第一章 3 直角三角形-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

拔尖特训·数学（北师版）入年级下 3 直角三角形 第1课时 直角三角形的性质与判定 ☑基础进阶 幻素能攀升 1.新情境·现实生活如图①，小华新买了一根跳 5.如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC= 绳，将图①抽象成图②.若两手握住的绳柄两 ∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,点C,D, 端的距离约为1米，小臂到地面的距离约为 E在同一条直线上，连接BD,BE.有下列结 1.2米，则这根跳绳的绳长约为 论：①BD=CE;②BD⊥CE;③∠ACE+ -1米 ∠DBC=45°；④BE2=2(AD2+AB).其 中，正确的个数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 ① ② (第1题) B A.2.2米B.2.4米C.2.5米D.2.6米 2.易错题有下列命题：①在同一平面内，两直 线平行，同位角相等；②全等三角形的对应 (第5题) (第6题) 角相等；③等角对等边；④等边三角形的三 6.新考法·操作实践题如图，在三角形纸片ABC 个内角都相等.其中，原命题与逆命题均为真 中，∠BAC=90°，AB=2,AC=3.沿过点A 命题的个数是 ( 的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的 A.1 B.2 C.3 D.4 点D处；再折叠纸片，使点C,D重合，折痕 3.已知a,b,c是△ABC的三边长.有下列条 与AC的交点为E,则CE的长是() 件：①a=6,b=10,c=8;②∠C=23° &看 c ∠B=57°；③∠B-∠C=∠A;④a2：b2: c2=4:3:1;⑤a2=(b-c)(b+c).其中， 7.新考向·数学文化如图，四个全等的直角三角 能够判断△ABC为直角三角形的为 形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四 (填序号) 边形EFGH都是正方形.若GC=2, 4.如图，在四边形ABCD中，AB=3,BC=4, ∠ADE=30°，则正方形EFGH的面积 ∠ABC=90°，AD=13,CD=12,求四边形 为 ABCD的面积. (第7题) (第8题) (第4题) 8.如图，在正方形网格中，点A,B,C 在小正方形的顶点上，小正方形的 边长都为1，则点C到线段AB所在 直线的距离是 18 第一章三角形的证明及其应用 9.新情境·现实生活某工厂计划生产一批自行份思维拓展 车，如图所示为其车架部分.经测量，AB= 11.细心观察如图所示的图形，认真分析下列各 64cm,AD=80cm,∠BDC=90°，CD= 式，然后解答问题， 55cm,CB=73cm.根据设计要求，需保证 OA=22+4=8,S1=2; ABCD,请判断该车架是否符合设计要求， 并说明理由. 0A=(8)+4=12,S,=2,5-s= 2 2√2； 0A=(WI2)2+4=16,5,=2厘 2 =√12= (第9题) 2√3； (1)Sn= (用含n的代数式表示). (2)推算出OA10= (3)求S+S号+S号++S。的值， A 2 A. 2 2 S. 10.分类讨论思想如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5cm,AC= 02 A (第11题) 4cm,动，点P从点B出发，沿射线 BC以1cm/s的速度运动，连接AP.设运 动时间为ts. (1)求边BC的长. (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值 (3)当△ABP为等腰三角形时，求t的值 B P C (第10题) 19 拔尖特训·数学（北师版）入年级下 第2课时」 直角三角形全等的判定 自基础进阶 幻素能攀升 1.在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C= 5.如图，在△ABC和△DEC中，∠C=90°， ∠C=90°，有下列条件：①AC=AC, AB=DE,AC=DC.