第三章 专题特训五、六 巧用平移、旋转解题 与旋转有关的计算证明题与探究题-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

.1<CD<5. (第10题) 11.(1)中心对称. (2)答案不唯一，如图①②所示. ① (第11题) 12.(1),△ABM与△ACM关于直 线AF成轴对称， ∴.△ABM≌△ACM ..AB=AC. :△ABE与△DCE关于点E成中 心对称， '.△ABE≌△DCE ..AB=DC. ..AC=DC. (2)∠F=∠MCD. 理由：由(1)，易得∠BAE=∠CAE= ∠CDE,∠CMA=∠BMA 设∠MPC=a. .∠BAC=2∠MPC,∠BAC= ∠CAE+∠BAE=2∠CAE 2∠BAE, ∴.∠BAE=∠CAE=∠CDE= ∠MPC=a. 设∠BMA=B,则∠PMF= ∠BMA=∠CMA=B. :∠F=∠MPC-∠PMF=a-B, ∠MCD=∠CDE-∠DMC=a-B, .∠F=∠MCD, 3简单的图案设计 1.B2.A603.3 4.如图，图①是由基本图形本>绕 点O按顺时针（或逆时针）方向依次 旋转72°，144°，216°，288得到的： 图©是由基本图形了了绕点O按颗 时针（或逆时针）方向依次旋转90°， 180°，270得到的 图③是由基本图形 绕点O按顺 时针（或逆时针）方向依次旋转90°， 180°，270得到的 设计图案略」 ① ② ③ (第4题) 5.B 6.16解析：图形①一图形④的变换 过程中，图形的面积不变，图形⑤的面 积为4个正方形面积的和，即为4× 22=16. 7.(1)如图①，基本图形是梯形 ABCD.先将该基本图形绕点C顺时 针依次旋转120°，240°，然后整个图形 沿直线m翻折可以得到（合理即可）. (2)答案不唯一，如图②所示 'm ① ② (第7题) 专题特训五巧用平移、 旋转解题 1.B 2.C解析：将小路平移后绿化部分 即是长(30一2)m、宽(22一2)m的长 方形，'.绿化的总面积是(30一2)× (22-2)=560(m2). 一方法归纳 利用平移巧妙解题 图形平移，对应点所连的线段 及对应线段都平行（或在同一条直 线上)且相等，由此利用图形的平 移可将分散零碎的量集中到一起， 从而将不规则图形转化为规则图 形，以巧妙地解决问题 3.C4.4 29 5.9解析：如图，过点A作AD'⊥直 线b于点D'.由题意，易知左下方的 涂色部分的面积与右上方的空白部分 的面积相等，OD'=OD=2.∴.涂色 部分的面积之和=长方形OBAD'的 面积+△B0D的面积=3X2+子× 3×2=9. D (第5题) 6.(1)=. (2)如图①所示 (3)如图②所示. ② (第6题) 专题特训六与旋转有关的 计算证明题与探究题 1.B解析：设A'B交AC于点F. A'B'⊥AC,.∠AFA′=90. ,将△ABC绕点C按顺时针方向旋 转50得到△A'BC,.∠ACA'= 50°，A'C=AC..∴.∠CAA′=∠CA'A. .∠CAA'+∠CA'A+∠ACA'= 180,∴.2∠CAA'+50°=180°. .∠CAA'=65..∠AA'B= 90°-∠CAA'=25. 2.C解析：如图，连接AO. △ABC为等腰直角三角形，O为 BC的中点，∴.OA=OC,∠AOC= 90°，∠BAO=∠AC0=45. :∠EOA+∠AOF=∠EOF=90°， ∠AOF+∠FO℃=∠AO℃=90°， ∴.∠EOA=∠FOC.在△EOA和 ∠EOA=∠FOC, △FOC中， OA=OC, ∠EAO=∠FCO, ∴.△EOA≌△FOC.∴.EA=FC. ∴.AE+AF=FC+AF=AC.故选 项A正确.，△EOA≌△FOC, .∠OEA=∠OFC.∴.∠BEO+ ∠OFC=∠BEO+∠OEA=180°.故 选项B正确..△EOA≌△FOC, ∴.S△mA=S△FC.·S四边形ABO0F= S△mA+S△0F=S△RC+S△AOF= 5am=子Sar,放选项D正确 ,OE=OP,由已知无法确定OE与 BC之间的数量关系，故选项C不一 定正确。 (第2题) 3.60°8V3解析：AB′⊥BC, ∴.∠AOB=90°.∠B=30°， ∴.