7.2 第4课时 平行线的判定与性质的综合应用-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（人教版）

拔尖特训·数学（人教版）七年级下 第3课时 自基础进阶 1.(2025·绥化)如图，AD是∠EAC的平分 线，ADBC,∠B=38°，则∠C的度数是 () D A E (第1题) A.16°B.30°C.38°D.76 2.(2025·扬州)如图，平行于主光轴PQ的光 AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线 BE,DF交于主光轴上一点G.若∠ABE= 130°，∠CDF=150°，则∠EGF的度数是 () - D (第2题)》 A.60°B.70°C.80°D.90° 3.如图，一束光AB先后经平面镜OM,ON反 射后（入射光线与平面镜的夹角等于反射光 线与平面镜的夹角)，反射光线CD与AB平 行，则当∠ABM=35时，∠DCN的度数为 () B ii-M —A —D (第3题) A.55°B.70°C.60°D.359 4.如图，ABCD∥EF,则∠1，∠2，∠3之间的 数量关系为 B E D (第4题) 12 拍照批改 Z行线的性质 ◆“答案与解析”见P4 5.如图，EFCD,GDCA,∠1=140°. (1)求∠2的度数 (2)若DG平分∠CDB,求∠A的度数. D (第5题) 幻素能攀升 6.(2025·包头青山期末)如图，若ABCD,则 a,B,y之间的关系为 () A.a+B+Y=360° B.a-3+y=180° C.a+3-y=180° D.a+3+y=1809 C D C -N 一D (第6题) (第7题)》 7.(2024·汕头模拟)如图所示为一盏可调节台 灯的示意图，支撑杆AO垂直底座MN于点 O,AB与BC分别是可绕点A,B旋转的调 节杆，台灯灯罩可绕点C旋转来调节光线角 度，在调节过程中，最外侧光线CD,CE组成 的∠DCE始终保持不变.现调节台灯，使外 侧光线CD∥MN,CE∥BA.若∠BAO= 158°，则∠DCE的度数为 A.58°B.68°C.32°D.22° 8.(2024·天津期末)如图，MN∥PQ, 点B在MN上，点C在PQ上，点A 在MN上方，∠ABD：∠DBN=3:答案讲解 2,点E在BD的反向延长线上，且∠ACE: ∠ECP=3:2,设∠A=a,则∠E的度数为 (用含α的式子表示)： P、M H Q H (第8题) (第9题)》 9.(2024·武汉期末)如图，ABCD, ∠ABM的平分线BP交∠HCD的 平分线CQ的反向延长线于点P,答案讲解 PC交MH于点E,BP的反向延长线交CD 于点N.若∠HCD-2∠BNC=24°，则∠P+ ∠H= 10.如图，点C在∠MON的一边OM上，过点 C的直线AB∥ON,CD平分∠ACM, CE⊥CD, (1)若∠O=50°，求∠BCD的度数. (2)试说明：CE平分∠OCA. (3)当∠O的度数为多少时，CA将∠OCD 分成度数之比为1：2的两部分？请说明 理由. A E 0 (第10题) 第七章相交线与平行线 思维拓展 1.(2025·泉州惠安期末)如图①， AD∥BC,∠BAD的平分线交BC 于点G,∠BCD=90°. 答案讲解 (1)试说明：∠BAG=∠BGA, (2)如图②，点F在AG的反向延长线上， 连接CF交AD于点E,若∠BAG-∠F= 45°，试说明：CF平分∠BCD. (3)如图③，线段AG上有一点P,满足 ∠ABP=3∠PBG,过点C作CH∥AG交 AD于点H.若在直线AG上取一点M,连 接BM,使∠PBM=∠DCH,求∠ABM ∠GBM 的值 ③ (第11题) 13又.∠MC0=180°， ∴.∠ECO+∠DCM=90. :CD平分∠ACM, ∴.∠DCA=∠DCM. ∴.∠ACE=∠ECO. ∴.CE平分∠OCA. (3)当∠O=36°或∠O=90°时，CA 将∠OCD分成度数之比为1：2的两 部分. 