10.4 三元一次方程组的解法-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（人教版）

拔尖特训·数学（人教版）七年级下 *10.4三元一 自基础进阶 1.下列方程组中，属于三元一次方程组的是 x+y=0, xy=2, A.y+x=1, B.y十x=5, x+w=5 z十w=9 3x+4z=7, íx2-2y=0, C. 2x+3y=9-之，D.y+x=3, 5x-9y+7x=8 x+y+z=1 2.(2025·金华东阳期末)某校七年级有3个 班，已知(1)班、(2)班的平均人数与(3)班人 数之和为45，(2)班、(3)班的平均人数与 (1)班人数之和为48，(1)班、(3)班的平均人 数与(2)班人数之和为47，则三个班的总人 数为 A.68B.70 C.72D.74 x+y+之=111， 3.三元一次方程组y:x=3:2,的解为 y:x=5:4 4.*在等式y=ax2十bx十c中，当x=1时， y=0;当x=一1时，y=-2;当x=2时， y=7.求： (1)a,b,c的值 (2)当x=一3时，y的值. 80 拍照批改 次方程组的解法 “答案与解析”见P31 幻素能攀升 x-by+4x=1, 5.若关于x,y,之的方程组 的 x-2by+3x=3 x-a, 解是y=1,则a+b+6c的值是 ( 之=C, A.-3B.0 C.3 D.6 6.数形结合思想在边长为1的小正方形组成的 方格纸中，称小正方形的顶点为格点，顶点全 在格点上的多边形为格点多边形.格点多边 形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边 界上的格点数记为L,例如：如图，三角形 ABC是格点三角形，其中S=2,N=0,L= 6;格点多边形DEFGHI中S=7,N=3, L=10.经探究发现，任意格点多边形的面积 S可表示为S=aN十bL十c,其中a,b,c为常 数，则当N=82,L=38时，S的值为() B (第6题) A.44 B.43C.100D.99 7.某商店将巧克力包装成甲、乙两种礼盒出售， 且每盒甲种礼盒的价钱相同，每盒乙种礼盒 的价钱也相同，小丁原先想购买2盒甲种礼 盒和5盒乙种礼盒，但他身上的钱还差3元， 改成购买5盒甲种礼盒和2盒乙种礼盒，他 身上的钱会剩下3元.若小丁最后购买了 7盒甲种礼盒，则他身上的钱剩下() A.1元B.3元C.5元D.7元 8.若x,y,之满足V元一2一之+(3.x-6y-7)2十 13y+3x-4=0,则x= ’y= 9.(2024·南京秦淮二模)化学方程式 等号两边的同种原子的个数是相等 的，例如：乙烷充分燃烧的化学方程答案讲解 式为2C2H+7O2=4CO2+6H2O,其中， 等号左边“0”原子的个数是7×2=14，右边 “O”原子的个数也是4×2+6×1=14.若正 己烷充分燃烧的化学方程式为aCsH4十 19O2=bCO2+cH2O(a,b,c为常数)，则 b的值是 10.(2025·绵阳梓潼期末)【阅读理解】求某些 代数式的值时，可以用整体求值的方法，化 难为易： 3x+2y+之=4①， 例：已知 求2x+y+之 7x+4y+3x=10②， 的值. 解：②-①，得4x+2y+2z=6③. ③×2，得2x+y十=3 .2x十y十之的值为3. x+2y+3z=10, 【类比迁移】(1)已知 求 5x+6y+7x=26, 3.x+4y+5z的值 【实际应用】(2)某班级班委准备把本学期 卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店 的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、 1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、 5支签字笔、3支记号笔需要66元.本班共 45名同学，则购买45本笔记本、45支签字 笔、45支记号笔需要多少元？ 第十章二元一次方程组 思维拓展 1.为丰富同学们的校园生活，学校在 七年级开展了丰富多彩的社团活 动，某老师对参加音乐社、街舞社、答案讲解 动漫社的同学都准备了A,B两种礼品，初 步预算，三个社团各需两种礼品的件数和之 比为1：1：2，需A礼品的件数之比为3： 5：8,并且音乐社和街舞社需B礼品的件数 之比为3：2.