第一章 2 等腰三角形-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

拔尖特训·数学（北师版）八年级下 2等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质与等边三角形的性质 。“答案与解析”见P4 ☑基础进阶 幻素能攀升 1.(2025·扬州)在如图所示的房屋人字梁架 6.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=30°，以 中，AB=AC,点D在BC上.添加下列一个 点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AC于 条件，不能证明AD⊥BC的是 点D,连接BD,则∠ADB的度数为() A.∠ADB=∠ADCB.∠B=∠C A.100°B.105°C.110°D.115 C.BD=CD D.AD平分∠BAC A B (第6题) (第7题) (第1题) (第2题) (第4题) 7.如图，在等边三角形ABC中，BD平分 2.如图，在等边三角形ABC中，BE,CD分别 ∠PBC,且BD=AD,BP=BC,则∠BPD 是边AC,AB上的高，且相交于点O,则 的度数为 () ∠BOC的度数为 ( A.20° B.30° A.100°B.120°C.150°D.1609 C.40 D.无法确定 3.易错题若等腰三角形一腰上的高与另一腰 8.如图，△ABC,△ADE均为等边三角形，AD 的夹角为28°，则该等腰三角形的底角的度数 平分∠BAC交BC于点D,DE交AB于点 为 F,连接BE.有下列结论：①AD⊥BC; 4.新情境·现实生活(2025·焦作一模)如图所 ②EF=DF;③BE=BD;④BE∥AC.其 示为购物车装满物品时的形状.在五边形 中，正确的有 () ABCDE中，F,E,A三点在同一条直线上. A.1个 B.2个 若EB∥CD,ED=CD,∠D=120°，则 C.3个 D.4个 ∠CEB的度数为 5.如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延 长BC至点E,使CE=CD,连接DE (1)若AB=10,求BE的长 (第8题) (第10题) (2)求∠E的度数. 9.分类讨论思想过等腰三角形顶角的顶点的一 条直线，将该等腰三角形分成两个等腰三角 形，则原等腰三角形底角的度数为 10.如图，△ABC是边长为6的等边三 角形，AD⊥BC,垂足为D,E,F分 (第5题) 别是线段AD和AB上的两个动 点，连接CE,EF,则CE+EF的最小值为 10 第一章三角形的证明及其应用 11.如图，C为线段AB上一点，分别以AC,BC 粉思维拓展 为底，在AB的同侧作等腰三角形ACD和 13.如图①，△ABC是等边三角形 等腰三角形BCE,且∠A=∠CBE,在线段 △BDC是等腰三角形，其中 EC上截取EF,使得EF=CD,连接 ∠BDC=120°，以D为顶点作一 BF,DE. 个60°的角，角的两边分别交边AB,AC于 (1)△DCE与△FEB全等吗？为什么？ 点M,N,连接MN! (2)若∠A=66°，∠FBE=35°，求∠DEB (1)探究线段BM,MN,VC之间的数量关 的度数. 系，并加以证明. (2)若M是AB延长线上的一点，N是CA 延长线上的一点，其他条件不变，请探究线 段BM,MN,NC之间的数量关系，在图② (第11题) 中画出图形，并说明理由。 12.新考法·探究题如图①，在Rt△ABC中， ① ② ∠BAC=90°，AB=AC,点D在BC上， (第13题) AE=AD,连接DE. (1)当∠BAD=60时，求∠CDE的度数. (2)当点D在BC(点B,C除外)上运动时， 写出∠BAD与∠CDE的数量关系， (3)如图②，当∠BAC≠90°时，其他条件不 变，探究∠BAD与∠CDE的数量关系 (第12题) 11 拔尖特训·数学（北师版）八年级下 第2课时等腰三角形的判定与反证法 自基础进阶 幻素能攀升 1.下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形 5.