理由：①当∠O=36时， AB//ON, ∴.∠AC0=∠0=36. ∴.∠ACM=180°-∠ACO=144. 又：CD平分∠ACM, :∠ACD=∠ACM=72E .∠ACO= 1 ∠ACD,即CA将 ∠OCD分成度数之比为1：2的两 部分。 ②当∠0=90时， AB//ON, ∴.∠AC0=∠0=90°. ∴.∠ACM=180°-∠AC0=90. 又，CD平分∠ACM, ∠ACD=2∠ACM=45 .∠ACD= ∠ACO,即CA将 ∠OCD分成度数之比为1：2的两 部分 综上所述，当∠0=36°或∠0=90 时，CA将∠OCD分成度数之比为 1:2的两部分 11.(1)ADBC, ∴.∠GAD=∠BGA. AG平分∠BAD, .∠BAG=∠GAD. ∴.∠BAG=∠BGA. (2):∠BGA=180°-∠AGC= 180°-(180°-∠F-∠BCF)= ∠F+∠BCF, ∴.∠BGA-∠F=∠BCF. ,'∠BAG=∠BGA, .'.∠BAG-∠F=∠BCF=45° .∠BCD=90°， .∠BCF=∠DCF=45°. '.CF平分∠BCD (3)设∠ABC=4x. AD//BC, ∴.∠ABC+∠BAD=180°. ∴.∠BAD=180°-4x. .·AG平分∠BAD, 1 ∠BAG=∠GAD=2(180- 4x)=90°-2x. 由(1)，得∠BAG=∠BGA, ∴.∠BGA=90°-2.x. ∠ABP=3∠PBG, '.∠ABP=3x,∠PBG=x. .AG//CH, ∴.∠BCH=∠BGA=90°-2x. :∠BCD=90°， ∴.∠DCH=∠PBM=90°-(90° 2x)=2x 分两种情况讨论： ①当点M在BP的下方时，如图① ∠ABM=∠ABP+∠PBM=3.x+ 2.x=5.x,∠GBM=∠PBM- ∠PBG=2x-x=x. .ZABM-5-5. ∠GBMx ②当点M在BP的上方时，如图②， 同理，得∠ABM=∠ABP ∠PBM=3.x-2.x=x,∠GBM= ∠PBM+∠PBG=2.x+x=3.x. ∠ABM== ∠GBM3x3 综上所述， 公的值是5安 ② (第11题) 第4课时平行线的判定 与性质的综合应用 1.D2.B 3.①③④解析：AB⊥BC,AE⊥ DE,'.∠1+∠AEB=90°，∠DE℃+ 5 ∠AEB=90.∴.∠1=∠DEC.又 ∠1+∠2=90°，∴.∠DEC+ ∠2=90°.∴.∠C=90°..∠B+ ∠C=180°.∴.AB∥CD.故①正确. AB∥CD,.∠BAD+∠ADC 180°.又，∠AEB不一定等于 ∠BAD,∴.∠AEB+∠ADC不-定 等于180°.故②错误.AE⊥DE, .∠AED=90°.∴.∠4+∠3=90°. ∠2+∠1=90°，AE平分∠BAD, 即∠3=∠1，.∠2=∠4.∴.DE平 分∠ADC.故③正确.，∠1十∠2= 90°，∴.∠EAM+∠EDN=360° 90°=270°.∠EAM和∠EDN的 平分线交于点F,.∠EAF十 ∠EDF=2×270=135:∠3+ ∠4=90°，∴.∠FAD+∠FDA= 135°-90°=45°..∠F=180° (∠FAD+∠FDA)=180°-45°= 135°.故④正确.综上所述，正确的结 论是①③④. 4.15或165°解析：如图①，记CD 与AO交于点E.当CD∥OB时， ∠AED=∠O=90°，，'.∠EAD= 90°-30°=60°.∴.∠BAD=60°- 45°=15.如图②，当CD∥OB时，过 点A作AM∥OB,∴.AM∥CD. ∴.∠OAM=∠O=90°，∠DAM= ∠D=30°.∴.∠BAD=90°+45°+ 30°=165°.综上所述，当∠BAD=15 或165时，CDOB. ① D M------ A 0 ② (第4题) 5.可以. 理由：如图，，∠1=∠2，∠1=∠3， ∴.∠2=∠3. ∴.CEBF. .∠C=∠BFD. ∠B=∠C, .