实际购买时，A礼品的单价比 预算低20%，B礼品的单价比预算高20%， A礼品购买件数减少了3.125%，结果发现 总费用与预算相等，求实际购买A礼品的 总费用与实际购买B礼品的总费用的比值 81得a4, b=3. 4.设加工竖式纸箱x个，加工横式纸 箱y个 根据题意，得 /x+2y=1000, (4x+3y=2000, x=200 解得 {y=400. ∴.加工竖式纸箱200个，加工横式纸 箱400个，恰好能将购进的纸板全部 用完 5.A 6.28解析：设这个旅行团有x名游 客单程搭乘缆车，单程步行，去程及回 程均搭乘缆车的有y名游客.根据题 200x+300y=7200, 意，得 解得 (26-y)+(18-y)=x, x=12, ∴.x+y=12+16=28,即这 y=16. 个旅行团一共有28名游客. 7.(1)依题意，得 1.5(20.x+10y)=15000, 1.2(110x+120y)=97200, {x=300, 解得 y=400. ..8000×300-400×1000一15000- 97200=1.8878×10(元). .这批产品的销售款比原料费和运 输费的和多1.8878×10元. (2)设原计划从A地购买的原料为 m吨，则送往B地的产品为(20-m)吨 根据题意，得 5c+m=3(c+20-m), sm(+20-m一1m(gcm）-6m 解得10， m=17. .c的值为10. 8.D 9.(1)设每辆A型货车、B型货车都 载满货物一次可分别运x吨、y吨. 根据题意，得 /2.x+y=10, x+2y=11, x=3, 解得 y=4. '.1辆A型货车载满货物一次可运 3吨，1辆B型货车载满货物一次可运 4吨， (2)由(1)，得3a+4b=31, a=3-46 3 a,b都是正整数， .当a=1时，b=7; 当a=5时，b=4; 当a=9时，b=1. .有3种租车方案 方案一：A型货车1辆，B型货车 7辆： 方案二：A型货车5辆，B型货车 4辆： 方案三：A型货车9辆，B型货车 1辆， (3)·A型货车每辆需租金100元/ 次，B型货车每辆需租金120元/次， ∴.方案一需租金：1×100+7×120= 940(元)： 方案二需租金：5×100+4×120= 980(元)： 方案三需租金：9×100+1×120= 1020(元). .1020>980>940, .最省钱的租车方案是方案一，租车 费用是940元. ∴.租A型货车1辆，B型货车7辆最 省钱，最少租车费为940元. *10.4三元一次方程组的 解法 x=30, 1.C2.B3.y=45, =36 4.(1)根据题意，得 a+b+c=0①， a-b+c=-2②， 4a+2b+c=7③. 由①十②，得a+c=-1④. 由③+②×2，得2a十c=1⑤. 由⑤-④，得a=2. 把a=2代人④，得2+c=一1，解得 c=-3. 把a=2,c=-3代人①，得2+b一 3=0,解得b=1. 31 .a,b,c的值分别为2,1，-3. (2)由(1)，得y=2.x2+x-3. 把x=-3代人，得y=2×(-3)2 3-3=12,即y的值为12. 方法归纳 运用消元法解三元一次 方程组的注意点 1.确定消去哪个未知数时，要 从整体考虑，一般选择消去后可以 使计算量相对较小的未知数 2.消去的未知数一定是同一 未知数，否则就达不到消元的 目的. 5.A解析：，方程组 {x=a, x-by+4x=1, 的解是 x-2by+32=3 y=1, 2=C, a-b+4c=1①， 由①-②，得 a-2b+3c=3②. b十c=一2，.b=一2一c.把b= -2-c代入①，得a-(-2-c)十 4c=1,.a+5c=-1.∴.a+b+ 6c=a+5c+b+c=-1-2=-3. 6.C解析：连接FI.由题意，得四边 形FGHI是格点四边形，S=4,N= 1,L=8,任意格点多边形的面积S= aN+bL十c.由题图中的格点三角形 ABC、格点多边形DEFGHI、格点四边 6b+c=2, 形FGHI,得3a+10b十c=7,解得 a+8b+c=4, a=1, b=7,S=N+2-1.将N 1 c=-1. 82,L=38代人，得S=82+2×38 1=100. 