7.2 第2课时 平行线的判定&培优专题2 平行线判定方法的综合应用-【同行学案】2025-2026学年七年级下册数学学练测（人教版·新教材）

第2课时 即基础闯关 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级基础题 知识点一：同位角相等，两直线平行 1.[几何直观]如图，给出了过直线外一点画已 知直线的平行线的方法，其依据是( A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.两直线平行，同位角相等 2.如图，已知∠1=(2x+25)°，∠2=(4x+ 35)°，要使m/∥m,那么x= 视频讲解 知识点二：内错角相等，两直线平行 3.下列图形中，由∠1=∠2能得到ABCD的 是( 2 B 12 4.如图，若∠1与∠2互补，∠2与∠4互补， 则() A.d le B.a//b C.a/lc D.b//c 第七章相交线与平行线 平行线的判定 知识点三：同旁内角互补，两直线平行 5.[应用意识]如图所示，一个合格的弯形管道 ABCD需要满足AB/∥CD.现测得∠ABC= 135°，要使这个管道符合要求，则∠BCD的度 数为() A.25° B.45° C.55° D.65° B B E 第5题图 第6题图 6.如图，DF平分∠CDE,∠CDF=55°，∠C= 70°，则 7.如图，∠2+∠D=180°，∠1=∠B,试说明： AB//CD. 知识点四：同一平面内垂直于同一条直线的两直 线平行 8.在同一平面内，若直线a,b,c满足a⊥b,a⊥ c,则b与c的位置关系是 9.同一平面内的四条直线满足a⊥b,b⊥c,c⊥ d,则下列式子成立的是() A.a//d B.b⊥d C.a⊥d D.a⊥c 做神龙题得好成绩 17 ☑同行学案学练测七年级数学下RJ 即能力提升 >>>>>>>> 难度等级中等题 10.如图，下列条件：①∠1=∠3；②∠2十∠4= 180°；③∠4=∠5；④∠2=∠3.能判定直线 l1儿2的有( 4 3 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 11.[空间观念]如图所示的木质模型中，∠1= 70°，∠2=80°. (1)木条b至少旋转 度时，b/a. (2)木条b至少旋转 度时，b⊥a. 12.如图，已知∠ABC=∠ACB,BD平分 ∠ABC,CE平分∠ACB,∠DBF=∠F, EC与DF有怎样的位置关系？请说明你的 理由. 13.[创新意识]同学们玩游戏，画平行线： 759 人45°60 1209 130 30° ② 18做神龙题得好成绩 规则1：摆放一副三角尺，画平行线. 小颖是这样做的：如图①，先画一条直线 MN,之后摆放三角尺，得到AB∥CD,依据 是 小静按图②所示的方式摆放三角尺，也得到 ABCD,依据是 规则2：请你利用图③中所示的两个三角形 模板画平行线，在图④中画出你摆放的两个 三角形模板的位置 ④ 即培优创新 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级综合题 素养提升微专题 【三角尺的拼摆与分类讨论】 14.如图，一副三角尺（共顶点A)叠放在一起， 若固定三角尺ABC,改变三角尺ADE的位 置（其中点A的位置始终不变），当∠BAD 度时，DEAB. B EA 第14题图 第15题图 15.如图，一副三角尺（共顶点C)叠放在一起， 点C为直角顶点，边AB和边DE所在的直 线交于点P.若固定三角尺ABC不动，改变 三角尺CDE的位置（其中点C的位置始终 不变)，则当∠APD= 度时， DE∥AC. 第七章相交线与平行线☑ 培优专题2：平行线判定方法的综合应用 数 素 1.如图，若∠3=∠4，则下列条件中，不能判定 5.[推理能力]如图，已知点E在BD上，EA平 AB/CD的是() 分∠BEF,EC平分∠DEF. A.∠1=∠2 (1)试说明：AE⊥CE, B.∠1=∠3且∠2=∠4 (2)若∠1=∠A,∠4=∠C,则AB与CD平 C.∠1+∠3=90°且∠2+∠4=90° 行吗？为什么？ D.