∠B=∠BFD .AB//CD. B KH C D (第5题) 6.D解析：AF∥CD, .∠ABC=∠ECB,∠EDB= ∠DBF,∠DEB=∠EBA..CB平 分∠ACD,BD平分∠EBF, '.∠ECB=∠BCA,∠EBD= ∠DBF=∠EDB.,BC⊥BD, .'.∠EDB+∠ECB=90°，∠DBE十 ∠EBC=9O°.∠EDB=∠DBE, ∴.∠ECB=∠EBC=∠ABC= ∠BCA.∴.BC平分∠ABE.故①正 确，符合题意：：∠EBC=∠BCA, ∴.AC∥BE.故②正确，符合题意： :'∠DEB=∠EBA,∠EBA= 2∠ABC,∴.∠DEB=2∠ABC.故③ 正确，符合题意.综上所述，正确的是 ①②③，共3个. 7.D解析：AB∥CD, ∴.∠BGC=∠C=a.:GE平分 ∠BGC,∴.∠BGE=∠CGE= 子∠C名，如图①.当点P在 直线AB和直线CD之间时，过点P 作PM∥AB,'.∠BGE=∠GPM 1 a.:AB∥CD,MP∥CD. ∴.∠MPH=∠PHC=∠GPH- ∠GPM=∠GPH-2a..∠GPH- ∠PHC=a.故A不符合题意.如 图②，当点P在直线AB上方时，过 点P作PN∥AB,∴.∠FPN= ∠FGA=∠BGE=2a.:AB,CD, ∴.PN∥CD.∴.∠NPH=∠PHC '∠FPN+∠NPH+∠GPH= 180,2a+∠PHC+∠GPH= 180°.故C不符合题意，D符合题意. 如图③，当点P在直线CD下方时 过点P作PK∥AB,∴.∠GPK= ∠AGF=∠BGE=a.'AB/CD, ∴.PK∥CD.∴.∠PHC=∠KPH. '∠GPH+∠KPH=∠GPK=2a, ∴.∠GPH+∠KPH=∠GPH+ 1 ∠PHC=2a.故B不符合题意. ③ (第7题) 8.a一B=45°解析：如图，过点C作 CG∥EF,∴.∠EAC=∠ACG=a. ,EF∥MN,∴.CG∥MN. ∴.∠CBM=∠GCB.:∠ACB= ∠ACG+∠BCG=90°，∴.∠EAC ∠CBM=90..∠CBM=90° ∠EAC=90°-a.∠CBA=45, ∠ABD=90°，∴.∠CBM+∠DBN= 180°-∠CBA-∠ABD=45°. .90°-a+3=45°..a-3=45°. E QO>D C“ B N (第8题) 9.15.6解析：如图，固定三角尺 OCD,旋转三角尺OAB至AB与CD 平行的位置，延长AB交OD于点M. :ABCD,∴.∠AMO=∠D=30°. 又.∠ABO=45°，∴.易得∠BOM= 6 45°-30°=15°..旋转前AB⊥O℃， .易得旋转前∠BOD=45.∴.三角 尺AOB顺时针旋转的角度为45°一 15°=30°，即两三角尺旋转的角度之 和为30°时，AB与CD第一次平行. ∴、易得当两三角尺旋转的角度之和 为390°时，AB与CD第三次平行. ∴.15t+10t=390,解得t=15.6. 0 M六D (第9题) 10.EF⊥BC,AD⊥BC, ∴.∠EFC=∠DMC=90°. ∴.EFAD .∠2=∠CDM. :∠1=∠2， '.∠1=∠CDM. .CD//MN. .∠3=∠C, .AB//CD. .AB//MN. 11.(1)A:B:180 (2)①如图，过点E作EN亿1. l1机2， .EN∥l2 设∠NEC=x,∠NEB=y,则 ∠ACF=x,∠EBD=y. CF平分∠ACG,BE平分∠ABD, ∴.∠ACG=2∠ACF=2x,∠ABD= 2∠EBD=2y. 11h2, ∴.∠GAC=∠ABD=2y. ∠G=20°， ∴.∠ACG+∠GAC=2x+2y= 160. ∴.∠BEC=x+y=80°. ②∠GMB-∠E为定值. 1 由①可得∠E=2（∠ACG+ ∠GAC), ∠E=2(180°-∠AGC)=90°- 2∠AGC. ,GM平分∠AGC, ∠AGC. :∠BGM=2 .'.∠GMB=180°-∠GBM 1 ∠BGM=180°-70-2∠AGC= 110° 2∠AGC. .