∠BAB'=180°-∠B-∠AOB= 60°，即旋转角的度数是60°. :△ABC绕点A按逆时针方向旋转 到△ABC的位置，.S△AC S△HCA.∴.S涂色=S△BCA-S△A0c S△Ax-S△Ac=S△AOB.在Rt△AOB 中，∠B=30°，AB=8,..OA= 1 AB=4.OB=4V5.S△0B= 20A·0B=号×4X45=85,即 涂色部分的面积为8√3. 4.2√34一4解析：如图，连接AE, 将AE绕点A按顺时针方向旋转90 得到AE',连接PE',EE.由旋转的 性质，可知AE'=AE,AP=AF, ∠E'AE=∠PAF=90°， .∠E'AP=∠EAF..△APE≌ △AFE..E'P=EF=4..E'P十 EP≥E'E,.当点P在EE上时，线 段PE的长取最小值.：BC=6, BE=CE,BE=号C=2.在长 方形ABCD中，∠ABE=90, ∴.AE=√AB2+BE=√82+2= 27.在Rt△E'AE中，EE= √AE+AE7=2√34，.EP≥ EE-E'P=2√34-4.∴.线段PE 长的最小值为2√34-4. E'g 、D B E C (第4题) 5.,四边形ABCD为长方形， '.∠DAB=∠D=∠B=90° :△AFE是△ADC绕点A按顺时 针方向旋转得到的，点F在AC上， ∴.∠AFE=∠D=90°，∠FAE ∠DAC=30°， .∴.∠E=180°-90°-30°=60°. ,∠DAB=90°， ∴.∠QAB=90°-30°-30°=30°. ∠B=90, .∠AQB=60°. .'.∠PQE=∠AQB=60°=∠E. ∴.△PQE是等边三角形. 6.如图，连接PQ, 由旋转的性质，可知AP=AQ, ∠PAQ=60°， ∴.△PAQ是等边三角形. .PQ=PA=6. ·易知Sap0=2×6X35=9w5. :△ABC是等边三角形， ∴.∠CAB=60°，AC=AB. .∠CAB=∠PAQ=60, .∠CAB-∠BAP=∠PAQ- ∠BAP,即∠CAP=∠BAQ. 在△ACP和△ABQ中， (AC=AB, ∠CAP=∠BAQ, AP=AQ, '.△ACP≌△ABQ '.CP=BQ=10. .PB2+PQ=82+62=100, BQ2=100, 30 .PB2+PQ2=BQ2. ∴.△BPQ是直角三角形，且 ∠BPQ=90° .S△BPQ-2 ×6×8=24 .S四边形APQ=S△BPQ十S△PAQ=24十 93. (第6题) 7.(1)①DE∥AC. ②S1=S2 (2),∠DCE=∠ACB=90°， ∴.∠IDCM+∠ACE=180°. 又，∠ACN+∠ACE=180°， ∴.∠ACN=∠DCM. .DM⊥BC,AN⊥CN, ∴.∠CNA=∠CMD=90° 在△ANC和△DMC中， ∠ACN=∠DCM, ∠CNA=∠CMD, AC=DC, ∴.△ANC≌△DMC. ∴.AN=DM. 又CE=BC, &C·DM=2CE·AN,即 S1=S2 8.(1)如图①，延长FC到点H,使 CH=AE,连接BH」 .·AB⊥AD,BC⊥CD, ∴.∠A=∠BCH=90°. 在△BCH和△BAE中， (BC=BA, ∠BCH=∠A, CH=AE, ∴.△BCH≌△BAE. '.BH=BE,∠CBH=∠ABE .∠ABC=120°，∠MBN=60, ∴.∠ABE+∠CBF=∠ABC- ∠MBN=60°. .∠CBH+∠CBF=60°，即 ∠HBF=60°. '.∠HBF=∠EBF=60. 在△HBF和△EBF中， BH=BE, ∠HBF=∠EBF, BE=BF, .'.△HBF≌△EBF. .HF=EF. .HF=CH+CF=AE+CF, ∴.AE+CF=EF. (2)不成立，EF=AE一CF. 如图②，在AE上截取AQ=CF,连 接BQ. .AB⊥AD,BC⊥CD, ∴.∠A=∠BCF=90°. 在△BCF和△BAQ中， BC=BA, ∠BCF=∠A, CF=AQ, ∴.△BCF≌△BAQ. ∴.BF=BQ,∠CBF=∠ABQ. .∠MBN=60°=∠CBF+∠CBE. .∠CBE+∠ABQ=60 .∠ABC=120°， .∠QBE=120°-60°=60°= ∠FBE. 在△FBE和△QBE中， BF=BQ, ∠FBE=∠QBE, BE=BE. .