有下列结论：①∠A= ∠A=∠A';②AC=A'C',BC=B'C'; ∠D;②∠A+∠DEC=90°；③AE=DB; ③∠A=∠A',∠B=∠B';④∠B=∠B', ④OA=OD.其中，正确的个数为() AB=A'B';⑤AC=A'C,AB=A'B.添加 A.1 B.2 C.3 D.4 其中一个，能判定两个三角形全等的有() A.2个B.3个C.4个D.5个 2.如图，CD⊥AB于点D,EF⊥AB于点F, 0 AC=BE.再添加下列条件中的一个，可证明 D B Rt△ACD≌Rt△BEF.其中，不是利用“HL” (第5题) (第6题) 的是 () 6.如图，P,Q分别是BC,AC上的点，PR⊥AB A.AD=BF B.AC//BE 于点R,PS⊥AC于点S,AQ=PQ,PR= C.CD=EF D.AF-BD PS.有下列结论：①AR=AS;②QP∥AR; ③△BRP≌△CSP.其中，一定正确的是 (填序号). 7.证明命题：“一条直角边相等且另一条直角边 上的中线相等的两个直角三角形全等.”请根 (第2题) (第3题) 据题意，画出图形，并用符号表示已知和求 3.如图，点D在边BC上，DE⊥AB,DF⊥BC, 证，写出证明过程. 垂足分别为E,D,BD=CF,BE=CD.若 ∠AFD=155°，则∠EDF= 4.如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D 90°，AC=BD,AC与BD相交于点O. (1)求证：△ABC≌△DCB. (2)判断△OBC的形状，并证明. (第4题) 20 第一章三角形的证明及其应用 8.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点 思维拓展 D,P为BD上的点，∠ACP=45 10.分类讨论思想如图，在Rt△ABC AP=BC. 中，∠C=90°，AC=10cm,BC= (1)求证：AD=BD, 5cm,P,Q两点分别在线段AC (2)延长CP交AB于点M.若∠APM= 和过，点A且垂直于AC的射线AM上运 60°，BC=2,求PB的长 动，且PQ=AB.当点P运动到AC上什么 位置时，△ABC才能和△APQ全等？ M (第8题) (第10题) 9.如图，Rt△ABC≌Rt△ADE, ∠ABC=∠ADE=90°，BC与DE 相交于点F,连接CD,EB. (1)图中还有哪几对全等三角形？ (2)求证：CF=EF, (第9题) 2四在△ADE和△ADB中， AD-AD, ∠ADE=∠ADB, ED=BD, .∴.△ADE2△ADB. .'AE=AB. ..∠AEB=∠B=2∠C. 又.'∠AEB=∠C+∠EAC, ∴.∠EAC=∠C. .AE=EC. .'AB=EC. .'.CD=EC+ED=AB+BD,即 AB+BD-CD. E D (第6题) 7.如图，延长BD到点F,使BF= BA,连接AF,CF. .∠ABD=60° .△ABF为等边三角形 .AF=AB=AC=BF,∠AFB= 60°. ∴.∠ACF=∠AFC. 又∠ACD=60°， .∠AFB=∠ACD. .∠DFC=∠DCF. .DC=DF. .BD+DC=BD+DF=BF=AB, 即BD+DC=AB. B C (第7题) 8.如图，延长AD,BC交于点E. .∠A=30°，∠B=90°， :BE=号AE,∠E=60 2 .∠ADC=120°， .∠EDC=60. '.易得△EDC是等边三角形 设CD=CE=DE=x. .AD=4,BC=1, ∴.AE=4+x,BE=1+x 六1十2=十40，解得x=2 ∴.CD=2. D (第8题) 3直角三角形 第1课时 直角三角形的性质 与判定 1.D 2.C 一易错警示 判断互逆命题真假的注意事项 (1)由于每个命题都由条件、 结论两部分组成，而将条件和结论 互换就得到其逆命题，因此每一个 命题都有逆命题.注意原、逆命题 的条件、结论互换，一些特定称谓 也随之改变」 (2)互逆命题的真假性不一定 一致.原命题正确，它的逆命题未 必正确.定理都是真命题，其逆命 题有真、假之分.若是真命题，则逆 命题也是定理：否则不是 3.①③④⑤ 4.:∠ABC=90°，AB=3,BC=4, .∴.AC=WAB2+BC2=5. 在△ACD中，AC2+CD2=25+ 144=169=AD2, .△ACD是直角三角形，且 ∠ACD=90 1 '.S四边形ACD= :AB·BC+ 1 1 2AC·CD=2X3X4+ -×5× 12=36. 