第5章 2 第3课时 角平分线的性质-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版）

拔尖特训·数学（北师版）七年级下 第3课时 角可 自基础进阶 1.如图，根据作图痕迹及相关信息，推 断∠ABD的度数为 ( D A.30 B.33° B C.35 D.38% (第1题) 2.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，DA= 3,BC=5,对角线BD平分∠ABC,则 △BCD的面积为 ( ) A.8 B.7.5 C.15 D.无法确定 (第2题) 3.(2024·湖南)如图，在锐角三角形ABC 中，AD是边BC上的高，在BA,BC上分 别截取线段BE,BF,使BE=BF;分别以 点E,F为圆心，大于2EF的长为半径在 ∠ABC内画弧，两弧交于点P,作射线 BP,交AD于点M,过点M作MN⊥AB 于点N.如果MN=2,AD=4MD,那么 AM= MAD 大F (第3题) 4.如图，某市有两条相交的公路，A,B两处是 两个居民区，现要在居民区旁边修建快递点， 为了方便，要使快递点到两条公路的距离相 等，并且到两个居民区的距离也相等.请在图 上区域①内画出这个快递点的位置P. A① (第4题) 90 拍照批改 Z分线的性质 ●“答案与解析”见P34 幻素能攀升 5.如图，ABCD,BP和CP分别平分 ∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与 AB垂直，若AD=8,则点P到BC答案讲解 的距离是 () A.8 B.6 C.4 D.2 D (第5题) (第6题) 6.如图，在△ABC中，∠C=90°，O是∠CAB, ∠ABC的平分线的交点，BC=8cm,AC= 6cm,AB=10cm,则，点O到边AB的距离为 ( A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4cm 7. 把两把同样大小的含30°角的三角尺（记作 △ABC,△BCD)按如图所示的方式进行摆 放，其中M是AB与CD的交点，则可以得到 结论：MA的长度等于点M到BC的距离.请 用一个你学过的数学定理解释这个结论： B (第7题) 8.(2024·平顶山汝州期末)如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=12.使用尺规进行如下作 图：在AC和AB上分别截取AM,AN,使 AM=AN,分别以点M,N为圆心，大于 2MN的长为半径作弧，两弧在∠CAB内交 于点F,作射线AF交边BC于点D. (1)根据作图，可知AD是△ABC的一条 线 (2)过点D作DE⊥AB于点E.若CD=4, S△ABD=30,求BE的长 N (第8题) 9.如图所示为四边形ABCD,求作点P,使 ∠PCB=∠B,且点P到边AD,CD的距离 相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）. (第9题) 10.如图，在△ABC中，点D在边BC 的延长线上，∠ACB=100°， ∠ABC的平分线交AD于点E,答案讲解 过点E作EH⊥BD,垂足为H,且 ∠CEH=50°. (1)求∠ACE的度数， (2)如果AC十CD=14,AB=8.5,且S△4D= 第五章图形的轴对称 21,求△ABE的面积. H (第10题) 思维拓展 11.如图①，在四边形ABCD中，AC 平分∠BAD,∠B和∠D都是直角. (1)试说明：BC=CD. 答案讲解 (2)若将题干中的已知条件“∠B和∠D都 是直角”改为“∠B和∠D互为补角”，其余 条件不变，如图②，猜想：BC边和邻边CD 的长度是否一定相等？请判断并说明理由. ③ (第11题) 91段BC的垂直平分线，所以DB=DC, EF⊥BC.所以∠DBC=∠C=52°.所 以∠BDM=90°一52°=38°.由作图可 知，DG=DM,所以∠DMG= ∠DGM=7×180°-38)=71R.所 以∠GMB=90°-71°=19°. 8.3cm解析：如图，过点P作 PM⊥AB于点M.因为BD垂直平分 线段AC,所以AB=CB.所以∠ABD ∠CBD.因为AE=7cm,AP=4cm, 所以PE=AE-AP=3cm.因为 PM⊥AB,PE⊥CB,所以易证 △BPM≌△BPE.所以PM=PE= 3cm,即点P到直线AB的距离是 3 cm. (第8题) 9.连接DB. 因为∠ABC=50°， 所以∠BAC+∠BCA=180° 50°=130°. 因为DE,DF分别为边BC,AB的垂 直平分线， 所以DB=DC,DB=DA 所以∠DCB=∠DBC,∠DAB= ∠DBA,DC=DA. 所以∠DCB+∠DAB=∠DBC+ ∠DBA=50° 所以∠DAC+∠DCA=130° 50°=80°. 因为DC=DA, 所以∠ACD=∠CAD=40°. 方法归纳 有关线段垂直平分线的 辅助线添加技巧 解决有关问题时，若存在线段 垂直平分线的条件，要注意寻找或 添加辅助线构造具有线段垂直平 分线性质的基本图形，从而巧妙解 决问题。 10.(1)因为△ABC是等边三角形， 所以∠BCA=∠BAC,AB=CB. 因为CD=AB, 所以CD=CB. 因为CD∥AB, 所以∠ACD=∠BAC. 所以∠ACD=∠BCA. 在△BCO和△DCO中， CB=CD, ∠BCO=∠DCO, CO-CO, 所以△BCO≌△DCO 所以易得∠BOC=∠DOC=90°， BO-DO. 所以AC垂直平分BD (2)由(1)，知AC垂直平分BD, 所以NB=ND. 因为ND=NM, 所以NB=NM. 11.