∠1+∠2=90° 2.[推理能力]如图，已知直线EF⊥MN,垂足 为点F,且∠1=140°，则当∠2= 时， AB//CD. 6.[创新意识]如图，一次数学活动中，检验两条 纸带①②的上下边线是否平行，小明和小丽 采用两种不同的方法： 视频讲解 小明将纸带①沿AB折叠，量得∠1=∠2 3.[开放性试题]如图，AD平分 新课标 =50°； ∠BAC,E,F分别是AD,AC上的 新考向 小丽将纸带②沿GH折叠，发现GD与GC重 点，请你填写一个条件： 合，HF与HE重合. 使EF∥AB. 请你根据小明、小丽的方法对纸带①②进行 判断，并说明理由. -D E 4.如图，已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE= ② 30°，∠E=10°.试说明：ABEF. A B 做神龙题得好成绩 19同行学案学练测 和∠7，∠4和∠6，∠4和∠9.(2)∠4和∠5是同旁内角， ∠6和∠8也是同旁内角，故∠6和∠8的位置关系与∠4 参考答案 和∠5的相同. 8.B9.B10.C 七年级数学下RJ 11.①②12.3 第七章相交线与平行线 13.解：(1)∠FBC和∠CFB,∠DFB和∠FBA是直线DC, AC被直线BE所截形成的同旁内角.(2)∠DEF与 7.1相交线 ∠CFE是直线AG,DF被直线EF所截形成的内错角. 第1课时两条直线相交 (3)∠DAC的同位角：∠EBH,∠DCH,∠EDF,∠GEF. 1.D2.A3.邻补角互补4.C5.78°6.45 14.(1)422(2)6(3)24(4)n(n-1)(n-2) 7.165°8.B9.21°10.55°11.D 培优专题1：角度计算中的方程思想 12.40°13.9014.54° 1.140 15.解：(1)由对顶角相等，得∠1=∠3，∠2=∠4.由∠1+ 2.解：(1)∠BOD∠AOE(2)因为∠BOE:∠EOD=2: ∠3=2（∠2+∠4），得∠1=2∠2.由邻补角互补，得∠1 3,设∠BOE=2x°，则∠EOD=3.x°.因为∠DOB=∠AOC +∠2=180°，即2∠2+∠2=180°，所以∠2=60°，所以 =70°，∠DOB=∠BOE+∠EOD,所以2x°+3x°=70°，所 ∠1=2×60°=120°.(2)由邻补角互补，得∠3+∠2= 以x°=14°，所以∠BOE=2×14°=28°，所以∠AOE=180° 180又因为∠3-∠2=m,所以∠2=90-7，所以∠1 -∠BOE=152°. -180°-∠2=-180°-(90°-2)=90+ 3.解：OF平分∠BOE,∴∠EOF=∠BOF.∠BOF= ∠AOC+12°=∠EOF,.∠FOC+∠COE=∠AOE+ 16.解：(1)2(2)6(3)12(4)n条直线相交于一点，可形 ∠COE十12°，即∠FOC=∠AOE+12°.设∠AOE=x°，则 成n(n一1)对对顶角.(5)100条直线相交于一点，可形 成100×(100-1)=9900（对）对顶角. ∠FOC=(x+12,∠COE=号：∠A0E+∠BOF+ 第2课时两条直线垂直 ∠B0F=180,x+(x+12+2x)×2=180,解得x= 1.A2.垂直3.C4.D 5.6 cm 8cm 10 cm 26,∠B0p=∠00E+∠00p=号++12r=7r 6.(1)A(2)C7.B8.A9.A 4.解：(1)当1=3时，∠AOB=180°-4×3-6°×3=150°. 10.3AC<5 (2)依题意得4t+6t=180+80,解得t=26.答：当∠AOB 11.(1)120°(2)62°12.30°或70°13.20°或70 第二次达到80°时，t的值为26.(3)存在.当0≤t≤18 14.小力两点之间，线段最短；垂线段最短 时，180一4t一6t=90,解得t=9:当18t60时，4t+6t 15.解：(1)145°(2)分两种情况：如图①，因为OF⊥OE,所 =180+90或4t+6t=180+270,解得t=27或t=45.