5.C 6.A解析：由题意，得AD=AB= 2,∠B=∠ADB,CE=DE,∠C= ∠CDE..∠BAC=90°，.∠B+ 9 ∠C=90°.∴.∠ADB+∠CDE=90. ∴.∠ADE=90°..AD2+DE2= AE2.设AE=x,则DE=CE=3-x. 2+(3-x)2=x2,解得x=13 ·CE=3-135 66 7.16一85解析：由题意，得 ∠AED=90°，AE=CG=DH=2. ∠ADE=30°，∴.AD=2AE=4. .DE=√/AD-AE=25. .HE=DE-DH=23-2..正 方形EFGH的面积为HE2=(23- 2)2=16-85. ,解析：如图，延长AB到点 D,连接CD,CA,过点C作CE⊥AD 于点E.,小正方形的边长都为1， ∴.AD=√4+2=25，AC √32+32=3√2，CD=√12+1= √2.，AC2+CD2=18+2=20 AD,.△ACD是直角三角形，且 ∠ACD=9O:AC,CD-AD·CE 2 2 即32×2_25CE 2 2 ，解得CE= 35.点C到线段AB所在直线的 距离是35 5 (第8题) 9.该车架符合设计要求. 理由：∠BDC=90°，CD=55cm, CB=73 cm. .'BD=VBC2-CD2=48 cm. .AB=64 cm,AD=80 cm, .∴.AB2+BD2=AD2 ∴.△ABD是直角三角形，∠ABD= 90°. .∠ABD=∠BDC. ∴.ABCD 10.(1)在Rt△ABC中，∠C=90°， AB=5 cm,AC=4 cm, ∴.BC=V√AB2-AC=3cm. (2)由题意，得BP=tcm,∠B≠90°. 当∠APB=90时，点P,C重合. .t=3. 当∠PAB=90时，如图①所示， ∴.CP=BP-BC=(t-3)cm. AC2+CP2=AP2=BP2-AB2, 25 4+(1-3)2=2-5,解得1=3 综上所述，当△ABP为直角三角形 时4=3或=罗 (3)当AB=AP时，如图②所示. .·AC⊥BC, .BP=2BC,即t=2X3=6. 当AB=BP时，如图③所示. .t=5. 当AP=BP时，如图④所示. .'CP=BP-BC=(-3)cm,AP= BP=t cm. 在Rt△APC中，AC2+CP2=AP2, 即华+（一3）=，解得1=得 综上所述，当△ABP为等腰三角形 时4=5或1=6或要 B C P ④ (第10题) 11.(1)2m (2)210 (3)原式=4+8+12+…+40= (4+40)X10=220. 2 第2课时直角三角形全等的判定 1.C2.B3.65 4.(1)在Rt△ABC和Rt△DCB中， (BC=CB, AC=DB, '.Rt△ABC≌Rt△DCB. (2)△OBC是等腰三角形 .·Rt△ABC≌Rt△DCB, .'.∠ACB=∠DBC .OB=OC. ∴.△OBC是等腰三角形 5.D解析：在Rt△ABC和 AB=DE, Rt△DEC中， ∴.Rt△ABC≌ AC=DC, Rt△DEC.∴.BC=EC,∠A=∠D. ∴.①正确.又∠D+∠DEC=90°， ∴.∠A十∠DEC=90.∴.②正确.又 AC=DC,∴.AC-EC=DC BC,即AE=DB.∴.③正确..易得 △AOE≌△DOB..OA=OD..④ 正确，综上所述，正确的是①②③④， 共4个. 6.①②解析：连接AP.,PR= PS,AP=AP,.Rt△APR≌ Rt△APS.∴.∠RAP=∠SAP, AR=AS.∴.①正确.AQ=PQ, ∴.∠BAP=∠QAP=∠QPA. ∴.QP∥AR.∴.②正确.由现有条件 无法得到△BRP≌△CSP.∴.③不一 定正确.综上所述，一定正确的是 ①②. 7.已知：如图，在Rt△ABC和 Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°， 10 AC=A'C',AD与A'D'分别为BC与 B'C'边上的中线，且AD=A'D'. 求证：△ABC≌△A'B'C', 在Rt△ADC和Rt△A'D'C'中， (AC=A'C', AD-A'D', .Rt△ADC≌Rt△A'D'C' .CD=C'D'. AD与A'D'分别为BC与B'C边 上的中线， .BC=2CD,B'C'=2C'D'. ∴.BC=B'C' 在△ABC和△A'B'C'中， (AC=A'C', 3∠C=∠C', BC=B'C', ∴.