(1)因为AB,AC的垂直平分线 分别交BC于点P,Q, 所以AP=BP,AQ=CQ. 所以∠BAP=∠B,∠CAQ=∠C. 因为∠BAC=130°， 所以∠B+∠C=180°-∠BAC=50°. 所以∠BAP+∠CAQ=50 所以∠PAQ=∠BAC-(∠BAP+ ∠CAQ)=130°-50°=80°. (2)①80°：2a-180° ②135°. ③因为AB,AC的垂直平分线分别 交BC于点P,Q, 所以AP=BP,AQ=CQ. 因为BC=10cm, 所以AP+PQ+AQ=BP+PQ+ CQ=BC=10 cm. 所以△PAQ的周长为10cm. 第3课时角平分线的性质 1.C2.B3.6 4.如图，点P即为所求作. B (第4题) 34 5.C解析：如图，过点P作PE⊥ BC于点E.由条件可知，PD⊥CD.因 为BP和CP分别平分∠ABC和 ∠DCB,所以PA=PE,PD=PE.所 以PE=PA=PD.因为PA+PD= AD=8,所以PA=PD=4.所以 PE=4,即，点P到BC的距离是4. B A E人 (第5题) 6.B解析：如图，过点O作OD⊥ AB于点D,OE⊥AC于点E,OF⊥ BC于点F,连接OC.因为O是 ∠CAB,∠ABC的平分线的交点，所 以OD=OE,OD=OF.所以OD= OE=OF.因为S△ow+S△AoC+ S△c=S△AC,所以2AB·OD十 2AC,OE+BCOF=号AC· BC.设0D=xcm,则有号X10x+ ×6x+2×8x=7×6X8,解得 1 1 x=2.所以OD=2cm,即点O到边 AB的距离为2cm. D E F C (第6题) 7.角平分线上的点到角两边的距离 相等解析：过点M作MH⊥BC于 点H.因为∠BCD=30°，∠ACB= 60°，所以∠ACM=60°一30°=30°.所 以∠ACM=∠MCH.所以CD平分 ∠ACB.因为∠A=90°，所以MA⊥ AC.因为MH⊥BC,所以MA= MH.所以MA的长度等于点M到 BC的距离.用学过的数学定理解释 这个结论为角平分线上的点到角两边 的距离相等. 8.(1)角平分. (2)因为∠C=90°， 所以CD⊥AC. 因为AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB, 所以DE=CD=4. 因为S△ABD=30, 所以2AB·DE=2ABX4=30. 所以AB=15. 在△ACD和△AED中， ∠C=∠AED=90°，∠CAD= ∠EAD,AD=AD, 所以△ACD≌△AED. 所以AC=AE=12. 所以BE=AB-AE=15-12=3. 9.如图，点P1,P2即为所求作 B (第9题) 10.(1)因为∠ACB=100°， 所以∠ACD=180°-100°=80°. 因为EH⊥BD, 所以∠CHE=90°. 因为∠CEH=50°， 所以∠ECH=180°-90°-50°=40°. 所以∠ACE=80°-40°=40°. (2)如图，过点E分别作EM⊥BF于 点M,EN⊥AC于点N. 因为BE平分∠ABC,EH⊥BD, 所以EM=EH. 因为∠ACE=∠ECH=40°， 所以CE平分∠ACD. 又因为EN⊥AC,EH⊥BD, 所以EN=EH. 所以EM=EN=EH. 因为AC+CD=14,S△AD=21, 所以S△AD=S△AE+S△CD= 2AC·EV+3CD·EH 24c+CD)·EH=21,即2× 14·EH=21. 所以EH=3. 所以EM=3. 因为AB=8.5, 1 所以S△AE=2AB·EM=2 8.5X3=5 M B C H D (第10题) 11.(1)因为∠D=∠B=90°， 所以CD⊥AD,CB⊥AB. 因为AC平分∠BAD, 所以BC=CD. (2)一定相等. 理由：如图，过点C作CE⊥AD,交 AD的延长线于点E,作CF⊥AB于 点F 所以∠ADC+∠CDE=180°. 因为∠ADC与∠ABC互补， 所以∠ADC+∠ABC=180. 所以∠CDE=∠ABC. 又因为AC是∠BAD的平分线， 所以CE=CF. 在△BCF和△DCE中， ∠FBC=∠EDC, ∠CFB=∠CED=90°， CF=CE, 所以△BCF2△DCE(AAS). 所以BC=CD. E B (第11题) ☆问题解决策略：转化 1.D解析：如图，将△ABC沿着过 点D的直线折叠，使点B落在AC边 上的点E处，所以BD=DE.易得当 DE⊥AC时，DE最短，即BD最短. 所以∠CDE=90°-∠C=90°-44° 46°.所以∠BDE=134.因为BD= 35 DE,所以∠DBE=∠DEB=23°.因 为∠ABC=180°-∠A-∠C= 180°-66°-44°=70°，所以∠ABE= ∠ABC-∠DBE=70°-23°=47°. D (第1题) 2.2 3.如图，点E,F即为所求作。 B 0 0 (第3题) 4.(1)①100°.解析：因为点P关 于射线OM的对称点是G,点P关于 射线ON的对称点是H,所以OM平 分∠POG,ON平分∠POH.所以 ∠GOH=2∠MON=2X50°=100. ②因为点P关于射线OM的对称点 是G,点P关于射线ON的对称点是 H,P0=5, 所以GO=HO=PO=5. 当∠MON=90时，∠GOH=180°，点 G,O,H在同一直线上， 此时GH=GO+HO=10. (2)如图，分别作点P关于OM,ON 的对称点P',P",连接OP,OP', OP",P'P",P'p"分别交OM,ON于 点A,B,则AP=AP',BP=BP",此 时△PAB的周长取最小值，为P'P” 的长 由轴对称的性质，可得OP'=OP= OP",∠P'OA=∠POA,∠P"OB= ∠POB, 所以∠P'OP"=2∠MON=2X 60°=120° 所以∠OP'P”=∠OP"P′=(180° 120°)÷2=30°