第7章 专题特训1 平行线中的“拐点”问题-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（人教版）

拔尖特训·数学（人教版）七年级下 7.44 自基础进阶 1.新考向·传统文化(2025·宿迁宿豫期末)窗 棂是我国传统木构建筑的框架结构设计.下 列窗棂图案中，可以看作由一个“基本图案” 经过平移得到的是 A B. D. 2.(2025·上海嘉定期末)如图，甲、乙两只蚂蚁 觅食后，都想早点回蚁洞向蚁后汇报成绩，它 们同时经过点A处向洞口O处爬，甲爬行的 路线为过点A,B,C,D,E,F,G,H,O的折 线，乙爬行的路线为折线A-M-O,图中线段 分别平行，如果它们爬行的速度相等，那么 回到洞中（填“甲先”“乙先”或“甲、 乙同时”). BA C M (第2题) 3.(2025·重庆沙坪坝期末)如图，将三角形 ABC沿BC方向平移4cm得到三角形 DEF,连接AD.若BF=7CE,则BC的长为 cm. (第3题) 18 拍照批改 移 》“答案与解析”见P7 4.如图，∠3=75°，将直线m平移后得到直线 n.若∠1=25°，求∠2的度数. (第4题) 幻素能攀升 5.如图，在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB= 6,AC=8,BC=10,将三角形ABC沿直线 BC向右平移3个单位长度得到三角形 DEF,连接AD,则下列结论中，不正确的是 () A.AC//DF B.AC=CE C.ED⊥AC D.四边形ABFD的周长为30 D B E C -d (第5题) (第6题) 6.(2024·娄底期末)如图，某公园形 如长方形ABCD,长为a,宽为b. 该公园中有3条宽均为c的小路，答案讲解 其余部分均种上小草，则该公园种草部分的 面积为 () A.ab-bc-ac B.ab-2bc-ac C.ab-ac-2bc+c2 D.ab-ac-2bc+2c2 7.把边长为1的正方形按如图所示的方式拼成 各种图形.如果这个图形有5层，那么它的周 长是 A.10 B.20 C.24 D.30 D B E (第7题) (第8题) 8.如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一 个沿BC方向平移到三角形DEF的位置， AB=10,DH=4,BC=15,平移距离为6，则 阴影部分的面积为 9.如图，AB=4cm,BC=5cm,AC= 2cm,将三角形ABC沿BC方向平移 acm(0<a<5),得到三角形DEF,答案讲解 连接AD,则涂色部分的周长为 cm. (第9题)》 10.(2025·济宁期末)如图，三角形ABC的面 积为16，BC=8.现将三角形ABC沿直线 BC向右平移a个单位长度到三角形DEF 的位置，连接AE,AD. (1)当三角形ABC所扫过的面积为32时， 求a的值 (2)当AB=5,a=5时，试判断三角形 ADE的形状，并说明理由. (第10题) 第七章相交线与平行线 的思维拓展 1.(1)如图①所示的阴影部分是由线段AB 向右平移1个单位长度得到的，如图②所示 的阴影部分是由折线A-C-B向右平移1个 单位长度得到的，请在如图③所示的长方形 中画出由一条有两个折点的折线向右平移 1个单位长度得到的图形（涂阴影）. (2)若图①②③中长方形的长为a,宽为b, 请分别写出图①②③中除去阴影部分后剩 下部分的面积， (3)新情境·现实生活如图④，一块长40m、 宽10m的长方形菜地上有一条弯曲的小 路，小路的宽度为1m,求这块菜地的面积. AA. AA BB BB ② (第11题) 19Sm=子×(AD+BF)X AH=2(a+a+8)X4=32, 解得a=4. (2)三角形ADE为等腰三角形. 理由：根据平移的性质，可知DE= AB=5, 又：AD=a=5, .AD=DE. ∴.三角形ADE为等腰三角形. B HE C (第10题) 11.