新考法·操作实践题在如图所示的三角形中， 的是 ( 均有AB=AC,则经过三角形的一个顶点的 A.AB=3,AC=3,BC=4 一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰 B.∠A:∠B:∠C=3:4:4 三角形的是 () C.∠B=50°，∠C=80° D.AB AC:BC=3:6:3 108 2.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,DE∥ 1 ② ③ ④ BC,交AB于点E,AB=3,AD=1,则 (第5题) △AED的周长为 ( A.①③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 6.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平 分线交于点I,过点I作DE∥BC,交AB于 B (第2题) 点D,交AC于点E.若AB=5,AC=3, A.2 B.3 C.4 D.5 ∠A=50°，则下列说法中，不一定正确的是 3.用反证法证明：一条线段只有一个中点.先假 () 设线段AB有两个中点M,N,不妨设点M A△DBI和△EIC是等腰三角形 在点N的左边，则AM<AN.这与 B.I为DE的中点 C.△ADE的周长是8 矛盾，所以一条线段只有一个中点， D.∠BIC=115 4.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=36°， BD平分∠ABC,交AC于点D,过点A作 AEBC,交BD的延长线于点E. (1)求∠ADB的度数. (第6题) (第7题) (2)求证：△ADE是等腰三角形 7.(2025·开封通许期末)如图，D为△ABC内 一点，AD⊥CD,AD平分∠CAB,且 ∠DCB=∠B.如果AB=10,AC=6,那么 CD= (第4题) 8.分类讨论思想如图，△ABC的顶点A,C在直 线L上，∠B=120°，∠ACB=40°.若点P在 直线L上运动，则当∠ABP的度数是 时，△ABP为等腰三角形 B (第8题) 12 第一章三角形的证明及其应用 9.*如图，在△ABC中，AB=AC,∠APB≠罚思维拓展 ∠APC.求证：PB≠PC. 11.如图，在△ABC中，∠ABC=60° ∠BAC=75°，AD⊥BC,CE⊥ AB,垂足分别为D,E,AD与CE 相交于点P,∠ABC的平分线BF分别交 (第9题) AD,CE,AC于点M,N,F (1)试写出图中所有的等腰三角形，并予以 证明. (2)求证：CD=BM+DM! A E (第11题) 10.(2025·滁州凤阳期末)如图，在△ABC中， ∠BAC=75°，∠ACB=35°，∠ABC的平分 线BD交边AC于点D,E为BC的中点，连 接DE. (1)求证：△BCD为等腰三角形 (2)求∠EDC的度数. C (第10题) 13 拔尖特训· 数学（北师版）八年级下 第3课时 等边三角形的判定与含30°角的 直角三角形的性质 自基础进阶 素能攀升 1.下列条件中，不能判定△ABC为等边三角形 5.若一个三角形中有两个角的平分线分别垂直 的是 ( 于该角所对的边，则这个三角形是 () A.∠A=∠B=60 A直角三角形 B.钝角三角形 B.∠B+∠C=120° C.等边三角形 D.等腰直角三角形 C.∠B=60°，AB=AC 6.如图，AB=AC,∠A=60°，AE=EC=CD, D.∠A=60°，AB=AC 连接DE并延长，交AB于点F,连接BE.若 2.新考法·开放题(2025·资阳)如图，在四边形 EF=2,则DF的长为 () ABCD中，∠A=∠B,点E在线段AB上， A.3 B.4 C.5 D.6 CEDA.要使△BCE成为等边三角形，可增 加的一个条件是 (写出一个即可). A (第6题) (第7题) 7.如图，∠AOB=120°，OP平 (第2题) (第3题) ∠AOB,且OP=2.若点M,N分 3.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=120°，D 在OA,OB上，且△PMN为等边 为BC的中点，DE⊥AB于点E.若AE=2, 角形，则满足上述条件的△PMN有() 则BE的长为 A.1个B.2个 C.3个D.无数个 4.如图，∠AOB=60°，点P在边OA上，点M, 8.