因 以∠EOF=90°，所以∠COF=∠COE-∠EOF=145°一 此，在旋转过程中存在这样的t,使得射线OB与射线OA 90°=55°：如图②，因为OF⊥OE,所以∠EOF=90°，所以 垂直，t的值为9,27或45. /COF=360°一/C0E-/EOF=360°-145°-90°= 125°.综上，∠C0F的度数为55或125. 7.2平行线 第1课时平行线的概念 B 1.C2.A3.③⑤ 4.解：如图所示，用符号表示为PM∥AB,PN⊥AB. 第3课时两条直线被第三条直线所截 1.B2.D3.C4.同旁内角5.∠AOE∠AOE 6.解：∠1和∠4是直线AB,DC被直线BE所截形成的，它 们是同位角：∠2和∠5是直线AB,DC被直线AC所截形 成的，它们是内错角；∠3和∠5是直线AB,BC被直线AC 所截形成的，它们是同旁内角；∠3和∠4是直线AB,AC 5.C6.B7.D 被直线BC所截形成的，它们是同旁内角. 8.解：(1)一条.(2)平行.(3)如果两条直线都与第三条 7.解：(1)同位角共有5对，分别是∠1和∠5，∠2和∠3，∠3 直线平行，那么这两条直线也互相平行. 9.解：A,B,C三点在同一条直线上.理由如下：因为AB∥ AB∥DE;如图②，当∠BAD+∠D=180°时，可得AB∥ EF,AB是经过B点且和直线EF平行的直线.又因为BC DE,则∠BAD=180°-∠D=150°.故∠BAD=30°或 ∥EF,BC也是经过B点且和直线EF平行的直线.根据 150时，DE∥AB. “过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”可知 AB,BC是同一条直线，即A,B,C三点在同一条直线上. 10.C11.垂直 12.(1)∥⊥⊥∥(2)不是同一平面 13.解：(1)答案不唯一，如正面：AE∥MF;上面：AA'∥BB'; 右面：HR∥DD'.(2)EF∥A'B'.理由：，EF∥AB, ① ② A'B'∥AB,∴.EF∥A'B'(平行于同一直线的两条直线 15.120或60[解析]分两种情况：如图①，当∠APD+∠A 平行). =180时，DE∥AC.∠A=60°，.∠APD=180°-∠A 14.解：(1)分类 =180°-60°=120°；如图②，当∠APD=∠BAC=60°时， (2)如图所示，三条直线可以将平面分成四部分或六部分 DE∥AC.综上，当∠APD=120°或60时，DE∥AC. 或七部分， ① ② ② ③ ④ ③ ⑤ 、⑥ ④ ③ ② D ① ①D ② ⑦ ③ ② 43 ④ ⑤\⑥ 培优专题2：平行线判定方法的综合应用 ⑤ ⑥ ⑦ 1.D 2.50°3.∠FAE=∠FEA(答案不唯一) 第2课时平行线的判定 4.解：如图，在∠BCD的内部作∠BCM=25°.在∠CDE的内 1.A2.203.B4.C5.B6.DEBC 部作∠EDN=10°.，∠B=25°，∠E=10°，∠B= 7.解：：∠2+∠D=180,∴.EF∥CD.∠1=∠B,AB∥ ∠BCM,∠E=∠EDN,∴.AB∥CM,EF∥ND.又 EF...AB//CD ,∠BCD=45°，∠CDE=30°，∴.∠DCM=20°，∠CDN= 8.平行9.C10.B11.(1)30(2)60 20°，∴.∠DCM=∠CDN,.CMND,∴.ABEF 12.解：EC∥DF.理由：BD平分∠ABC,CE平分∠ACB, A B ∠DBF=∠ABC,∠BCE=∠ACB.又：∠ABC CC----M N-->D =∠ACB,∴.∠DBF=∠BCE.又，∠DBF=∠F, E 一F ∴∠F=∠BCE,∴.EC∥DF. 5.解：(1)，EA平分∠BEF,EC平分∠DEF,∴.∠2=∠1 13.规则1：同位角相等，两直线平行（答案不唯一） 内错角相等，两直线平行 号∠BER,∠3=∠4=号∠DER.:∠BEF+∠DEF 规则2：示例：如图所示. 180,∴∠2+∠3=2（∠BEF+∠DEF)=90,∴AEL M CE.(2)AB∥CD.理由：由(1)，得∠2=∠1，∠3=∠4. 75°458B 又：∠1=∠A,∠4=∠C,∠A=∠2，∠3=∠C,.AB 309 ∥EF,EFCD,∴.ABCD. C1209 6.解：纸带①的上下边线不平行，纸带②的上下边线平行.