△FBE≌△QBE. .'EF=EQ. '.AE=EQ+AQ=EF+CF,即 EF=AE-CF. B E M H C D B D N E M ② (第8题) 第三章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1轴对称平移旋转 [变式]③④ 典例2(1)：△ABC沿射线BC方 向平移得到△DEF, .AC∥DF,AD∥BF. ∴.∠ACB=∠F,∠ACB=∠CAD. .'.∠F=∠CAD=56 (2).△ABC沿射线BC方向平移 得到△DEF, .AD-BE-CF 设AD=xcm,则BE=CF=xcm, CE-AD-x cm. 1 ,BC=6cm,即BE+CE=6cm, ·x十2x=6,解得x=4,. ∴.AD=4cm. [变式](1)：ab, .∠DAC=∠ACB. :AC平分∠BAD. '.∠BAD=2∠DAC=2∠ACB. 由平移的性质，得∠ACB=∠DFE, .∠BAD=2∠DFE. (2)设平移的距离为xcm. 由平移的性质，得AC=DF,AD= CF=x cm, ,四边形ABFD的周长是12cm, .∴.AB+BC+CF+DF+AD= AB+BC+AC++2AD=12 cm. .'.9+2x=12,解得x=1.5. ∴.平移的距离为1.5cm. 典例3(1)：把△ABC绕点C按 逆时针方向旋转60°得△DEC, .DC=AC,∠ACD=60° .△ACD是等边三角形. .'.AD=AC=8,∠CAD=60° ∠BAC=90°， .∠BAD=∠BAC-∠CAD=30°. (2)如图，作BF⊥AD于点F,则 ∠AFB=90°. 31 ∠BAC=90°，AC=8,BC=10, ∴.AB=√BC-AC=6. 由(1)得AD=8,∠BAD=30, .BF-AB=3. 1 S△Am=ZAD·BF=zX8X 3=12,即△ABD的面积为12. (典例3图) [变式](1)由旋转的性质，得AB= AD=6,AC=AE=8, .AB+AC=6+8=14. △ABC的周长为24， ∴.AB+AC+BC=24. .∴.BC=24-(AB+AC)=10. (2)∠BAC=72°，∠DAC=32°， ∴.∠BAD=∠BAC-∠DAC= 72°-32°=40°. 由旋转的性质可知，旋转角为40°， ∠C=∠E, ∴.∠CAE=40°. :∠COF=180°-∠EFC-∠C, ∠AOE=180°-∠CAE-∠E, 又∠COF=∠AOE, .180°-∠EFC-∠C=180°- ∠CAE-∠E. ∴.∠EFC=∠CAE=40°. 典例4B [变式]⑤①③②④ 典例5(1)如图，△A,B,C,和 △A2B1C2即为所求. (2)能。 如图，连接AA2,BB1,分别作线段 AA2,BB1的垂直平分线，相交于 点P,易知点P也在线段CC2的垂直 平分线上 .旋转中心点P的坐标为(2，一7). 把△ABC绕着点P按顺时针方向旋第三章图形的平移与旋转 专题特训五 巧用平移、旋转解题 ●“答案与解析”见P29 类型一巧用平移解题 类型三巧用中心对称解题 1.(2025·扬州期末)某长方形草地中需修建 一 5.如图，直线a,b互相垂直且相交于点O,曲线 条等宽的小路（涂色部分），下列四种设计方 C关于点O成中心对称，点A的对应点是 案中，剩余草坪面积最小的方案是 ( A',AB⊥a于点B,A'D⊥b于点D.若OB= 3,OD=2,则涂色部分的面积之和为 B. D. 2.*(2025·邓州期末)如图，某住宅小区内有一 (第5题) 6.知识背景：过中心对称图形的对称 长方形地块，若在长方形地块内修筑同样宽 中心的任意一条直线都将其分成全 的小路（涂色部分），余下部分为绿化，小路的 等的两个部分， 宽为2m,则绿化的总面积是 (1)如图①，四边形ABCD是中心对称图形， 30m 直线EF经过对称中心点O,则S四边形AEFB S四边形DEpC(填“>”“<”或“=”) (第2题) (2)正方形是中心对称图形，将两个正方形 A.660m B.600m 按如图②所示的方式摆放，O为小正方形对 C.560m D.100m2 角线的交点，求作过点O的直线将整个图形 类型二巧用旋转解题 分成面积相等的两部分. 3.