(1)答案不唯一，如图所示 (2)设三个图中除去阴影部分后剩下 部分的面积分别为S1,S2,S3,则 S=ab-b,S2=ab-b,S=ab-b. (3)由(2)，可知这块菜地的面积为 40×10-10×1=390(m2) A A BB (第11题) 专题特训一平行线 中的“拐点”问题 1.A解析：如图，过点M作MG∥ AB,∴.∠1=∠EMG.AB∥CD, ∴.CD∥MG.∴.∠2=∠FMG. ,'∠EMF=∠EMG+∠FMG, ∴.∠EMF=∠1+∠2=n°.同理，可 得∠ENF=∠3+∠4.：EN平分 ∠AEM,FN平分∠CFM,∴.∠3= 2 ,∠AEM,∠4=2 ∠CFM,. :∠ENF=7∠ABM+∠CFM= 2a80-1+1380-∠2) 2[60-(∠1+∠2]=号(360 n-(180-7 A N G--->M 4△2 (第1题) 2.①②④⑤解析：：∠CFP+ ∠FPH=180°，∴.CD∥PH.故①正 确.AB∥CD,.AB∥CD∥PH '.∠BEP=∠EPH,∠DFP=∠FPH ∴.∠BEP+∠DFP=∠EPH+ ∠FPH=∠EPF.又：PG平分 ∠EPF,∴.∠EPF=2∠EPG. '.∠BEP+∠DFP=2∠EPG.故② 正确.由题意无法得出∠FPH= ∠GPH.故③错误..∠AGP= 180°-/HGP=180°-(180° ∠GPH-∠PHG)=∠GPH+ ∠PHG,∠DFP=∠FPH,∠FPH+ ∠GPH=∠FPG,∠FPG=∠EPG, ∴.∠A+∠AGP+∠DFP ∠FPG=∠A+∠GPH+∠PHG+ ∠FPH-∠FPG=∠A+∠FPG+ ∠PHG-∠FPG=∠A+∠PHG. AB∥PH,∴.∠A+∠PHG= 180°，即∠A+∠AGP+∠DFP ∠FPG=180°.故④正确.，∠BEP- ∠DFP=∠EPH-∠FPH= (∠EPG+∠GPH)-∠FPH= ∠FPG+∠GPH-∠FPH= ∠GPH+∠GPH=2∠GPH, ∠BEP-∠DFP ∠GPH =2.故⑤正确。 综上所述，正确的结论是①②④⑤. 3.(1)如图①，过点P作PH∥AB. ∴.∠BAP+∠APH=180° ∴.∠APH=180°-∠BAP=180° 130°=50°. ABCD,PH∥AB, .CD∥PH. ∴.∠PCD+∠HPC=180°. ∴.∠HPC=180-∠PCD=180°- 120°=60」 ∴.∠APC=∠HPC+∠APH= 60°+50°=110°. (2)∠CDP=∠a+∠3. 理由：如图②，过点P作EF∥AD. ∴.∠ADP=∠DPF,即∠a= ∠DPF EF∥AD,AD∥BC, '.EF∥BC. ∴.∠FPC=∠PCB,即∠FPC= 8 ∠B. ∴.∠CPD=∠DPF+∠CPF= ∠a+∠3. (3)①当点P在点A的左侧时，如图③. 过点P作PE∥AD交ON于点E,则 PE∥ADBC. ∴.∠EPC=∠BCP=∠B,∠EPD= ∠ADP=∠a. ∴.∠CPD=∠EPC-∠EPD= ∠B-∠a. ②当点P在点B的右侧时，如图④. 过点P作PE∥AD交ON于点E,则 PEBC∥AD. ∴.∠DPE=∠ADP=∠a,∠CPE= ∠BCP=∠R. .∠CPD=∠DPE-∠CPE= ∠a-∠3. 综上所述，∠CPD,∠a,∠3之间的数 量关系是∠CPD=∠3-∠a或 ∠CPD=∠a-∠B. ③ P /CEo (④ (第3题) 4.D解析：如图，过点E作EF∥ AB,过点G作HG∥CD.:AB∥ CD,EF∥AB,HG∥CD,.AB∥ CD∥HG∥EF.∴.∠1+∠BEF= 180°，∠FEG=∠EGH,∠HGC ∠3.∴.∠BEF=180°-∠1， ∠FEG=∠EGH=∠2-∠3. ∴.∠a=∠BEF+∠FEG=180° ∠1+（∠2-∠3）=180°+∠2 ∠1-∠3. A E 1----f H--89G 人3 C (第4题) 方法归纳 “锯齿拐点”模型 1.辅助线作法：过“拐点”作平 行线，且有多少个“拐点”就作多少 条平行线. 2.