第7章 专题特训2 “相交线与平行线”中的数学思想-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（人教版）

CG平分∠DCE,∴.设∠ABF= ∠FBE=∠ABE=,∠BG= ∠DcG=2∠DCE=y.由1)，可知 ∠ABE+∠DCE-∠BEC=180°， ∴.2x+2y-∠BEC=180°，即2(x+ y)-∠BEC=180°.由①，易知 ∠BFC=∠ABF+∠TDCG,∴.∠BFC= x+y.∠BFC-∠BEC=74°， ∴.x+y-∠BEC=74°，即x+y= 74°+∠BEC.∴.2(74°+∠BEC) ∠BEC=180°，解得∠BE℃=32° A ☑B ① 习B F C G ② (第9题) 专题特训二 “相交线 与平行线”中的数学思想 1.D 一易错警示 忽视分类讨论致错 当几何题条件中没给出图形 时，注意把满足题意的情形找全 2.(1)由题意，得∠EBF=90°， ∠E=45°，∠ABC=60°， EF//CD, ∴.∠CDE=∠E=45 ∴.∠ABE=∠ABC-∠CDE= 60°-45°=15. .∠ABF=∠EBF-∠ABE= 90°-15°=75 (2)如图①，当DE∥BC时，延长AC 交MN于点P,分两种情况： ①当DE在MN上方时， :DE∥BC,∠EDF=∠ACB=90°， .DE⊥DF,AC⊥BC ∴.易得AP∥DF .'.∠FDM=∠MPA GH//MN, ∴.∠MPA=∠HAC. '.∠FDM=∠HAC. 由题意，得∠FDM=(2t)°，∠HAC 30°， ,.(2t)°=30 .t=15. ②当DE在MN下方时，由题意，得 ∠F'DP=(21)°-180°， DE∥BC,DE⊥DF',AC⊥BC, ∴.易得APDF' ∴.∠F'DP=∠MPA. GH//MN, '.∠MPA=∠HAC. ∴.∠F'DP=∠HAC,即(2t)°- 180°=30 .t=105. 如图②，当BC∥DF时，延长BC交 MN于点T,分两种情况： ①当DF在MN上方时，根据题意， 得∠FDN=180°-(2t)°， BC//DF, ∴.∠FDN=∠BTN. .GHMN、 .∠BTN=∠ABC=60 .∠FDN=60°，即180°-(21)°=60. .t=60. ②当DF在MN下方时，根据题意， 得∠F'DN=(21)°-180°， DE'//BC, ∴.∠F'DN=∠BTM. GH//MN, .'.∠BTM=180°-∠ABC=120°. .∠F'DN=120°，即(2t)°-180°= 120. .t=150. 综上所述，所有满足条件的t的值为 15或60或105或150. (3)所有满足条件的a的值为30或 120.解析：由题意，得∠HAC= ∠BAH+∠BAC=a°+30°.如图③， 当DE∥BC时，延长AC交MN于 点K,分两种情况：①当DE在MN 10 上方时，∠FDM=2a°，.DE∥BC, DE⊥DF,AC⊥BC,∴.易得AK∥DF. ∴.∠FDM=∠MKA.GH∥MN, ∴.∠MKA=∠HAC.∴.∠FDM= ∠HAC,即2a°=a°+30..a=30. ②当DE在MN下方时，由题意，得 ∠F'DK=2a°-180°，DE∥BC, DE⊥DF',AC⊥BC,.易得AK∥ DF.∴.∠F'DK=∠MKA.GH∥ MN,∴.∠MIKA=∠HAC.∴.∠FDK= ∠HAC,即2a°-180°=a°+30° ∴.a=210(不符合题意，舍去).如图 ④，当DF在MN上方，BC∥DF时， 延长AC交MN于点I,根据题意，得 ∠FDN=180°-2a°，GH∥MN, ∴.∠MIC=∠HAC=∠BAH+ ∠BAC=a°+30°.：DF∥BC,AC⊥ BC,.CI⊥DF.∴.∠FDN+ ∠MIC=90°，即180°-2a°+a°+ 30°=90°.