第1章 3 第3课时 完全平方公式的认识-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版）

b+号)a-b)-b3=(a+b)(a b)-b2=a2-262.因为a>0,b>0, 所以a2-b2>a2-262.所以S1>S2. 7.B解析：因为(m3+2n）· (仔m3-2m)+(2a-4)4+2) 1 6m-4n2+4n2-16=6m3-16, 所以其值与的值无关. 8.6解析：因为(a2+b2+1)· (a2+b2-1)=35,所以[(a2+b2)+ 1][(a2+b2)-1]=35,即(a2+ b2)2-1=35.所以(a2+b2)2=36.因 为a2+b2≥0，所以a2十b2=6. 9.小明解析：设三种木棒的长度分 别为x一1，x和x十1，则小明所摆的 正方形的面积为x2,小刚所摆的长方 形的面积为(x十1)(x一1).因为 x2-(x+1)(x-1)=x2-(x2 1)=x2一x2+1=1>0,所以x2 (x十1)(x一1).所以小明摆的图形的 面积较大， 10.(1)原式=x一4. 当x=6时，原式=6-4=2. (2)原式=4m2-49n2-(m2- 25n2)=3m2-24n2. 当m=-3,n=2时，原式=3× (-3)9-24×()月 =27-6=21. 11.(1)B. (2)①4. ②原式=(242-232)+(222-21)+ (202-192)+…+(22-1)=(24+ 23)X(24-23)+(22+21)×(22 21)+(20+19)×(20-19)+·+ (2+1)×(2-1)=24+23+22+21+ 20+19+.+2+1= 24×(24+D=300. 2 12.因为大正方形的边长为a,小正 方形的边长为b, 所以大正方形的面积为a,小正方形 的面积为b2. 由题意，得a2一b2=10. 由题图，可知涂色部分的面积= 2DE·c+DE·CG=2× 1 (a-b)Xa+2X(a-b)Xb- 2a-b)(a+b)=2(a2-b)= 合×10=5 1B.D原式=2×(8-1)×(3+ 1)×(32+1)×(34+1)×(38+1)× 35+1)-2×g-1)x(3+1D× (3+1)×(3+1)×(36+1)=2× (34一1)×(3+1)×(38+1)×(316+ 1D=2×(3-1)X(3+1DX3+ 1D=7×(3-1DX(3+1)=号× (32-1)=32-1 2 (2)原式=是×6-1D×(5+1)× (52+1)X(54+1)X.X(52048+ 1)-5=上×6s-1)- = 4 4 54096 1 4 4 第3课时完全平方公式的认识 1.C2.(a-b)2=a2-2ab+b2 3.25解析：因为m=5一21，所以 m十21=5.所以(m+2)2=m2+ 4mm+4n2=52=25. 4.(1)原式=16a2+8a+1. (2)原式=4u-2ab+b. (3)原式=(0.2.x2+0.1)2= 0.04x4+0.04x2+0.01. (4)原式=4a2-12ab+9b2-9a2+ 12ab-4b2=-5a2+5b2. 5.B解析：因为(2x+m)2=4x2+ 4m.x+m2=4x2+2x+9,所以4m= n,m2=9.由m=9,解得m=士3.当 m=3时，n=12;:当m=一3时，n= 一12.综上所述，n的值为士12. 5 6.C解析：因为该正方形的周长为 8a十4b,所以边长为2a十b.所以面积 为(2a+b)2=4a2+4ab+b2. 7.C解析：因为u+b=2,ab=3 4 所以(a-b)2=(a+b)2-4ab=22 4×3=1,所以a-b=±1. 4 一方法归纳 完全平方公式的变形技巧 将完全平方公式(a十b)2= a2+2ab+b2,(a-b)2=a2 2ab+b2进行变形，得到a2+b2 (a-b)2+2ab=(a+b)2-2ab= 2[(a+b)2+(a-b)2]:b 2[a+6-a-]=- 1 [a-6)2-a2-b]=子[a+ b)2-(a-b)2];(a+b)2 (a-b)2+4ab=2(a2+b2)- (a-b)2:(a-b)2=(a+b)2 4ab=2(a2+b2)一(a+b)2.根据 这些变形，分别将a十b,a一b, a2十b2,ab看成一个整体，则知道 其中任意两个的值即可求得另外 两个的值 8.士12解析：因为4x2+m.xy+ 9y2是完全平方式，所以mxy=士2× (士2x)×(士3y)=±12.xy.