∠GMB- ∠E=110° 3∠Acc-(-∠Acc)=20 .∠GMB一∠E为定值，为20. H (第11题) 7.3定义、命题、定理 1.A2.A3.A4.-1(答案不 唯一) 5.∠BCD;两直线平行，同位角相等： DG:同旁内角互补，两直线平行： ∠BCD;两直线平行，内错角相等. 6.A解析：在同一平面内，已知a, b,c是三条不同的直线，若a与b相 交，b与c相交，则a与c可能平行，也 可能相交，故①不正确.若a⊥b,a⊥ c,则bc的前提条件是“在同一平面 内”，故②不正确.若一个角的两边与 另一个角的两边分别平行，则这两个 角相等或互补，故③不正确.∴正确 的个数为0. 一方法归纳 判断命题真假的方法 要判断一个命题是真命题，一 般需要推理、论证，而判断一个命 题是假命题，只需举出一个反例， 7.3解析：选择①AB∥CD, ②∠B=∠C为条件，③∠E=∠F 作为结论，AB∥CD,∴.∠EAB= ∠C.∠B=∠C,.∠EAB ∠B.∴.EC∥BF.∴.∠E=∠F ∴此命题为真命题.选择②∠B ∠C,③∠E=∠F为条件，①AB∥ CD作为结论，：∠E=∠F,∴.EC∥ BF.∴.∠C=∠CDF.∠B=∠C, ∴.∠B=∠CDF..AB∥CD.∴.此 命题为真命题.选择①AB∥CD, ③∠E=∠F为条件，②∠B=∠C 作为结论，·AB∥CD,.∠B= ∠CDF..∠E=∠F,'.EC∥BF .∠C=∠CDF.∴.∠B=∠C ∴此命题为其命题.综上所述，能够 构造3个真命题. 8.(1)命题1：：AB∥CD,AM∥ EN, .∴.∠BAM=∠CEN. 命题2：：AB∥CD,∠BAM= ∠CEN, ∴.AM∥EN. 命题3：：AM∥EN,∠BAM= ∠CEN, .AB//CD. (2)选择不唯一，如选择命题1. AB//CD, ∴.∠BAE=∠CEA, AM//EN, ∴.∠1=∠2. ∴.∠BAE-∠1=∠CEA-∠2， 即∠BAM=∠CEN 9.(1)“两个负数之差为负数”是假 命题. 举例不唯一，如一2一（一3）=1,1不 是负数， .“两个负数之差为负数”是假命题. (2)“如果一个四边形的两组对边分 别平行，那么它的不相邻的两个内角 相等”是真命题. (3)“互补的角是同旁内角”是假 命题， 举例不唯一，如图，∠AOC与∠BOC 互补，但它们不是同旁内角， ∴.“互补的角是同旁内角”是假命题 A 0 —B (第9题) 10.(1)如图①，∠3与∠4互为同旁 外角. (2)35°.解析：如图②，.直线a∥ b,∴.∠3+∠4=180°.又.∠1= ∠3，∠2=∠4，∴.∠1+∠2=180°. ∠1=145，.∠2=180°- ∠1=35°. (3).∠1+∠2=180°，∠1+∠3= 7 180°， ∴.∠2=∠3. ∴.ab. 归纳出一个真命题为同旁外角互补， 两直线平行. ① (第10题) 7.4平移 1.A2.甲、乙同时3.3 4.如图，延长AB交直线n于点O. ,将直线m平移后得到直线， ∴.mhm. ∴.∠3+∠5=180°，即∠5=180° ∠3=105. .∠4=∠1=25， ∴.易得∠2=∠4+∠5=130°. 3 A B o (第4题) 5.B6.D7.B 8.48解析：由题意，易得阴影部分 的面积等于梯形ABEH的面积.由平 移，得DE=AB=10,BE=6,∴.EH= DE一DH=10一4=6...梯形 ABEH的面积为号×(EH+AB)X BE=号×(6+10)×6=4.阴影 部分的面积为48. 9.11解析：由平移的性质，可知 DE=AB=4 cm,AD=BE=a cm, ∴.EC=(5-a)cm.∴.涂色部分的周 长=AD+EC+AC+DE=11cm. 10.(1)如图，过点A作AH⊥BC于 点H ,S三角形Ax=16,BC=8, ·2Bc.AH=16 .AH=4. 由题意，得三角形ABC所扫过的面 积即梯形ABFD的面积，