△ABC≌△A'B'C'. D B( D (第7题) 8.(1)BD⊥AC,∠ACP=45°， ∴.∠DPC=∠DCP=45,∠ADP= ∠BDC=90° ∴.DP=DC 在Rt△ADP和Rt△BDC中， (AP=BC, DP=DC, ∴.Rt△ADP≌Rt△BDC. ∴.AD=BD (2)'AD=BD,BD⊥AC, ∴.∠DAB=∠DBA=45. 又，∠BPM=∠CPD=45°， ∴.∠PMB=90°. .∠APM=60°， ∴.∠PAM=30°. ·.PM=2AP ,'Rt△ADP≌Rt△BDC, .'AP=BC=2. .PM=1. '.易得PB=√2PM=√2」 9.(1)△ADC2△ABE, △CDF≌△EBF. (2)连接AF .Rt△ABC≌Rt△ADE .AB=AD,BC=DE. 又：∠ABF=∠ADF=90°， AF-AF, ,.Rt△ABF≌Rt△ADF. .BE=DE ∴.BC一BF=DE一DF,即CF= EF】 10.①当AP=BC时， AQ⊥AC, ∴.∠C=∠QAP=90°. 在Rt△ABC和Rt△QPA中， (AB=QP, BC=PA, .'.Rt△ABC2Rt△QPA. .BC=AP. .'AP=5 cm. .此时点P在AC的中点处， ②当AP=AC时， 在Rt△ABC和Rt△PQA中， AB-PQ, AC=PA, ∴.Rt△ABC≌Rt△PQA. ∴.此时点P,C重合 综上所述，当点P位于AC的中点处 或当点P与点C重合时，△ABC才 能和△APQ全等 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的 性质定理及其逆定理 1.B2.D3.50 4..AB=AC,∠BAC=60°， .△ABC是等边三角形. .AB=BC. AD=DC, ∴.点B,D都在AC的垂直平分 线上. .BD是AC的垂直平分线. 5.B 6.D解析：如图，连接AD,AE. ,AB的垂直平分线交BC于点D, AC的垂直平分线交BC于点E, AD=BD=AE=EC=号 DE=2,.AD2+DE2=AE2. ∴.△ADE是直角三角形，且 ∠ADE=90..AC= √/AD2+DC2= √)++-3 2 MX B DE (第6题) 7.50°解析：连接AM.AC的垂 直平分线I交BC于点M,.CM= AM.AB+BM=BC=CM+BM, ∴.AB=CM=AM.∴.∠C= ∠MAC,∠AMB=∠B.设∠C= ∠MAC=x,则∠AMB=∠B=2x. ∴.∠BAC=180°-3.x=105..x= 25°..∠B=2.x=50 解析：如图，设AC与BD交 于点O,连接AD,CD.由作图可知， AD=AB,CD=CB..'.AC垂直平分 BD,即AC⊥BD,OB=OD. ∠ABC=90°，AB=1,BC=2, .AC=√AB+BC=√5. ,S△Ae= 2AC·OB= AB· BC,OB=AB·BC25 AC D 20B=45 5· C (第8题) 9.连接AE,CE. AC,BD的垂直平分线EM,EN 相交于点E, ∴.EA=EC,EB=ED. 在△ABE和△CDE中， (AB-=CD, EA=EC, EB=ED, 11 .'.△ABE≌△CDE. ∴.∠ABE=∠CDE. 方法归纳 利用线段的垂直平分线 解证明题的方法 利用线段的垂直平分线解证 明题时，有时需利用线段垂直平分 线的性质构造相等的线段，运用等 量代换来证明线段相等，或借助构 造的相等线段得到金等三角形，利 用全等三角形的性质来证明线段 或角相等！ 10.(1):△ABC是等边三角形， ∴.AB=BC,∠ABC=∠ACB= ∠CAB=60」 CD=AB, .CD=BC. .CD∥AB ∴.∠ACD=∠BAC=60°. ∴.∠ACD=∠ACB=60. .BO=DO,CO⊥BD,即AC垂直平 分BD. (2)由(1)，知AC垂直平分BD, .NB=ND. ND=NM, ∴.NB=NM. 11.DE=BF,DE⊥BF 理由：如图，连接BD,延长BF交DE 于点G :点D在线段AB的垂直平分线上， ∴.AD=BD .∠ABD=∠A=22.5. ∴.∠CDB=∠ABD+∠A=45, ∴.△BCD为等腰直角三角形. ∴.BC=DC 在△ECD和△FCB中， CE=CF, ∠DCE=∠BCF, CD=CB, .△ECD≌△FCB. '.DE=BF,∠CED=∠CFB :∠CFB+∠CBF=90°， ∴.∠CED+∠CBF=9O.