第4章 问题解决策略 特殊化-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版）

拔尖特训·数学（北师版）七年级下 照批改 ☆问题解决策略：特殊化 ●“答案与解析”见P30 自基础进阶 幻素能攀升 1.如图所示的图形的相邻两边均互相垂直，则4.在等边三角形ABC中，∠BAC与 这个图形的周长为 ∠ACB的平分线交于点O,点M, N分别在直线AC,AB上，且答案讲解 ∠MON=60°，请猜想CM,MN,AN三者之 16 (第1题) 间的数量关系 A.37 B.26 C.42 D.21 先将问题特殊化，如图①，在等边三角形 2.将n个边长都为1cm的正方形按如图所示 ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点 的方式摆放，点A1,A2,…,A,分别是正方 O,点M,N分别在边AC,AB上，AM= 形的中心，则个这样的正方形重叠部分（涂 AN,且∠MON=60°. 色部分)的面积和为 (1)如图①，直接写出CM,MN,AN三者之 间的数量关系 (2)如图②，当AM≠AN,且点M,N分别 在边AC,AB上时，(1)中的结论是否仍然成 (第2题) 立？请说明理由 A.cm2 B.cm (3)当点M在边AC上，点N在BA的延长 线上时，请你在图③中补全图形，标出相应的 C.cm D.()cm 字母，并直接写出线段CM,MN,AN三者之 3.如图，该图案由三个叶片组成，且其绕点O旋 间的数量关系 转120°后可以和自身重合.若三个叶片的总 面积为12cm,∠AOB=120°，求图中涂色部 分的面积. (第4题) (第3题) 80 第四章三角形 拍照批改 第四章整合拔尖 ●“答案与解析”见P30 壁知识体系构建 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形 认识三角形 定义 三角形三个内角的和等于180 三角形的内角和， 直角三角形的两个锐角互余 三角形的任意两边之和大于第三边 三角形的三边关系 三角形的任意两边之差小于第三边 锐角三角形 按角分类 直角三角形 钝角三角形 三角形的分类 三边不相等的三角形 按边分类 等腰三角形等边三角形 三 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和 定义 垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高 三角形的高 性质 三角形的三条高所在的直线交于一点 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这 定义 个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线 三角形的角平分线 性质 三角形的三条角平分线交于一点 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作三 定义 角形的中线 三角形的中线 性质三角形的三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心 性质 全等三角形的对应边相等、对应角相等 全等三角形 SSS:三边分别相等的两个三角形全等 ASA:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 判定 AAS:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的 两个三角形全等 SAS:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 应用 利用三角形全等测距离 91高频考点突破 考点一三角形的三边关系 甲 乙E 典例1如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其 (典例1图) 中一根小棒剪开.若得到的两根小棒与另一根 A.甲 B.乙 小棒能组成三角形，则剪开的小棒是()C.甲或乙 D.甲、乙均不可以 81由(1)，得△BDE≌△ADC. 所以∠DBE=∠DAC,BE=AC. 所以∠DAC=∠FCM,AC=CM. 因为∠ADC=90 所以∠DAC+∠ACD=90°. 所以∠FCM+∠ACD=90°，即 ∠ACM=90° 所以AC⊥CM. 9.(1)SAS:1<BD<9 (2)如图，延长ND至，点F,使FD= ND,连接AF,MF. 因为D是AC的中点， 所以AD=CD. 在△AFD和△CND中， AD-CD ∠ADF=∠CDN, FD-ND 所以△AFD≌△CND. 所以AF=CN. 因为DM⊥DN, 所以∠FDM=∠NDM=90°. 在△MDN和△MDF中， ND-FD, ∠NDM=∠FDM, MD-MD 所以△MDN≌△MDF」 所以MN=MF. 在△AFM中，由三角形的三边关系， 得AM+AF>MF】 所以AM+CN>MN. D (第9题) ☆问题解决策略：特殊化 1.C2.C 3.因为三个叶片的总面积为12cm2, ∠AOB=120°， 所以易得涂色部分的面积=360× 120 12=4(cm2). 4.(1)CM=MN+AN. (2)成立. 理由：如图①，在AC上截取CD= AN,连接OD. 因为△ABC为等边三角形，∠BAC 与∠ACB的平分线交于点O, 所以易得∠OAB=∠OAC= ∠OCA=30° 所以OA=OC,∠AOC=120°. 在△CDO和△ANO中， OC-OA, ∠OCD=∠OAN, ACD-AN. 所以△CDO2△ANO(SAS). 所以OD=ON,∠COD=∠AON. 因为∠MON=60°， 所以∠COD+∠AOM=∠AON+ ∠AOM=60° 因为∠AOC=120°， 所以∠DOM=60. 在△DMO和△NMO中， OD-ON, ∠DOM=∠NOM, OM=OM, 所以△DMO≌△NMO(SAS). 所以DM=NM. 所以CM=CD+DM=AN+MN. (3)补全图形如图②所示. AN+CM=MN. (第4题) 第四章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1B [变式](a2+b2-c2)2-4a2b= (a2+b2-c2+2ab)(a2+b2-c2 2ab)=[(a+b)2-c2][(a-b)2 c2]=(a+b+c)(a+b-c)(a-b- c)(a-b+c). 30 因为a,b,c为三角形的三边长 所以a+b+c>0,a+b-c>0,a b-c<0,a-b+c>0. 所以(a2+b2-c2)2-4a2b2的值-定 为负 典例2(1)因为∠1=∠2=35°， 所以∠ADB=180°-35°-35°=110°. 所以∠3=∠4=70°. 所以∠DAC=180°-∠3-∠4=40°. (2)因为AD为△ABC的中线， 所以BD=CD. 因为△ABD的周长比△ACD的周长 大3， 所以AB+AD+BD-(AC+AD+ CD)=3. 所以AB+AD+BD-AC-AD一 CD=3. 所以AB-AC=3. 因为AB=9, 所以AC=6. [变式]B 典例312解析：如图，过点D作 DG⊥BE,交BE的延长线于点G.因 为BD⊥AB,所以∠ABC=90° ∠DBC=∠BDG.因为AB=BD, ∠ACB=90°=∠G,所以△ABC≌ △BDG.所以AC=BG.在△CFE和 ∠FCE=∠G=90°， △GDE中，〈∠CEF=∠GED,所 EF=ED. 以△CFE≌△GDE.所以CE=GE= 2BC=3.所以CG=CE+EG=3+ 3=6.所以AC=BG=BC+CG=6+ 6=12. (典例3图) [变式](1)因为DB是边AC上 的高， 所以∠ABE=∠DBC=90°. 在△ABE和△DBC中，