新考法·操作实践题(2025·南充)如图， N在边OB上（点M在点N的左边），连接 ∠AOB=90°，在射线OB上取一点C,以点 PM,PN. O为圆心，O℃长为半径画弧；再以点C为圆 (1)若∠PNO=60°，求证：△PON是等边三 心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内 角形 部相交于点D,连接CD并延长，交射线OA (2)若PM=PN,OP=12,MN=2,求OM 于点E.设OC=1,则OE的长是 的长 O M (第8题) (第9题) (第4题) 9.如图，甲、乙两车同时从点A出发，甲车沿南 偏西60°方向行驶至点C,乙车沿正西方向行 驶至点B.经测量，点C位于点B的南偏东 15°方向上.若AB=300米，则点C到公路 AB的距离为 米 14 第一章三角形的证明及其应用 10.如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC,思维拓展 AE⊥BC,垂足分别为D,E,AE,BD相交 12.如图，在等边三角形ABC中，M为 于点O,连接DE 边AB上的任意一点，延长BC至 (1)判断△CDE的形状 点N,使CN=AM,连接MN交 (2)若AO=12,求OE的长. AC于点P,过点M作MH⊥AC于点H. (1)求证：MP=NP. (2)若AB=a,求线段PH的长（用含a的 代数式表示). (第10题) (第12题) 11.如图①，在四边形ABCD中，DC∥AB, AD=BC,BD平分∠ABC. (1)求证：AD=DC. (2)如图②，若∠ABC=60°，过点D作 DE⊥AB,过点C作CF⊥BD,垂足分别为 E,F,连接EF.试判断△DEF的形状，并 证明. ① ② (第11题) 15方法归纳 巧用外角和的不变性 解决内角问题 多边形的外角和是一个固定 值，与多边形的边数无关，若多边 形的每个外角都相等，则“每个外 角的度数×外角的数目（或多边形 的边数)=360”，据此“每个外角的 度数”或“外角的数目”这两个量中 任知一个可求另一个.若利用多边 形相邻的内外角互补，则可以将多 边形的内角问题转化为外角问题， 从而使问题简捷获解 6.C解析：正九边形一个外角的度 数为260=40，题图中∠ABC由两 0 个外角组成，∴.∠ABC的度数为80° 7.D解析：，正多边形的各外角都 相等，外角和为360°，∴.正五边形的 一个外角的度数为360°÷5=72°，正 六边形的一个外角的度数为360°÷ 6=60°..∠1=180°-72°-60°= 48. 8.C解析：，题图②的外轮廓是正 六边形，正六边形的每一个内角的度 数为6-2)X180°=120，.△ABC 6 的内角∠ACB=120°-80°=40°. .另一个内角∠BAC=180°-80°一 40°=60°.根据拼图可知，题图③所拼 成的正边形的一个内角的度数为 80°+60°=140°，∴.与这个内角相邻 的外角的度数为180°一140=40° 360° ·这个正m边形的边数为0=9. 9.7解析：设正多边形的边数为n, 则180°×(1-2)+360°=1260°， .n=7..这个正多边形的边数 是7. 10.40°解析：如图，∠1+∠2十 ∠3+∠4+∠5=360°，∠1+∠2+ ∠3+∠4=220°，.∠5=140°. ∴.∠D0F=180°-∠5=180°- 140°=40° A 4 D 0 (第10题) 11.小亮的说法不全面. 理由：五边形被剪去一个内角后可能 变成三种多边形：①四边形，内角和 为360°；②五边形，内角和为540°： ③六边形，内角和为720 而外角和都不变，仍为360°， 12.(1):从0点出发，每走5米后 向右转15°， ,.360°÷15°=24 24×5=120(米)， .小东一共需走120米，走过的路径 是一个边长为5米的正二十四边形. (2)这个图形的内角和为(24一2)× 180°=3960. 13.由题意，得∠GAF=∠G+∠H, ∠ABI=∠I+∠J,∠BCK=∠K十 ∠L,∠CDM=∠M+∠N, ∠DEO=∠O+∠P,∠EFQ= ∠Q+∠R. :∠GAF+∠ABI+∠BCK+ ∠CDM+∠DEO+∠EFQ=360°， ∴.