∴.a=120.此时2a°= 240>180°，DF应该在MN下方，不 符合题意，舍去.如图⑤，当DF在 MN下方时，直线CB与GH,MN分 别交于点Q,L,根据题意，可知 ∠FDN=2a°-180°，∠QAC= 180°-30°-a°=150°-a°， .∠AQL=180°-90°-(150° a)=a°-60°.DF∥BC,.易得 ∠MIC=∠FDN..QH∥MN, ∴.∠AQL=∠MC..∠FDN= ∠AQL,即2a°-180°=a°-60°. ∴.a=120.综上所述，所有满足条件 的a的值为30或120. A B一H 4 G MED ⑤ (第2题) 3.B解析：如图，ME平分 ∠AMF,NF平分∠CNE,∴.设 ∠1=∠2=x,∠3=∠4=y .∠AMF=2∠1=2x,∠CNE= 2∠4=2y.过点E作EG∥AB,交MF 于点G.∴.∠1=∠MEG.:AB∥ CD,∴.EG∥CD.∴.∠GEN= ∠CNE.:∠MEN=∠MEG+ ∠GEN,∴.∠MEN=∠1+ ∠CNE=x+2y.同理，可得∠F= ∠AMF+∠4=2.x+y.·'∠MEN+ 54°=2∠F,.x+2y+54°=2(2x十 y)..x=18.∠AMF=2z=36. B E (第3题) 4.(1)过点M向左作MQ∥AB. AB//CD, ∴.AB//MQ//CD. ∴.∠AMQ=∠A,∠CMQ=∠C. .'.∠AMC=∠AMQ+∠CMQ= ∠A+∠C,即∠AMC=∠A+∠C. (2)在三角形MGE中，∠EGM+ ∠MEG+∠GME=180°， ,∠EGM+∠AGE=180°， '.∠GME+∠MEG=∠AGE. .∠MAC+∠MEG=∠AGE ∴.∠GME=∠MAC. ∴.AC∥EF. (3),AN平分∠MAC,∠CAN= 25°， ∴.∠MAC=2∠CAN=50. 设∠MEG=x. ∴.∠MGE=2∠CAN+3∠MEG= 50°+3.x. .∠AGE=180°-∠MGE=180° (50°+3.x)=130°-3.x. :在(2)的条件下，∠AGE= ∠MAC+∠MEG=50°+x, ∴.50°+x=130°-3x,解得x=20°. ∴.∠MEG=20° 设∠MFN=y. ,FN平分∠MFC, ∴.∠MFC=2∠MFN=2y. AB//CD, ∴.∠AEF=∠MFC=2y. ∴.∠AEG=∠AEF-∠MEG= 2y-20°. ∴.∠ANF=∠AEG=2y-20°. .AC∥EF, ∴.易得∠ANF=∠CAN+∠MFN= 25°+y,即2y-20°=25°+y,解得 y=45. ∴.∠MFC=2y=90°. 5.B解析：如图，过点P作PG∥ AB,∠BEP=∠EPG=1∠BEF. .ABCD,.CDPG.∴.∠DFP ∠FPG=L∠DFE.:AB∥CD, ∴.∠BEF+∠DFE=18O..∠EPF= ∠EPG+∠FPG= 1 ∠BEF十 ∠DPE=(∠BEF+∠DFE)= n 180° E B F D (第5题) 6.(1).ABCD, 11 ∴.∠BMN=-∠CNM. 直线1FG, ∴.∠FGC=∠CNM. ∴.∠BMN=∠FGC. (2)如图①，过点F作FH∥AB. AB∥CD, '.ABCD∥FH ∴.∠MEF=∠EFH,∠FGC= ∠GFH. 由(1)，知∠BMN=∠FGC, .∠BMN=∠GFH. ∴.∠EFG=∠GFH+∠EFH= ∠BMN+∠MEF. (3),ER平分∠FEB,GR平分 ∠FGD, ∴.设∠BER=∠FER=x,∠FGR= ∠DGR=y. 如图②，过点F作FT∥AB,过点R 作RS∥AB. AB//CD, .AB//CD//FT//RS. .∠ERS=∠BER=x,∠GRS= ∠DGR=y. ∴.∠ERG=x+y,∠1=∠FGH= 180°-2y,∠AEF=180°-2x. 