理 309 由：如图①，∠1=∠2=50°，∠3=∠1，.∠3=∠2= 50°，∠4=∠5=180°-50°-50°=80°，∠2≠∠4，纸 14.30或150[解析]由题意得∠ADE=30°，∠ACB= 带①的上下边线不平行.如图②，，GD与GC重合，HF与 ∠DAE=90°.如图①，当∠BAD=∠ADE=30°时，可得： HE重合，∴.∠CGH=∠DGH=90°，∠EHG=∠FHG= 同行学案学练测·21· 90°，∴.∠CGH+∠EHG=180°，∴.纸带②的上下边线 .∠BPQ=90°，.∠PBQ=180°-90°-78=12°， 平行 .∠ABC=180°-∠PBQ=180°-12°-168°. G ② AD G D B E H 第3课时平行线的性质 ① ② 1.A2.C3.25°4.B5.A6.C7.C8.B 13.解：(1)：AD是∠BAC的平分线，∠BAD=35°， 9.B10.574711.512.A13.B14.D ∴∠BAC=2∠BAD=70°.又.AB∥DG,.∠DGC ∠BAC=70°.(2)：AB∥DG,.∠2=∠BAD 15.解：(1)，EF/CD,∴∠1+∠ACD=180°.：∠1=140°， 又∠1=∠2，∴∠1=∠BAD,.AD∥EF. .∠ACD=40°.，GD/CA,.∠2=∠ACD=40°. 14.解：(1)ABCD.理由：.∠1与∠2互补，∴.∠1+∠2= (2):DG平分∠CDB,∠2=40°，∴.∠BDG=∠2=40 180°又：∠1=∠AEF,∠2=∠CFE,∴.∠AEF+ .GDCA,∴∠A=∠BDG=40. ∠CFE=180°，.AB∥CD.(2)由(1)知，AB∥CD, 16.解：(1)如图①，过点E作EM∥AB.,AB∥CD,∴.CD∥ ∴·∠BEF+∠EFD=180°.又，∠BEF与∠EFD的平分 EM∥AB,∴.∠ABE=∠BEM,∠DCE=∠CEM.,CF 线交于点P,∴∠FEP+∠EFP=(∠BEF+∠EFD) 平分∠DCE,.∠DCE=2∠DCF.∠DCF=30°， =90°，∴.∠EPF=90°，即EG⊥PF.GH⊥EG,PF .∠DCE=60°，∠CEM=60°.又：∠CEB=20°， //GH. 7.3定义、命题、定理 ∴.∠BEM=∠CEM-∠CEB=40°，∴.∠ABE=40. 1.A2.①②③④ (2)如图②，过点E作EM∥AB,过点F作FN∥AB. 3.解：(1)如果两条直线平行，那么同位角相等. ,∠EBF=2∠ABF,.设∠ABF=x,∠EBF=2x,则 (2)在同一个三角形中，如果两个角相等，那么它们所对的 ∠ABE=3.x.,CF平分∠DCE,设∠DCF=∠ECF= 边相等 y,则∠DCE=2y.:AB∥CD,∴.EM∥AB∥CD, 4.D5.真 6.证明：.MN平分∠BMH,HG平分∠CHM,.∠1= ∴∠DCE=∠CEM=2y,∠BEM=∠ABE=3x, ∴.∠CEB=∠CEM-∠BEM=2y-3x,同理∠CFB=y ∠BMH,∠2=∠CHM.:AB/CD.∠BMH= -x.2∠CFB+(180°-∠CEB)=190°，.2(y-x)+ ∠CHM,∴.∠1=∠2，∴.MN/GH. 7.题设：AB⊥BC,CD⊥BC,BECF. 180°-(2y-3.x)=190°，.x=10°，∠ABE=3.x=30. 结论：∠1=∠2. D 证明：：AB⊥BC,CD⊥BC,.AB∥CD,∠ABC= ∠DCB.又·BE∥CF,∴.∠EBC=∠FCB,∴∠ABC ∠EBC=∠DCB-∠FCB,∴∠I=∠2.（答案不唯一） 8.B9.真命题 A H B 10.两个角相等这两个角是对顶角假 11.示例：(1)3×0=(-2)×0,3≠-2 (2)3=1-3,3≠-3 12.解：(1)题设：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互 ② 补.结论：这两条直线平行. 第4课时平行线的性质与判定的综合应用 (2)题设：∠1=∠2，∠2=∠3.结论：∠1=∠3. 13解：示例：已知：∠1=∠2，∠B=∠C.