∠G+∠H+∠I+∠J+∠K+ ∠L+∠M+∠N+∠O+∠P+ ∠Q+∠R=∠GAF+∠ABI+ ∠BCK+∠CDM+∠DEO+ ∠EFQ=360°. 又.∠G=40°， ∴.∠H+∠I+∠J+∠K+∠L+ ∠M+∠N+∠O+∠P+∠Q+ ∠R=360°40°=320°. 14.当m=3时，正三角形每个外角 的度数是360°÷3=120°，每个内角的 度数是180°-120°=60」 正三角形恰好被3个正n边形 围住， “正n边形每个内角的度数是了× (360°-60)=150°. ∴正n边形每个外角的度数是 4 180°-150°=30° .正n边形的边数n=360÷30=12. 2等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 与等边三角形的性质 1.B2.B 3.59或31 易错警示 解决关于等腰三角形的问题时 要注意分类讨论 等腰三角形的角有顶角和底 角两种情况，边有腰与底两种情 况，形状有锐角三角形、直角三角 形、钝角三角形三种情况解决相 关问题时，要注意考虑周全，明确 问题是因边不确定，或是因角不确 定，或是因顶点不确定，或是因高 不确定而引起分类讨论，从而避免 错解或漏解 4.30° 5.(1),'△ABC是等边三角形，BD 是中线，AB=10, .AC=BC=AB=10,AD=CD= 3Ac-5 CE=CD, .CE=5. ∴.BE=BC+CE=15. (2),△ABC是等边三角形， ∴.∠ACB=60° CE=CD, 1 ·.∠E=∠CDE=2∠ACB=30, 6.B 7.B 解析：如图，连接DC. △ABC是等边三角形， .∴.∠ACB=60°，AC=BC.在△ACD AD-BD, 和△BCD中，AC=BC,'.△ACD2 CD-CD, △BCD.·∠1=∠2=2∠ACB= 30°.BD平分∠PBC,∴.∠3 ∠4.在△BDP和△BDC中， BP=BC, ∠3=∠4，∴.△BDP≌△BDC. BD=BD .∠BPD=∠2=30° B C (第7题) 8.D解析：，△ABC是等边三角 形，∴.AB=AC,∠BAC=60.AD 是∠BAC的平分线，∴.AD⊥BC, BD=DC,∠BAD=∠CAD=30°. .①正确.∴.∠ADC=90 :△ABC和△ADE是等边三角形， ∴.AE=AD,AB=AC,∠EAD= ∠BAC=60°..∴.∠EAD-∠BAD= ∠BAC-∠BAD,即∠EAB= ∠DAC.在△BAE和△CAD中， AE-AD, ∠EAB=∠DAC,∴.△BAE≌ AB-AC, △CAD..∠ABE=∠C=60°， ∠BAE=∠CAD=30°，BE=CD. BD=DC,.BE=BD..③正 确.：∠BAD=∠BAE=30°，AE= AD,EF=DF..②正确. ∠ABE=∠BAC=60°，.BE∥ AC.∴.④正确.综上所述，正确的是 ①②③④，共4个. 9.36°或45°解析：分两种情况讨 论：①如图①，在△ABC中，AB= AC,BD=AD,AC=CD,.∠B= ∠C=∠BAD,∠CDA=∠CAD. .∠CDA=2∠B..∠BAC= 3∠B..∠BAC+∠B+∠C=180°， .5∠B=180°.，.∠B=36°.②如 图②，在△ABC中，AB=AC,AD= BD=CD,∴.∠B=∠C=∠DAC= ∠DAB..∠BAC+∠B+∠C 180°，.4∠B=180..∠B=45° 综上所述，原等腰三角形底角的度数 为36或45 R D ① B 0 ② (第9题) 10.3√3解析：如图，过点C作 CF⊥AB于点F,交AD于点E,此时 CE十EF的值最小，为CF的长. ,△ABC是边长为6的等边三角 形，BF=zAB=3.CF √BC2-BF=35.∴.CE+EF的 最小值为3√5！ (第10题) 11.(1)△DCE≌△FEB. 由题意，得AD=CD,EC=EB, ∠A=∠DCA. :∠A=∠CBE, '.∠DCA=∠CBE '.CD∥BE. ∴.∠DCE=∠FEB. 在△DCE和△FEB中， CD=EF, ∠DCE=∠FEB, EC=BE ∴.△DCE≌△FEB. (2)由(1)，知△DCE≌△FEB ∴.∠DEC=∠FBE=35. ,△BCE是等腰三角形， ∴.∠BCE=∠CBE=∠A=66. ∴.∠BEC=180°-∠BCE- ∠CBE=48° .'.∠DEB=∠BEC+∠DEC=83°. 