第5章 专题特训13 轴对称性质的应用-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版）

拍照批改 专题特训十三 类型一 利用轴对称的性质求角度 1.如图，AB=AC,点B关于AD的对称点E 恰好落在CD上，∠BAC=124°，AF为 △ACE中CE边上的中线，则∠ADB的度 数为 A.24° B.28° C.30° D.389 (第1题) 2.在△ABC中，∠B=42°，∠C=68°，E为线段 AB的中点，点F在边AC上，连接EF,将 △AEF沿EF折叠得到△PEF. (1)如图①，当点P落在BC上时，求∠BEP 的度数 (2)如图②，当PF⊥AC时，求∠AEF的 度数. ② (第2题) 类型二利用轴对称的性质求周长 3.如图，在长方形ABCD中，AB=10,BC=5, 点E,F分别在AB,CD上，将长方形ABCD 沿EF折叠，使点A,D分别落在长方形 ABCD外部的点A1,D1处，则涂色部分图形 第五章图形的轴对称 轴对称性质的应用 “答案与解析”见P36 的周长为 (第3题) A.15 B.20 C.25 D.30 类型三利用轴对称的性质解决最短路径问题 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3, BC=4,AB=5.如果D,E分别为BC,AB 上的动点，那么AD+DE的最小值是() A.4.2 B.4.8 C.5 D.4.5 (第4题) 5.如图，在一条河流中有一个形如三 角形的小岛，河岸与小岛之间有一 座桥相连.水利部门现准备在小岛答案讲解 的三边上各设立一个水质取样点，在岸边设 立了一个观测站，每天由专人从观测站步行 去三个取样点取样，并带回化验.请问：三个 取样点应分别设在什么位置，才能使得每天 取样所用时间最短（假设速度一定，写出作法）？ 小岛 观测站· (第5题) 93 拔尖特训·数学（北师版）七年级下 专题特训十四等腰三角形 类型一因边不确定引起的分类讨论 1.(2025·保定竞秀期中)已知有理数a,b满足 |5一a|+(b一9)2=0，则以a,b的值为两边 长的等腰三角形的周长是 A.19 B.23 C.19或23 D.以上答案均不对 2.(2024·济南长清期末)等腰三角形的周长为 24,一边长为6，则腰长为 类型二因角不确定引起的分类讨论 3.在等腰三角形ABC中，∠A=70°，则∠C的 度数不可能是 () A.40°B.55°C.65°D.70° 4.一个等腰三角形的两个内角的度数之比为 2:5,则这个等腰三角形的顶角的度数为 类型三因顶点不确定引起的分类讨论 5.如图，在4×4的正方形网格中有两个格点 A,B,连接AB,在网格中再找一个格点C, 使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的 格点C的个数是 B (第5题) A.2 B.3 C.4 D.5 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC 的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个 顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不 同的等腰三角形的个数最多为 A.4 B.5 C.6 B D.7 (第6题) 94 拍照批改 中的分类讨论问题 >“答案与解析”见P36 7.如图，P是射线OV上一动点，∠O=45°，当 ∠A的度数为 时，△AOP为等腰三 角形 (第7题)》 (第8题) 8.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A= 30°，射线CP从射线CA开始绕点 C按逆时针方向旋转α(0°<α<答案讲解 75),与射线AB相交于点D,将△ACD沿 射线CP折叠至△A'CD处，射线CA'与射线 AB相交于点E.若△A'DE是等腰三角形， 则&的度数为 类型四因高不确定引起的分类讨论 9.等腰三角形一腰上的高与另一边的 夹角为25°，求这个三角形的各个内 角的度数 答案讲解所以易得∠OPA=∠OP'A=30°， ∠BPO=∠OP"B=30°. 所以∠APB=30°+30°=60. (第4题) 专题特训十三轴对称 性质的应用 1.B解析：由题意，易知△AED与 △ABD关于AD对称，所以AB= AE,∠ADB=∠ADE,∠BAD= ∠DAE.因为AC=AB,所以AC= AE,因为AF是△ACE的中线，所以 ∠CAF=∠EAF,AF⊥CE.所以 ∠DAF=号∠BAC=62.因为 ∠AFD=90,所以∠ADF=90°- 62°=28.所以∠ADB=∠ADF= 28. 2.(1)因为将△AEF沿EF折叠得 到△PEF, 所以AE=PE 因为E为线段AB的中点， 所以AE=BE. 所以BE=EP. 所以∠B=∠EPB=42. 所以∠BEP=180°-∠B-∠EPB= 180°-42°-42°=96. (2)因为PF⊥AC, 所以∠AFP=90. 所以易得∠AFE=∠PFE= Z∠AFP=45. 1 因为∠B=42°，∠C=68°， 所以∠A=180°-∠B-∠C=70°， 所以∠AEF=180°-∠A ∠AFE=65°. 3.D 4.B解析：如图，延长AC到点M, 使CM=AC,连接BM,过点M作 ME'⊥AB于点E',ME'交BC于点 D',连接AD',D'即为使得AD+DE 取最小值的点.易知BC是AM的垂 直平分线，AM=2AC=6,所以 AD'=D'M.所以AD'+DE'= MD'+D'E=ME'.所以S△AM= 合AM~BC=2AB·ME,即2X 6X4=合X5ME,解得ME'=4.8 所以AD+DE的最小值是4.8. D M (第4题) 5.如图，作点D关于AB的对称点 F,点D关于AC的对称点G,连接 FG,交AB于点M,交AC于点N,点 D,M,N即为三个取样点的位置， 、M G 小岛 观测站.E (第5题) 专题特训十四等腰三角形 中的分类讨论问题 1.C2.93.C 4.30°或100°解析：若三个内角的 度数之比为2：5：5，则顶角的度数 为5×2=对：者三个内角的度 数之比为2：2：5，则顶角的度数为 2+2十5×5=100.综上所述，这个等 180° 腰三角形的顶角的度数是30或100°， 5.B解析：如图，C1,C2,C3即为满 足条件的格点。 C ◆C2 B (第5题)》 36 6.D解析：①如图①，以点B为圆 心，BC长为半径画弧，交AB于点D, 则△BCD是等腰三角形；②如图②， 以点A为圆心，AC长为半径画弧，交 AB于点E,则△ACE是等腰三角形； ③如图③，以点C为圆心，BC长为 半径画弧，交AC于点F,则△BCF 是等腰三角形；④如图④，以点C为 圆心，BC长为半径画弧，交AB于点 K,则△BCK是等腰三角形：⑤如图 ⑤，作AC的垂直平分线交AB于点 H,则△ACH是等腰三角形： ⑥如图⑥，作AB的垂直平分线交 AC于点G,则△AGB是等腰三角形： ⑦如图⑦，作BC的垂直平分线交 AB于点I,则△BCI是等腰三角形 综上所述，可以画出的不同的等腰三 角形的个数最多为7. ② ⊙ ⑦ (第6题) 7.90°或67.5°或45°解析：①当 AO=AP时，∠O=∠APO=45°，所 以∠A=180°-∠0-∠AP0=90.