求证：∠A=∠D. 1.B2.B3.C4.A5.C6.D7.B 证明：如图，：∠1=∠3，∠1=∠2，∴.∠3=∠2，.EC∥ 8.639.①②③10.C11.①④ BF,∴∠AEC=∠B.又：∠B=∠C,∴∠AEC=∠C, 12.125168[解析]如图①，延长CB,HG相交于点K. .ABCD,.∠A=∠D. BC∥EF,∠EFH=55°，.∠BKH=∠EFH=55. ABGH,∴.∠ABK=∠BKH=55,∴.∠ABC=180 一∠ABK=125°.如图②，延长BC,FE相交于点P,则可 得BP⊥EP,延长AB交FE的延长线于点Q.:'AB∥ FH,∠EFH=78°，.∠Q=∠EFH=78°.，BP⊥EP, ·22·同行学案学练测 14.证明：a∥b,∴.∠CAE+∠ACF=180°.又AB平分 培优专题3：平行线中的几何证明与计算 ∠CAE,CD平分∠ACE,∴∠1=2∠CAE,∠2- 1.(1)证明：AE⊥BC,FG⊥BC,.AE∥GF,∴∠2=∠A. 3∠AC.∠I+∠2=日∠CAE+号∠ACF ∠1=∠2，∴∠1=∠A,.AB∥CD.(2)解：AB∥ CD,∴.∠D+∠ABD=∠D+∠CBD+∠3=180°..∠D 2(∠CAE+∠ACp)-2X180°=90，∠AcC=180 =∠3+70°，∠CBD=80°，∴.∠3+70°+80°+∠3=180°， ∴.∠3=15°..ABCD,∴.∠C=∠3=15. -(∠1+∠2)=180°-90°=90°，.AB⊥CD 2.解：EFBC.理由：如图，过点G作GH∥BC.,∠C=45°， 7.4平移 ∠CGH=45°.，∠FGC=105,∴.∠FGH=105°-45°= 1.B2.D3.C4.B5.C 6.解：(1).∠ACB=90°，∠A=40°，∴.∠ABC=90°-40°= 60°.在△DEF中，∠D=90°，∠E=30°，.∠F=60°， 50°.，三角形ABC沿AB方向向右平移得到三角形 .∠F=∠FGH,∴.EFGH,.EF∥BC. DEF,∴.∠E=∠ABC=50°.(2)：三角形ABC沿AB 方向向右平移得到三角形DEF,∴.AB=DE,∴AD=BE. ,AD+DB十BE=AE,.BE十2十BE=9,.BE =3.5cm. G 7.解：如图所示，三角形A'B'C即为所求. B C 3.(1)解：∠EHD+∠HBF=180°，∠EHD=∠BHC, .∠BHC+∠HBF=180°，.BF∥EC,.∠ACE=∠F =30°.又，CE平分∠ACB,∴.∠ACB=2∠ACE=60°. B' (2)证明：：CE平分∠ACB,.∠BCE=∠ACE. ∠ACE=∠F,∠F=∠G,.∠BCE=∠G,DG∥EC. B 又BF∥EC,.DGBF. 8.C9.C10.1311.A 4.(1)解：AB∥CD,.∠AED+∠EDM=180°. 12.解：(1)三角形A1B1C1如图所示.(2)CE如图所示. 又，∠EDM=48°，.∠AED=132.又，EM平分 (3)16 ∠AED.∠AEM=∠MED=号∠AED=G6.AB∥ CD,.∠EMD=∠AEM=66°.(2)证明：EM⊥EN, ∴.∠MEN=90°.∠BEN=30°，∴.∠AEM=180°-90 夕 -30°=60°.AB∥CD,∴.∠EMD=∠AEM=60° Eh C BT ,∠CME+∠EMD=180°，∴∠CME=180°-60°=120°. C 13.解：(1)如图.（答案不唯 :MA平分∠CME,∠AME=号∠CME=60.:EM 平分∠AED,.∠MED=60°，∴.∠AME=∠MED, ..MA//DE. (2)三个图形中除去阴影部分后剩下部分的面积均为ab 培优专题4：平行线中的“拐点”问题 一b.(3)10×15-10×1=140(m2).答：这块菜地种菜 母题：C 部分的面积为140m2. 变式：65 数学活动一你有多少种画平行线的方法 变式训练 1.D2.B3.A4.C5.A6.②④ 1.C2.B 7.解：(1)(2)(3)如图所示.(4)平行且相等 3.B[解析]如图，过点O作EFAB. Q A E--- E C B ,AB∥CD,.AB∥CD∥EF,.∠AOE=∠A=90°，