12.(1)AB=AC,∠BAC=90°， ∴.∠B=∠C=45, ,∠BAD=60, ∴.∠DAE=30°. AD-AE, ·.∠AED=2X(180°-∠DAE)= 75. ∴.∠CDE=∠AED-∠C=30°. 5 (2).·∠BAC=90°，AB=AC, ∴.∠DAE=90°-∠BAD,∠C= 45」 .AD=AE, ·∠AED=2(180°-∠DAE)= 45+2∠BAD, .∠CDE=∠AED-∠C= ∠BAD. .∠BAD=2∠CDE. (3)设∠CDE=x,∠C=y. .AB=AC,∠C=y, .∠B=∠C=y. ∠CDE=x, .∠AED=y+x. .'AD=AE, ∴.∠ADE=∠AED=y+x. .·∠ADC=∠B+∠BAD= ∠ADE+∠CDE, ∴.y+∠BAD=y+x+x. ∴.∠BAD=2∠CDE. 13.(1)MN=BM+NC. 如图①，延长AC至点E,使得CE= BM,连接DE. ,△BDC为等腰三角形， ∠BDC=120°， ∴.∠DBC=∠DCB=30°，BD=CD. :△ABC为等边三角形， ∴.∠ABC=∠ACB=60. ∴.∠ABC+∠DBC=∠ACB+ ∠DCB=60°+30°=90. ∴.∠MBD=∠ECD=90°. 在△MBD和△ECD中， BD=CD, ∠MBD=∠ECD, BM=CE, '.△MBD≌△FCD ∴.MD=ED,∠BDM=∠CDE. ,∠BDC=120°，∠MDN=60, ∴.∠BDM+∠NDC=6O. ∴.∠CDE+∠NDC=60°，即 ∠EDN=60°. .∠MDN=∠EDN. 在△DMN和△DEN中， MD=ED, ∠MDN=∠EDN, DN=DN, .'.△DMN≌△DEN. .MN=EN=CE+NC=BM+ NC. (2)如图②所示 MN=NC-BM. 理由：在CA上取一点E,使得CE= BM,连接DE. 由(1)易知，∠MBD=∠ECD=90, BD-CD. 在△BMD和△CED中， BM=CE, ∠MBD=∠ECD, BD=CD, .∴.△BMD≌△CED. ∴.DM=DE,∠MDB=∠EDC. ∴.∠MDE=∠MDB+∠BDE= ∠EDC+∠BDE=∠BDC=120°. .∠MDN=60, .∠EDN=60° ∴.∠MDN=∠EDN. 在△MDN和△EDN中， ND=ND, ∠MDN=∠EDN, DM=DE, .'.△MDN≌△EDN. .MN=EN=NC-CE=NC- BM. N M B D E ① N B M D ② (第13题) 第2课时等腰三角形的判定 与反证法 1.D 2.C 3.AM=AN=7AB 4.(1)AB=AC,∠BAC=36°， ÷∠ABC=∠C=2180 ∠BAC)=72. .·BD平分∠ABC, .∠DBC2∠ABC=36. ∴.∠ADB=∠C+∠DBC=72°+ 36°=108° (2).·AEBC, .∴.∠EAC=∠C=72」 :∠C=72,∠DBC=36, .∠ADE=∠CDB=180°-72° 36°=72 ∴.∠EAD=∠ADE :AE=DE. ∴.△ADE是等腰三角形. 5.C 6.B解析：，BI平分∠DBC, ∴.∠DBI=∠CBI.DE∥BC, ∴.∠DIB=∠IBC.∴.∠DIB ∠DBL.∴.BD=DL.同理，CE=EI. ∴.△DBI和△EIC是等腰三角形. '.△ADE的周长=AD+DI+IE+ EA=AB+AC=8.∠A=50°， .∠ABC+∠ACB=130. ∴.∠IBC+∠ICB=65.∴.∠BIC= 115.故选项A,C,D正确，选项B不 一定正确。 7.2解析：延长CD交AB于点E. CD⊥AD,∴.∠ADE=∠ADC= 90.AD平分∠CAB, ∴.∠EAD=∠CAD.∴.∠AED= ∠ACD..AE=AC=6..∴.DE= CD-CE.AB=10. 10-6=4.,∠B=∠BCD,∴.CE= BE-4.CD-7CE-2. 8.10或80°或20°或140°解析：如 图，在△ABC中，∠BAC=180° ∠ABC-∠ACB=180°-120°- 6 40°=20°.，△ABP为等腰三角形， .分情况讨论：①当AB=AP时， 1 ∠ABP,=∠AP,B=Z∠BAC= 1O,∠ABP=∠APB=2X (180°-20°)=80°.②当PA=PB 时，∠ABP2=∠P2AB=20°.