由题意，得∠HFG=90°， ∴.∠2=90°-∠1=90°-(180° 2y)=2y-90°. ∴.∠FHD=∠2=2y-90°. ,∠FHD-∠AEF=30°， ∴.2y-90°-(180°-2.x)=30. ..2x+2y=300° ∴.x+y=150°. .∠ERG=x+y=150. 1 ·∠HMN=6∠ERG=25. A\M C B ① H ② (第6题)拔尖特训·数学（人教版）七年级下 专题特训一平行线 类型一“铅笔头”模型 1.(2024·南充期末)如图，AB∥CD,点E,F 分别在AB,CD上，点M在两条平行线之 间，∠AEM与∠CFM的平分线交于点N. 若∠EMF=n°，则∠ENF的度数为() A180-2P B.(2n)° D.(180-2m)° D C D (第1题) (第2题) 2.(2024·杭州萧山期中)如图，AB∥ CD,PG平分∠FPE,∠CFP+ ∠FPH=180°.有下列结论：①CD∥答案讲解 PH;②∠BEP+∠DFP=2∠EPG; ③∠FPH=∠GPH;④∠A+∠AGP+ ∠DFP-∠FPG=180°；⑤若∠BEP> ∠DFP,则∠BEP∠DFP ∠GPH =2.其中，正确 的结论是 (填序号)」 3.(2025·平顶山汝州期末)(1)如图 ①，AB∥CD,∠PAB=130°， ∠PCD=120°.求∠APC的度数.答案讲解 (2)如图②，ADBC,点P在射线OM上运 动，当点P在A,B两点之间运动时， ∠ADP=∠a,∠BCP=∠R.∠CPD,∠a, ∠3之间有何数量关系？请说明理由， Q (第3题) 20 照批改 中的“拐点”问题“答案与解析见s (3)在(2)的条件下，当点P在A,B两点外 侧运动时（点P与A,B,O三点不重合），请 你写出∠CPD,∠α，∠3之间的数量关系 类型二“锯齿拐点”模型 4.*如图，若AB∥CD,用含有∠1，∠2，∠3的 式子表示∠a,则∠a应为 ( ) A.∠1+∠2+∠3 B.∠2+∠3-∠1 C.180°+∠1+∠2-∠3 D.180°+∠2-∠1-∠3 EB B A E a M<G 29G →H 3 o D (第4题) (第5题) 5.(2024·宁波慈溪期中)如图，AB/CD,点E, F分别在AB,CD上，点G,H在AB,CD之 间，∠AEG与∠FHG的平分线交于点M.若 ∠EGH=84°，∠HFD=20°，则∠M的度数 为 类型三“脚掌”模型 6.小红观察“抖空竹”时发现，可E 以将某一时刻的情形抽象成数 学问题：如图，ABCD,∠A= 80°，∠DCE=120°，则∠E的 (第6题) 度数是 类型四“飞鹤”模型 7.如图，AB∥CD∥EF,则下列等式中，正确 的是 A.∠1+∠2+∠3=180° B.∠1+∠2=180°+∠3 C.∠1+∠3=180°+∠2 D.∠2+∠3=180°+∠1 (第7题) 类型五“蛇”模型 8.(2024·武汉期末)【猜想】如图①， AB∥CD,点E在直线AB,CD之 间，连接BE,ED,若∠B=25°，答案讲解 ∠D=40°，则∠BED的度数为 【探究】如图②，ABCD,BE,CE交于点E, 探究∠B,∠BEC,∠C(均为小于180°的角)》 之间的数量关系，并说明理由， 【拓展】如图③，AB//CD//EK,∠ABE的平 分线BF与∠ECD的平分线CG的反向延长 线交于点F,且∠BFC-2∠BEC=57°，求 ∠BEC的度数， (第8题) 第七章相交线与平行线 9.已知ABCD (1)如图①，求证：∠ABE+∠DCE一 ∠BEC=180°. 答案讲解 (2)如图②，∠DCE的平分线CG的反向延 长线交∠ABE的平分线BF于点F ①若BF∥CE,∠BEC=26°，求∠BFC的 度数 ②若∠BFC一∠BEC=74°，则∠BEC= (第9题 2四