第2章 1 第2课时 垂直-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版）

拔尖特训·数学（北师版）七年级下 第2课时 自基础进阶 1.如图，AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点 O,则图中∠1与∠2的关系是 A.对顶角 B.互补 C.互余 D.相等 C B (第1题) (第2题) 2.如图所示为测量跳远成绩的示意图，直线 是起跳线，则需要测量的线段是 A.AB B.CD C.AC D.BC 3.新考法·开放题如图，AD⊥BD,BC⊥CD, AB=5,BC=3,则BD的长可能是 (写出一个即可)，依据是 C (第3题)》 4.如图，P是∠AOB的边OB上的一点， (1)过点P画OB的垂线，交OA于点C (2)过点P画OA的垂线，垂足为H. (3)线段PH的长度是点P到射线 的距离，线段 的长度是点 C到射线OB的距离. (4)因为直线外一点与直线上各点连接的 有线段中，垂线段最短，所以线段PC,PH,OC 之间的大小关系是 (用“<”连接). (第4题) 28 拍照批改 垂直 “答案与解析”见P9 素能攀升 5.如图，P是直线a外的一点，点A,B,C在直 线a上，且PB⊥a,垂足是B,PA⊥PC,则 下列说法中，不正确的是 A.线段PB的长是点P到直线a的距离 B.在PA,PB,PC三条线段中，PB最短 C.线段AP的长是点A到直线PC的距离 D.线段AP的长是点C到直线PA的距离 (第5题) (第6题)》 6.如图，直线AB和CD相交于点O,OE⊥CD, OF将∠BOD分成2：3的两个角.若较小角 ∠DOF=30°，则下列结论中，正确的是() A.∠AOE=10° B.∠AOC=80 C.∠BOC=105°D.∠BOF=501 7.新情境·现实生活如图，王师傅为了检验门框 AB是否垂直于地面，在门框AB的上端A 处用细线悬挂一铅锤，看门框AB是否与细 线重合.若门框AB垂直于地面，则AB与 AE重合，否则AB与AE不重合.请你用所 学的数学知识说明道理： B D (第7题) (第8题) 8.如图，直线AB,CD相交于点O, OE⊥OF,OC平分∠AOE,且 ∠BOF=2∠BOE,则∠BOD的度答案讲解 数为 9.如图，将三角尺COD的直角顶点O放在直 线AB上. (1)若线段OC的长是点C到直线AB的距 离，则点D在直线AB (填“上”或 “外”). (2)比较CD与OD的大小，并说明理由. C 0 (第9题) 10.如图，直线AB与CD相交于点O,OF,OD 分别是∠AOE,∠BOE的平分线. (1)图中∠DOE的补角有 个 (2)试判断OF和CD的位置关系，并说明 理由. (3)若∠BOE=59°，求∠EOF的度数. C (第10题) 第二章相交线与平行线 物思维拓展 11.如图，点A,O,B在同一条直线上， ∠COB=25°.若从点O引出一条 射线OD,使OD⊥OC,则∠AOD答案讲解 的度数为 C A —B (第11题) 12.如图，直线AB,CD相交于点O,CD⊥OF, OE平分∠BOD. (1)若∠AOC=72°，求∠EOF的度数 (2)若∠DOE比∠BOF大24°，求∠AOF 的度数 (第12题) 2四∠BOC=56°，所以∠COD 名∠0C=古×56=28，因为 ∠AOC和∠COD互余，所以 ∠AOC=90°-28°=62°.①当OA, OB在OC的异侧时，如图①， ∠AOB=∠AOC+∠BOC=62°+ 56°=118°.②当OA,OB在OC的同 侧时，如图②，∠AOB=∠AOC一 ∠BOC=62°-56=6°.综上所述， ∠AOB的度数为118°或6°. 0 E ① ② (第8题) 9.35.7°解析：因为∠COE与∠2 是对顶角，∠2=31°24'，所以 ∠COE=∠2=31°24'=31.4°.