如图，两个同心圆中有两条互相垂直的直径， (3)八个大小相同的正方形按如图③所示的 其中大圆的半径是2，则图中涂色部分的面 方式摆放，求作直线将整个图形分成面积相 积是 等的两部分（用三种方法进行分割）， A.4π B.3π C.2π D.π ① ② (第3题) (第4题) 4.如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋 ③ (第6题)》 转120°后可以和自身重合.若每个叶片的面 积为4cm,∠AOB为120°，则图中涂色部分 的面积之和为 cm2. 63 拔尖特训·数学（北师版）入年级下 专题特训六与旋转有关的计算证明题与探究题 类型一与旋转有关的计算证明题 4.如图，F是长方形ABCD内 1.(2025·成都青羊期末)如图，将△ABC绕点 一点，点E在边BC上，连接 C按顺时针方向旋转50°得到△A'B'C,连接 AF,EF.将线段AF绕点A AA',AB'⊥AC,则∠AA'B'的度数为 按顺时针方向旋转90°得到 B E AP,连接PE.若AB=8, (第4题) BC=6,BE=CE,EF=4,则PE长的最 小值为 (第1题) 5.如图，在长方形ABCD中，将Rt△ADC绕，点 A.30°B.25° C.20° D.15 A按顺时针方向旋转得到△AFE,点F恰好 2.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC= 落在对角线AC上，FE交BC于点P,AE交 90°，一块三角尺的直角顶点与边BC的中点 BC于点Q,∠DAC=30°.求证：△PQE是等 O重合，且两条直角边分别经过点A和点B, 边三角形 将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一 个锐角，当三角尺的两直角边与AB,AC分 别交于点E,F时，下列结论中，不一定正确 的是 (第5题) B (第2题) 6.(2025·聊城阳谷期末)如图，P是 A.AE+AF-AC 等边三角形ABC内一点，将线段 B.∠BEO+∠OFC=180 AP绕点A按顺时针方向旋转60 C.OF+OF Bc 得到线段AQ,连接BQ,BP,CP.若PA=6, PB=8,PC=10,求四边形APBQ的面积. D.SI边形ABOP= 2SAABC 3.(2025·运城闻喜期中)如 图，在△ABC中，∠B= 30°，在同一平面内，将 (第6题) △ABC绕点A按逆时针 (第3题) 方向旋转到△AB'C的位置.使得AB'⊥BC 于点O.则旋转角的度数是 ,若 AB=8,则涂色部分的面积为 64 第三章图形的平移与旋转 类型二与旋转有关的探究题 8.已知在四边形ABCD中，AB1 7.如图①，将两个完全相同的△ABC和△DEC AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC= 重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°. 120°，∠MBN=60°，∠MBN绕 (1)如图②，固定△ABC,将△DEC绕点C 点B旋转，它的两边分别交AD,DC(或它们 旋转，点D恰好落在AB上。 的延长线)于点E,F.当∠MBN绕点B旋 ①线段DE与AC的位置关系是 转到AE=CF时（如图①），易证：AE+ ②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为 CF=EF(不必证明)： S2,则S1与S2的数量关系是 (1)如图②，当∠MBN绕，点B旋转到AE≠ (2)当△DEC绕点C旋转到如图③所示的 CF时，求证：AE+CF=EF 位置时，小明猜想(1)中S1与S2的数量关系 (2)如图③，当∠MBN绕点B旋转到AE≠ 仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和 CF时，上述结论是否成立？若成立，请给予 △AEC中BC,CE上的高，请你证明小明的 证明；若不成立，线段AE,CF,EF又有怎样 猜想. 的数量关系？并证明 B(E) B ② A(D ① ② ③ (第7题) M ③ (第8题) 65