所以m= ±12. 923解：因为(a+) =a2+ 1 1 2+专=5，所以a+京=25 2=23, 10.由题意，得(m+n)2十(m一n)2= m2+2mm+n2+m2-2n+n2= 2m2+2n2=2(m2+n2). 所以“发现规律”中的结论正确。 第4课时完全平方公式的应用 1.B2.8xy3.m4-2m2n2+n 4.(1)原式=(200+1)2=40000+ 400+1=40401.拍照批改 第3课时完全 白基础进阶 1.下列多项式的乘法中，能用完全平方公式计 算的是 () A.(m-n)(-m-n)B.(m+n)(-m+n) C.(m-n)(-m十n)D.(m+2)(m-1) 2.数形结合思想利用图形中面积的等量关系可 以得到某些数学公式，例如：如图①，我们可 以得到两数之和的平方公式为(a+b)2= a2+2ab+b2.如图②，能得到的数学公式为 ① ② (第2题) 3.已知m=5-2m,则代数式m+4m+ 4n2的值为 4.计算： (1)(4a+1)2. 2(a2b (3)(-0.2x2-0.1)2. (4)(2a-3b)2-(3a-2b)2. 第一章整式的乘除 平方公式的认识 “答案与解析”见P5 司素能攀升 5.已知(2x十m)2=4x2+n.x+9,则n的值为 () A.±6B.±12C.±18D.±36 6.若某正方形的周长为8a十4b(a>0,b>0), 则该正方形的面积为 () A.4a2+b2 B.16a2+4b2 C.4a2+4ab+b2 D.16a2+8ab+b2 7*巳知a,b满足a+b=2ah=子，则a-b的 值为 () A.1 B-号C士1D± 8.(2024·菏泽郓城期中)若代数式4x2十 mxy+9y2是完全平方式，则m= 9若a+日5则a+日 10.(2024·平顶山汝州期末)发现规 律：已知两个正整数，则这两个正 整数之和与这两个正整数之差的答案讲解 平方和一定是偶数. 特例验证：假设这两个正整数是2和1，则这 两个正整数之和与这两个正整数之差的平 方和为(2+1)2+(2-1)2=32+1=10. 10÷2=5,即结果是偶数.所以“发现规律” 中的结论在这个特例中成立. 一般探究：假设这两个正整数为m,n,请说 明“发现规律”中的结论正确. 15 拔尖特训·数学（北师版）七年级下 第4课时完全 自基础进阶 1.利用乘法公式计算2982，下列方法中，正确 的是 ( A.2982=3002-300×2+22 B.2982=3002-2×300×2+22 C.2982=3002-22 D.2982=3002+2×300×2+2 2.计算(-x一2y)2一（x一2y)2的结果是 3.化简：(m-n)(m十n)(m2-n2)= 4.运用完全平方公式计算： (1)2012. (2)9.82. (3)19.92+19.9×0.2+0.12. 5.计算： (1)(2m+3n)2-(2m+n)(2m-n). (2)2(x-y)2-(2x+6y)(x-3y). (3)(3x-2y+5)(3x-2y-5). 16 拍照批改 平方公式的应用 ◆“答案与解析”见P5 幻素能攀升 6.对于一个图形，通过两种不同的方法计算它 的面积，可以得到一个数学等式，例如：利用 如图①所示的图形可以得到(a+b)=a2+ 2ab十b,那么利用如图②所示的图形所得到 的数学等式为 ( ) ② (第6题) A.(a+b+c)2=a2+b2+c2 B.(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+ 2ac+2bc C.(a+b+c)2=a2+62+c2+ab+ac+bc D.(a+b+c)2=2a+2b+2c 7.已知(x-2024)2+(x一2026)2=100，则 (x-2025)2= 8.新考向·数学文化我国古代数学家 杨辉在其著作《详解九章算法》中提 到了如图①所示的数表，人们将这答案讲解 个数表称为“杨辉三角”.观察“杨辉三角”与 图②中的等式图，可知(a十b)?展开的多项 式中各项系数之和为 1 11 (a+b)'=a+b 121 (a+b)2=a2+2ab+b 1331 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 14641 (a+b)=a+4a3b+6ab2+4ab3+b1 ① ② (第8题) 9.运用乘法公式计算： (1)(2a-b-3c)2.