③当 BA=BP时，∠ABP4=180°-20° 20°=140°.综上所述，满足条件的 ∠ABP的度数为10°或80°或20 或140. P A P, P C P (第8题) 9.假设PB=PC. 在△ABP和△ACP中， (AB=AC, AP=AP, PB=PC, .△ABP≌△ACP. .∠APB=∠APC. 这与已知条件∠APB≠∠APC 矛盾， .假设不成立 .PB≠PC. 方法归纳 反证法的证明步骤及关键 反证法的证明步骤，基本上有 三步：反设、归谬、结论，即假设结 论的反面正确，推理得出矛盾，得 到原结论正确.利用反证法证明命 题时，一定要准确而全面地找出命 题结论的反面.如“至少有一个”的 反面是“没有一个”，“最多有一个” 的反面是“不止一个”或“至少两 个”等 10.(1).∠BAC=75°，∠ACB= 35°， .∠ABC=180°-∠BAC- ∠ACB=70° BD平分∠ABC, 6∠DBC号∠ABC=358 ∴.∠DBC=∠ACB=35° .'DB=DC. ∴.△BCD为等腰三角形. (2)∠DBC=∠ACB=35°， .∴.∠BDC=180°-35°-35°=110° :DB=DC,E为BC的中点， &∠EDC=2∠BDC=5. 11.(1)△ADC,△AMB,△BNC, △MNP,△ABF ∠ABC=60°，∠BAC=75, .∠ACB=45. 又：AD⊥BC,CE⊥AB, .易知∠NCB=∠BAM=30, ∠DAC=45 ∴.∠ACB=∠DAC. .'AD=CD. .△ADC为等腰三角形. ,BF平分∠ABC, ∴.∠ABM=∠NBC=30°. ∴.∠ABM=∠BAM. .'BM=AM. ∴.△AMB为等腰三角形. .·∠NBC=∠NCB=30°， .BN=CN. ∴.△BNC为等腰三角形 :AD⊥BC,∠NCB=30°， ∴.∠MPN=60. CE⊥AB,∠ABM=30°， ∴.∠ENB=60°. '.∠MPN=∠MNP=60. .'PM=MN .△MNP为等腰三角形. ·.·∠BFA=∠FBC+∠FCB=30°+ 45°=75°，∠BAC=75, .∠BAF=∠BFA. .AB=EB. ∴.△ABF为等腰三角形 (2)由(1)，可知AD=CD,AM= BM. 又".AD=AM+DM, ∴.CD=BM+DM. 第3课时等边三角形的判定 与含30°角的直角三角形的性质 1.B2.答案不唯一，如∠BCE ∠B3.6 4.(1).∠AOB=60°，∠PNO= 60°， ∴.∠OPN=60. ∴.∠PON=∠PNO=∠OPN. ∴.△PON是等边三角形. (2)过点P作PH⊥MN于点H. ∴.∠PHO=90. .PM=PN, &MH=2MN=1. 在Rt△POH中，：∠AOB=60°， '.∠OPH=30 ÷0H=20p=号x12=6. ∴.OM=OH-MH=5. 5.C 6.D解析：AB=AC,∠A=60, ∴.△ABC是等边三角形. .'.∠ABC=∠ACB=60°. ∴.∠CED+∠CDE=60°.EC= CD,.∴.∠CED=∠CDE=30° ,△ABC是等边三角形，AE=CE, .BE平分∠ABC.∴.∠ABE= ∠CBE=∠CDE=30°.∴.BE=DE, ∠BFD=90.∴.DE=BE=2EF= 4...DF=DE+EF=6. 7.D解析：如图，在OA,OB上截取 OE=OF=OP,作∠MPN=60°，连 接MN,PE,PF,EF.OP平分 ∠AOB,∠AOB=120°，.∠EOP= ∠POF=60.,OP=OE=OF, ∴△OPE,△OPF都是等边三角形. .PE=PO,∠PEO=∠PON= ∠EPO=60°.又.∠MPN=60°， ∴.∠MPN=∠EPO.∴.易得 ∠EPM=∠OPN.在△PEM和 I∠PEM=∠PON, △PON中，PE=PO, ∠EPM=∠OPN, .'.△PEM≌△PON..∴.PM=PN. :∠MPN=60°，.△PMN是等边 三角形.∴.只要∠MPN=60, △PMN就是等边三角形，即这样的 三角形有无数个 0 M (第7题) 7 8.√5解析：连接OD.由作图，可得 OC=OD=CD..△OCD是等边三 角形.∴.∠OCD=60°.∠AOB= 90°，∴.∠OEC=30°.∴.CE=20C= 2.∴.OE=√22-1下=√5」 9.150解析：过点C作CD⊥AB,垂 足为D.