所有朝左的角的度数之和 等于所有朝右的角的度数之和 5.32°解析：如图，过点G,M,H分 别作GN∥AB,MP∥AB,KH∥AB. AB∥CD,∴.AB∥GN∥MP∥ KH∥CD.,GN∥AB,∴.∠AEG= ∠EGN.GN∥KH,∴.∠GHK= ∠NGH.KH∥CD,∴.∠KHF ∠HFD=20°.∴.∠AEG+∠GHK+ ∠KHF=∠EGN+∠NGH+ ∠HFD.∴.∠AEG+∠GHF= ∠EGH+∠HFD.∠EGH=84°， ∠HFD=20°，∴.∠AEG+∠GHF= 104°.EM平分∠AEG,HM平分 ∠GHR,i∠AEM=∠AEG, ∠MIHF=安∠GHR&∠ABM+ ∠MHF=(∠ABG+∠GHF)= 52°..∠KHF=20°，∴.∠AEM+ ∠MHK=∠AEM+∠MHF ∠KHF=32.:MP∥AB∥KH, ∴.∠EMP=∠AEM,∠PMH= ∠MHK.∴.∠AEM+∠MHK= ∠EMP+∠PMH=32°，即 ∠EMH=32°. A M<-PG-----N K--H C F D (第5题) 6.40 7.D解析：，AB∥CD∥EF, .∠2+∠BDC=180°，∠3= ∠CDE.∴.∠BDC=∠CDE-∠1= ∠3-∠1..∠2+∠3-∠1=180°， 即∠2+∠3=180°+∠1. 8.【猜想】65.解析：如图①，过点 E作EM∥AB..AB∥CD,∴.AB∥ EMCD.∴.∠BEM=∠B,∠DEM= ∠D..'.∠BED=∠BEM+∠DEM= ∠B+∠D=25°+40°=65. 【探究】∠B+∠BEC-∠C=180°. 理由：如图②，过点E作EN∥AB. AB∥CD, ∴.AB//EN//CD. ∴.∠B+∠BEN=180,∠CEN= ∠C ∴.∠B+∠BEN+∠CEN= 180°+∠C. :∠BEC=∠BEN+∠CEN, .∠B+∠BEC=180°+∠C,即 ∠B+∠BEC-∠C=180. 【拓展】如图③，过点F作FH∥AB, 则易得AB∥FH∥CD∥EK.同(2)， 可得∠BFC+∠FCD-∠ABF= 180°， AB//FH//CD//EK, '.∠ABE=∠BEK=∠BEC+ ∠KEC,∠KEC+∠ECD=180° ∴.∠ECD=180°-∠KEC. BF平分∠ABE,CG平分∠ECD, ·∠ABF=∠ABE=(ZBEC+ ∠KEC),∠DCG=2∠ECD. ∴.∠FCD=180°-∠DCG=180° 2∠ECD=180°-2(180°- 1 ∠KEC)=180°-90+2∠KEC= 90+7∠KEC. ∴.∠BFC+∠FCD-∠ABF= ∠BFC+90°+ ?∠KEC 2(∠BBC+∠KBC)=180,即 9 ∠BFC-∠BEC=W 又∠BFC-2∠BEC=57°， ∴.∠BFC=2∠BEC+57. 2∠BEC+57-∠BEBC=90 .∠BEC=22 A B E<-----M G ③ (第8题) 9.(1)如图①，过点E作EF∥AB. AB//CD, ∴.CDEF. .∠ABE=∠BEF,∠DCE+ ∠CEF=180. '∠CEF=∠BEF-∠BEC= ∠ABE-∠BEC, ∴.∠DCE+∠ABE-∠BEC=180, 即∠ABE+∠DCE-∠BEC=180. (2)①.BFCE, ∴.∠FBE=∠BEC=26° BF平分∠ABE, ∴.∠ABF=∠FBE=26,∠ABE= 2∠FBE=52. 由(1)，得∠DCE=180°-∠ABE+ ∠BEC=180°-52°+26°=154. CG平分∠DCE, &∠D0G=2∠DCE=77 如图②，过点F作FN∥AB. :AB//CD, ∴.FNCD. .∠BFN=∠ABF=26°，∠NFC= ∠DCG=77°. ∴.∠BFC=∠BFN+∠NFC= 103°. ②32°.解析：：BF平分∠ABE, CG平分∠DCE,∴.设∠ABF= ∠FBE=∠ABE=,∠BG= ∠DcG=2∠DCE=y.由1)，可知 ∠ABE+∠DCE-∠BEC=180°， ∴.2x+2y-∠BEC=180°，即2(x+ y)-∠BEC=180°.