因为 ∠AOB是平角，所以∠1+∠COE+ ∠BOE=180°.因为∠1=94.3°，所以 ∠BOE=180°-∠1-∠COE= 54.3°.所以∠BOE的余角的度数为 90°-54.3°=35.7° 10.11解析：由题意，得∠3+∠a 180°，∠y+∠a=90°，∠3+∠y= 专×180=240所以∠49=180- ∠a,∠y=90°-∠a.所以180° ∠a+90°-∠a=240°.所以∠a= 15.所以∠3=165.因为165÷15= 11,所以∠3是∠a的11倍. 11.(1)∠EOC=∠DOF,∠BOD= ∠FOA. (2)∠DOF的补角有∠DOE,∠FOC, ∠AOB. 12.(1)∠AOD,∠BOC. (2)因为∠AOC:∠AOD=3:7, 所以设∠AOC=3.x,∠AOD=7.x. 由题意，得∠AOC+∠AOD=180°， 即3.x+7x=180°，解得x=18. 所以∠AOC=3.x=54° 因为∠BOD与∠AOC互为对顶角， 所以∠BOD=∠AOC=54. 因为OE平分∠BOD. 所以∠0E=号∠0D-=2r (3)由(2)，知∠DOE=27°， 因为∠EOF=90°， 所以∠DOF=∠EOF一∠DOE= 90°-27°=63 所以∠COF=180°-∠DOF=180° 63°=117 13.(1)平面内3条直线相交于一点， 共有3×2=6（对）对顶角：平面内 4条直线相交于一点，共有4×3= 12(对)对顶角：平面内10条直线相交 于一点，共有10×9=90（对）对顶角： 平面内n条直线相交于一点，共有 n(1一1)对对顶角. (2)若(1)中的直线两两相交，且不一 定交于一点，(1)中的结论仍然成立. 一方法归纳 对顶角的计数方法 两条直线相交是对顶角存在 的前提，或者说，对顶角存在的基 本图形是两条相交的直线.两条直 线相交形成2对对顶角，3条直线 两两相交，不管交点是1个还是 3个，都形成6对对顶角…条 直线两两相交，形成n(n一1)对 对顶角. 14.(1)①144°：50°. ②∠ACD+∠BCH=180. 理由：因为∠ACB=∠DCH=90°， 所以∠ACH+∠BCH+∠DCB+ ∠BCH=180°. 所以∠ACD+∠BCH=180°. (2)因为∠CAB=∠EAF=60°， 所以∠CAB+∠EAF=120. 所以∠CAE+∠EAB+∠BAF+ ∠EAB=120. 所以∠CAF+∠EAB=120°. 9 第2课时垂直 1.C2.B3.答案不唯一，如4 直线外一点与直线上各点连接的所有 线段中，垂线段最短 4.(1)如图所示. (2)如图所示. (3)OA;PC. (4)PH<PC<OC. B A (第4题) 5.D 6.C解析：由题意，可知∠BOF= 乞∠DOF=45,故选项D错误.因为 3 OE⊥CD,所以∠DOE=90°.所以 ∠AOE=180°-∠DOE-∠DOF- ∠BOF=15°，故选项A错误.所以 ∠AOC=180°-∠DOE-∠AOE= 75°，故选项B错误.所以∠BOC 180°-∠A0C=105°，故选项C正确. 7.同一平面内，过一点有且只有一条 直线与已知直线垂直 8.75°解析：因为OE⊥OF,所以 ∠EOF=90°.因为∠BOF= 2∠BOE,∠BOF+∠BOE=∠EOF, 所以3∠BOE=90°.所以∠BOE= 30°.所以∠AOE=180°一∠BOE= 180°一30°=150°.因为0℃平分 ∠AOE所以∠AOC=2∠AOE= 号×15w=5.因为∠0D与 ∠AO℃互为对顶角，所以∠BOD= ∠A0C=75°. 9.(1)上. (2)CD>OD 理由：因为OD⊥OC, 所以点D与OC上各点连接的所有 线段中，垂线段OD最短. 所以CD>OD. 10.(1)3. (2)OF⊥CD. 理由：因为OD平分∠BOE, 所以∠BOD=∠DOE. 因为OF平分∠AOE, 所以∠AOF=∠EOF. 