∴.∠ADC=90°.由题意，得 ∠BAC=90°-60°=30°，∠ABC= 90°-15=75°..∠ACB=180° ∠ABC-∠BAC=75..∠ACB= ∠ABC=75..AB=AC=300米. 在Rt△ACD中，∠BAC=30°， CD=2AC=150米.点C到 公路AB的距离为150米. 10.(1):△ABC是等边三角形，且 BD⊥AC,AE⊥BC, ·∠c=60,cE=2C,D 1 C,BC=AC. ∴.CD=CE .△CDE是等边三角形 (2)由(1)，知AE,BD分别是△ABC 的中线。 ∴.∠BAE=∠DBA=∠OBE=30°， ∴.OA=OB. :∠OBE=30°， .'OB=20E. .∴.AO=2OE 10E=7A0=7×12=6. 11.(1):DCAB, ∴.∠CDB=∠ABD. 又.BD平分∠ABC, ∴.∠CBD=∠ABD. ∴.∠CDB=∠CBD. .BC=DC. 又，AD=BC, .AD=DC. (2)△DEF为等边三角形 .BC=DC,CF⊥BD, .F是BD的中点 DF-7 BD. BD平分∠ABC, ·∠DBE=2∠ABC=30 DE⊥AB, ∴.∠DEB=90 ·∠BDE=60,DE=2BD=DF, .△DEF为等边三角形. 12.(1)如图，过点M作MQBC,交 AC于点Q. :△ABC是等边三角形， .∠A=∠B=∠ACB=60°. MQ//BC, '.∠AMQ=∠B=60°，∠AQM= ∠ACB=60°，∠QMP=∠N. ∴.△AMQ是等边三角形. ∴.AM=QM. AM=CN, .'QM=CN. 在△QMP和△CNP中， ∠QPM=∠CPN, ∠QMP=∠N, QM=CN, .∴.△QMP≌△CNP .MP=NP (2),△AMQ是等边三角形，且 MH⊥AC, ·AH=HQ=2AQ. ,△QMP≌△CNP, ∴Qp=CP,即Qp=QC 1 PH=HQ+QP-(AQ+ C)-AC. ,△ABC是等边三角形， ∴.AC=AB=a. 1 :PH=24. C (第12题) 专题特训一构造等腰三角形 解题的常用方法 L.连接DE,DF .AB=AC, ∴.∠B=∠C 在△BDE和△CFD中， (BE=CD, R∠B=∠C, BD=CF, ∴.△BDE≌△CFD. .DE=FD. :G是EF的中点， .DG⊥EF 2.连接BD :△ABC是等边三角形，D是AC的 中点， .∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC= 2∠ABC=30 CE=CD, '.∠CDE=∠E :∠ACB=∠CDE+∠E, ·∠E=2∠ACB=30C .∠DBC=∠E .BD=ED. 又DM⊥BC, ∴.M是BE的中点. 3.延长BP交AC于点E. ,AD平分∠BAC,BP⊥AD, ∴.∠BAP=∠EAP,∠APB=∠APE. 在△ABP和△AEP中， ∠BAP=∠EAP, RAP=AP, ∠APB=∠APE, .'.△ABP≌△AEP ∴.BP=EP,AB=AE=5, ∠ABP=∠AEP. .BE=BP+PE=4. ∴.CE=AC-AE=9-5=4. ∴.CE=BE ∴.△BCE是等腰三角形 .∠EBC=∠C :∠ABP=∠AEB=∠C+∠EBC, .∠ABP=2∠C 4.如图，过点D作DM∥AC,交BC 于点M. '.∠DMB=∠ACB,∠FDM=∠E. .AB=AC, 8 '.∠B=∠ACB ∴.∠B=∠DMB. ∴.BD=MD. BD=CE, ∴.MD=CE. 在△DMF和△ECF中， 「∠FDM=∠E, 3∠DFM=∠EFC, MD=CE, ∴.△DMF≌△ECF, .DF=EF. B (第4题) 5.如图，作∠ACB的平分线CD交 AB于点D,过点D作DE⊥BC于 点E 1 ∠ACD=∠BCD=2∠ACB, ∠CED=90 ∠ACB=2∠B, 1 ∴.∠B=∠BCD= ∠ACB. ∴BD=CD :DE⊥BC, ·BE=CE=2C. .BC=2AC, .AC=CE. 在△ACD和△ECD中， (AC=EC, ∠ACD=∠ECD, CD=CD, ∴.△ACD≌△ECD. ∴.∠A=∠CED=90°. E (第5题) 6.如图，在CD上取一点E,使ED= BD,连接AE. AD⊥BC, ∴.∠ADE=∠ADB=90.