由①，易知 ∠BFC=∠ABF+∠TDCG,∴.∠BFC= x+y.∠BFC-∠BEC=74°， ∴.x+y-∠BEC=74°，即x+y= 74°+∠BEC.∴.2(74°+∠BEC) ∠BEC=180°，解得∠BE℃=32° A ☑B ① 习B F C G ② (第9题) 专题特训二 “相交线 与平行线”中的数学思想 1.D 一易错警示 忽视分类讨论致错 当几何题条件中没给出图形 时，注意把满足题意的情形找全 2.(1)由题意，得∠EBF=90°， ∠E=45°，∠ABC=60°， EF//CD, ∴.∠CDE=∠E=45 ∴.∠ABE=∠ABC-∠CDE= 60°-45°=15. .∠ABF=∠EBF-∠ABE= 90°-15°=75 (2)如图①，当DE∥BC时，延长AC 交MN于点P,分两种情况： ①当DE在MN上方时， :DE∥BC,∠EDF=∠ACB=90°， .DE⊥DF,AC⊥BC ∴.易得AP∥DF .'.∠FDM=∠MPA GH//MN, ∴.∠MPA=∠HAC. '.∠FDM=∠HAC. 由题意，得∠FDM=(2t)°，∠HAC 30°， ,.(2t)°=30 .t=15. ②当DE在MN下方时，由题意，得 ∠F'DP=(21)°-180°， DE∥BC,DE⊥DF',AC⊥BC, ∴.易得APDF' ∴.∠F'DP=∠MPA. GH//MN, '.∠MPA=∠HAC. ∴.∠F'DP=∠HAC,即(2t)°- 180°=30 .t=105. 如图②，当BC∥DF时，延长BC交 MN于点T,分两种情况： ①当DF在MN上方时，根据题意， 得∠FDN=180°-(2t)°， BC//DF, ∴.∠FDN=∠BTN. .GHMN、 .∠BTN=∠ABC=60 .∠FDN=60°，即180°-(21)°=60. .t=60. ②当DF在MN下方时，根据题意， 得∠F'DN=(21)°-180°， DE'//BC, ∴.∠F'DN=∠BTM. GH//MN, .'.∠BTM=180°-∠ABC=120°. .∠F'DN=120°，即(2t)°-180°= 120. .t=150. 综上所述，所有满足条件的t的值为 15或60或105或150. (3)所有满足条件的a的值为30或 120.解析：由题意，得∠HAC= ∠BAH+∠BAC=a°+30°.如图③， 当DE∥BC时，延长AC交MN于 点K,分两种情况：①当DE在MN 10 上方时，∠FDM=2a°，.DE∥BC, DE⊥DF,AC⊥BC,∴.易得AK∥DF. ∴.∠FDM=∠MKA.GH∥MN, ∴.∠MKA=∠HAC.∴.∠FDM= ∠HAC,即2a°=a°+30..a=30. ②当DE在MN下方时，由题意，得 ∠F'DK=2a°-180°，DE∥BC, DE⊥DF',AC⊥BC,.易得AK∥ DF.∴.∠F'DK=∠MKA.GH∥ MN,∴.∠MIKA=∠HAC.∴.∠FDK= ∠HAC,即2a°-180°=a°+30° ∴.a=210(不符合题意，舍去).如图 ④，当DF在MN上方，BC∥DF时， 延长AC交MN于点I,根据题意，得 ∠FDN=180°-2a°，GH∥MN, ∴.∠MIC=∠HAC=∠BAH+ ∠BAC=a°+30°.：DF∥BC,AC⊥ BC,.CI⊥DF.∴.∠FDN+ ∠MIC=90°，即180°-2a°+a°+ 30°=90°.∴.a=120.此时2a°= 240>180°，DF应该在MN下方，不 符合题意，舍去.如图⑤，当DF在 MN下方时，直线CB与GH,MN分 别交于点Q,L,根据题意，可知 ∠FDN=2a°-180°，∠QAC= 180°-30°-a°=150°-a°， .∠AQL=180°-90°-(150° a)=a°-60°.DF∥BC,.易得 ∠MIC=∠FDN..QH∥MN, ∴.∠AQL=∠MC..∠FDN= ∠AQL,即2a°-180°=a°-60°. ∴.a=120.综上所述，所有满足条件 的a的值为30或120. A B一H