因为∠BOD+∠DOE+∠AOF+ ∠EOF=180°， 所以∠DOE+∠EOF=90°，即 ∠DOF=90° 所以OF⊥CD. (3)因为OD平分∠BOE, ∠BOE=59°， 所以∠DOE=29.5. 因为∠DOE+∠EOF=90°， 所以∠E0F=90°-29.5°=60.5 11.65或115°解析：如图①，当OD 在直线AB上方时，因为OD⊥OC,所 以∠D0C=90°.因为∠COB=25,所 以∠AOD=180°-90°-25°=65°.如 图②，当OD在直线AB下方时，因为 OD⊥OC,所以∠DC=90°.因为 ∠COB=25°，所以∠BOD=90° 25°=65°.所以∠AOD=180°-65° 115.综上所述，∠AOD的度数为65 或115. D 0 D ② (第11题) 12.(1)因为CD⊥OF, 所以∠DOF=90° 因为∠BOD=∠AOC=72°，OE平 分∠BOD, 所以∠DOE=2∠BOD=36° 所以∠EOF=∠DOF一∠DOE= 90°-36°=54 (2)设∠BOF=x°，则∠DOE=(x十 24) 因为OE平分∠BOD, 所以∠BOD=2∠DOE=2(x+24). 因为∠BOD+∠BOF=∠DOF= 90°， 所以2(x十24)°+x°=90°，解得 x=14. 所以∠BOF=14°. 所以∠AOF=180°-∠BOF=166. 2探索直线平行的条件 第1课时利用同位角判定 两直线平行及平行公理 L.C2.DE CF AB同位 DECF3.过直线外一点有且只 有一条直线与这条直线平行 4.(1)∠1与∠2，∠3与∠4 (2)如果∠1=∠2，那么ABCD. 如果∠3=∠4，那么CDEF】 (3)AB//EF 理由：平行于同一条直线的两条直线 平行. 5.B 6.C解析：因为同一平面内，过直线 外一点有且只有一条直线与这条直线 平行，所以过直线1外一点O的四条 直线中，最多只有一条直线与直线 平行.所以与直线（相交的直线至少 有3条. 7.C 8.50°解析：因为EF⊥MN,所以 ∠MFE=90.当∠2=50°时， ∠MFB=∠MFE+∠EFB=90°+ 50°=140°.所以∠AFN=140°.所以 ∠AFN=∠1.所以AB/CD. 9.(1)如图所示. (2)如图所示. (3)DE//MN. 理由：因为DEAB,MN∥AB, 所以DEMN. B /E C (第9题) 10.EC∥DF. 因为BD平分∠ABC,CE平分∠ACB, 10 所以∠DBF=专∠ABC,∠CB= 1 ∠ACB, 因为∠ABC=∠ACB, 所以∠DBF=∠ECB 因为∠DBF=∠F, 所以∠ECB=∠F. 所以EC∥DF. 1L.C解析：直线AB,CD被直线 EF所截，形成4对同位角：射线GM 和直线CD被直线EF所截，形成2对 同位角；射线GM和射线HN被直线 EF所截，形成2对同位角；射线HN 和直线AB被直线EF所截，形成2对 同位角.所以题图中同位角共有4十 2+2+2=10(对). 12.因为∠CNF+∠BMN=180°， ∠CNF+∠DNF=180, 所以∠BMN=∠DNF. 所以ABCD 因为∠BMN=∠DNF,∠1=∠2， 所以∠BMN一∠1=∠DNF一∠2， 即∠PMN=∠QNF 所以MP∥NQ. 第2课时利用内错角、同旁 内角判定两直线平行 1.D 方法归纳 “三线八角”的识别技巧 判断同位角、内错角、同旁内 角的方法是找出每对角的四边所 在的三线，两边所在的公共线就是 截线，其他两边所在的直线就是被 截的两直线.再根据同位角、内错 角、同旁内角的概念分别判断各对 角的类型.若是较难判断，则可以 将图形分割，单独画出每对角的四 边所在的三线，再进行判断.同位 角的边构成“F”形，内错角的边构成 “Z”形，同旁内角的边构成“U”形. 2.B3.答案不唯一，如∠A十 ∠B=1801 4.AB//CD.