7.D解析：设每盒甲种礼盒的价钱 为x元，每盒乙种礼盒的价钱为 y元，小丁身上有之元.由题意，得 |2.x+5y=之+3①， 由（①+②）÷2， 5.x+2y=z-3②. 得=子x+y)③.由(0-②)÷3， 得y-x=2..y=x十2④.将④代 人③，得=名十x十2以. 7x=7..若小丁最后购买了7盒甲 种礼盒，则他身上的钱剩下7元. 83 1 9.12解析：由题意，知 19×2=2b+c, fa=2, 14a=2c, 解得b=12,∴.b的 6a=b, c=14. 值是12. x+2y+3z=10①， 10.(1)记 5.x+6y+7g=26② ①+②，得6.x+8y+10x=36③. ⑧×2，得3x+4y+5=18. .3x+4y+5z的值为18. (2)设购买1本笔记本需要a元，1支 签字笔需要b元，1支记号笔需要 c元 (3a+2b+c=28①， 由题意，得 (7a+5b+3c=66②， ②-①×2，得a+b+c=10③. ③×45，得45a+45b+45c=450. .购买45本笔记本、45支签字笔、 45支记号笔需要450元. 11.设音乐社、街舞社、动漫社需A礼 品的件数依次为3x,5.x,8x,音乐社 需B礼品的件数为3y,街舞社需B礼 品的件数为2y,动漫社需B礼品的件 数为之. ,三个社团各需两种礼品的件数和 之比为1：1：2， (3.x+3y=5.x+2y, 8x+之=2(3x+3y). y=2.x, {z=10x .3y=6x,2y=4x. .A礼品的件数为16x,B礼品的件 数为6.x+4x+10x=20x. 设A礼品的预算单价为a元，B礼品 的预算单价为b元. 由题意，得[16.x·(1-3.125%门· a·(1-20%)]+20x·[b·(1+ 20%)]=16.xa+20xb. 化简，得12.4a.x+24bx=16a.x+ 20bx. .10b=9a 设b=9k,则a=10k. :1,4a2_12.4X10k_3到 24bx 24×9k541 '.实际购买A礼品的总费用与实际 购买B礼品的总费用的比值为号 第十章整合拔尖 [高频考点突破] x=5, 典例1 解析：将方程组 y=-1 ax+2y=2a+b, 整理得 cx-2y=2c+d, a(x-2)+2y=b,:关于x,y的二 (c(x-2)-2y=d. ax+y=b, 元一次方程组 的解是 cx-y=d x=3, .x-2=3,2y=-2,解得 y=-2, x=5,y=一1.∴.关于x,y的方程组 ax+2y=2a+b, x=5, 的解是 cx-2y=2c+d y=-1. x=-1,,{x=2, [变式](1)7或 y=2 y=-1. (2)由题意，得方程a.x十by=c与它 的“交换系数方程”组成的方程组为 ⊙ ax十by=c, ax+by=c; 或② Acx+by=a ax+cy=b. x=-1, 方程组①的解为 _a+c当a十 b b十c=0时，方程组①的解为 x=-1, y=-1. b+c 方程组②的解为 a ’当a十 y=-1. b十c=0时，方程组②的解为 x=-1, y=-1. ∴.方程ax十by=c与它的“交换系数 x=一1， 方程”组成的方程组的解为 y=-1. 32 将-1， 代人mx+y=p,得 (y=-1 -(m+n)=p. ∴.m十n=一p. ∴.(m+n)m-p(n+p)+2023= -pmm-pm-p2+2023=-p(m+ n)-p2+2023=(-p)2-p2+ 2023=2023. 典例2解方程组 x-y=1得 x+y=3, x=2, y=1. x=2, 受+y=4 把 代人方程组 y=1 y1， 3 m+n=4, 得 1 2m-3n=1, (m+n=4①， 整理，得 {6m-n=3②， 由①+②，得7m=7,解得m=1. 把m=1代入①，得1+n=4,解得 n=3. ∴.m的值为1，n的值为3. [变式](1)将a=1代人方程①，得 2x+y=5. x,y都是正整数， .当x=1时，y=3;当x=2时， y=1. .当a=1时，方程①的所有正整数 {x=1,x=2, 解为 y=3,y=1. (2)将 z=一2代入②，得-2-b= (y=1 2,解得b=一4. 将1代人①得2a十3=5，解得 y=3 a=1. 2x+y=5①， 原方程组为 x+4y=2②. 由0×4-@，得7红=18，解得r-9 由②×2-①，得7y=-1,解得y=