考古研究院用1：1 +ny=4, x-y=1, 2 与方程组 有相同的解。 复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验.用复原的 x+y=3 mx- 一1 青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料 3 求m,n的值. 与出酒率出酒率= 出酒量×100%如下表： 糟醅量 类别 原材料 出酒率 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大 粮食酒 30% 曲和蒸馏水) 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% [变式]已知关于x,y的二元一次方程组 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共 2a.x+y=5①， 16千克；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头 x-by=2②. 酒共36千克，且所用的粮食糟醅量是第一次的 (1)若a=1,请写出方程①的所有正整数解. 2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍. (2)甲由于看错了方程①中的a得到方程组的 (1)求第一次实验分别用了多少千克粮食糟醅 x=-2, 和芋头糟醅 解为 乙由于看错了方程②中的b得到方 y=1. (2)受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的 出酒量约为现代复原品的80%.若粮食糟醅中 程组的解为 求a,b的值及原方程组的解. y=3. 大米占比约为，则在古代要想蒸馏出这两次实 验得到的粮食酒总量，需要准备多少千克大米？ 考点三二元一次方程组的应用 典例3新情境·环保意识(2025·贵港平南期末) 小亮和小芬积极参与“践行垃圾分类·助力双 碳目标”的活动，一起收集了一些废电池，小亮 83 拔尖特训·数学（人教版）七年级下 综合素能提升 1.新考向·数学文化《九章算术》中的算筹图是 ax-y=1, 都无解？ 竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如 3x-2y=b-5 图①②所示，图中各行从左到右列出的算筹 数分别表示未知数x,y的系数与相应的常 数项.把图①中的算筹图用我们现在所熟悉 |3.x+2y=19, 的方程组形式表示出来，就是 在 x+4y=23, 图②中的算筹图中有一个图形被墨水覆盖 了，若图②所表示的方程组中x的值为3，则 被墨水覆盖的图形为 (a-1)+2(b+2)=2, 6.小明在解方程组 时 2(a-1)+(b+2)=-2 ① ② 发现，若设a一1=x,b十2=y,则方程组可变 (第1题) x+2y=2, x=-2, A. B.I C.川 D.III 为 解此方程组，得 2x+y=-2, y=2, 即 2.(2024·南通崇川期末)已知关于x, a-1=-2, a=-1, a.x+2(a-1)y=a, 解得 y的方程组 有 b+2=2, b=0. 2x+2y=3. 答案讲解 (1)请你模仿上述方法解方程组： 下列说法：①一定有唯一解；②可能有无数 个解；③当a=2时，方程组无解；④若方程 怡-1+2+2-4 组的一个解中y的值为0，则a=0.其中，正 怡-+（怡+2-5. 确的个数为 ax+biy=c1, A.0 B.1 C.2 D.3 (2)已知关于x,y的方程组 a2x十b2y=c2 x+y=3, 3.若关于x,y的方程组 与 mx+5y=ny x=3, 请写出关于m,n的方程组 (m-n)x=8-y 的解是，， x-y=1 的解相同，则7m一 5a1(m+3)+3b1n一2)=c1'的解. 的值为 5a2(m+3)+3b2(n-2)=c2 4.对于两个实数x,y,定义运算“￥”，使得x* y=xy十qx十ry(p,q,r是常数).对于任 意的实数x,存在实数e使xe=x,又1 2=5,2*3=4,这时p十q+r+e= 5.当a,b满足什么条件时，关于x的方程 (2b-18)x=3与关于x,y的方程组 84 第十章二元一次方程组 7.(2025·遵义仁怀期末)为加强对学 8.若关于x,y的二元一次方程组的解满足 生的爱国主义教育，某校组织七年 |x|+|y|=2n+1(n为整数)，则称该二元 级(1)班和七年级(2)班的学生到娄答案讲解 x+y=5, 一次方程组为“奇解方程组”，比如 山关景区进行红色研学活动.两个班级的师 x-y=1 生共62人，其中七年级(1)班师生人数多于 x=3, 的解为 满足|3|+2=5=2×2+1， 七年级(2)班师生人数，且七年级(1)班师生 y=2. 人数不足40.据了解，娄山关景区针对师生 x+y=5, 则二元一次方程组 就是“奇解方 的门票价格如下表所示： x-y=1 门票/张 130 31~60 61及以上 程组” 单价/元 20 18 16 (1)试判断 x一y=3, 是否为“奇解方程 已知若两个班分别单独购买门票，则一共应 3x+y=17 付1170元 组”，并说明理由 (1)七年级(1)班、(2)班各有多少名师生参 (2)若关于x,y的二元一次方程组 加红色研学活动？ x+y=2a-3, 是“奇解方程组”，求x|十 (2)七年级(1)班有3名学生临时因故不能 x-2y=9-a 参加此次活动，那么他们有哪几种购票方案？ y的最小值， 哪种方案最省钱？ 85