1.3　直角三角形 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.3　直角三角形 数学八年级（下册）·B 第1课时　直角三角形(一) 数学八年级（下册）·B 1.直角三角形的性质定理与判定定理 (1)直角三角形的两个锐角互余,即若△ABC中,∠C=90°,则　 。  (2)有两个角互余的三角形是　 。  2.勾股定理及其逆定理 (1)直角三角形两直角边的　 　等于　 ,即若a,b,c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边,则　 。  (2)如果三角形两边的　 　等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形,即若三角形三边a,b,c满足a2+b2=c2,则这个三角形是　 　三角形。  注:常用勾股数:①3,4,5;②6,8,10;③5,12,13;④7,24,25;⑤8,15,17;⑥9,40,41。 ∠A+∠B=90°　 直角三角形 平方和 斜边的平方　 a2+b2=c2　 平方和 直角 数学八年级（下册）·B 3 3.互逆命题与互逆定理 (1)互逆命题:在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的　 　和 ,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的　 。  (2)互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为　 ,其中一个定理称为另一个定理的　 　。  注:①任何一个命题都有逆命题;②判断一个定理是否有逆定理,首先是写出这个定理的逆命题,再证明这个逆命题是否是真命题。 结论 条件 逆命题 互逆定理　 逆定理 数学八年级（下册）·B 4 (1)如图,在△ABC中,∠A=90°,CD是△ABC的角平分线,过点B作CD的垂线,交CD的延长线于点E。若∠ABE=16°,则∠ABC的度数为　 　;  (2)已知四个三角形分别满足下列条件:①一个内角等于另外两个内角之和;②三个内角之比为3∶4∶5;③三边长分别为6,8,10;④三边之比为5∶12∶13。其中是直角三角形的有　 　(填序号)。 58° ①③④ 数学八年级（下册）·B 5 1.(2025·重庆育才)以下列长度为边,能构成直角三角形的是(　　) A.3,4,5 B.4,5,6 C.1,3,3 D.3,2,5 2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=52°,将其折叠,使点A落在边BC上的点E处,CA与CE重合,折痕为CD,则∠EDB的度数是　 　。 A 14° 数学八年级（下册）·B 6 如图,将边长为24 cm的正方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在点F处,折痕为MN,则线段CN的长是(　　) A.8 cm　　 B.9 cm　　 C.10 cm　　 D.12 cm B 数学八年级（下册）·B 7 3.(2025·重庆巴蜀)若直角三角形的两直角边长分别为m,n,且满足+=0,则该直角三角形的第三边长为(　 　) A.3 B.4 C. D.5 4.如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=16,点D在BC上,DA⊥CA于点A。求BD的长。 解:如答案图,过点A作AE⊥BC于点E。 ∵AB=AC=10,BC=16,∴BE=CE=8。 在Rt△ACE中, AE===6。 设BD=x,则DE=8-x,DC=16-x。 又∵DA⊥CA,∴AD2=AE2+DE2=DC2-AC2, ∴62+(8-x)2=(16-x)2-102,解得x=3.5。 即BD=3.5。 D 数学八年级（下册）·B 8 写出下列命题的逆命题,并判断原命题和逆命题的真假。 (1)等腰三角形的两底角相等; (2)如果a2=b2,那么a=b; (3)对顶角相等。 解:(1)逆命题:两底角相等的三角形是等腰三角形。原命题和逆命题都是真命题。 (2)逆命题:如果a=b,那么a2=b2。原命题是假命题,逆命题是真命题。 (3)逆命题:相等的两个角是对顶角。原命题是真命题,逆命题是假命题。 数学八年级（下册）·B 9 5.下列命题: ①同旁内角互补,两直线平行;②若=,则a=b;③直角都相等;④相等的角是对顶角。它们的逆命题是真命题的个数是(　　) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 6.命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题是_________________ _______________________,该逆命题是　 　(填“真”或“假”)命题,它们是否为一对互逆定理?　 　(填“是”或“否”)。  B 三个内角相等的 三角形是等边三角形　 真 是 数学八年级（下册）·B 10 第2课时　直角三角形(二) 数学八年级（下册）·B 1.直角三角形全等的判定“HL” 　 分别相等的两个直角三角形全等。(可以简述为“斜边、直角边”,用字母表示为“HL”)  符号语言: 如图,∠C=∠F=90°, 在Rt△ABC和Rt△DEF中, ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)。 2.判定两个直角三角形全等的方法 (1)“边边边”(SSS);(2)“角角边”(AAS); (3)“角边角”(ASA);(4)“边角边”(SAS); (5)“斜边、直角边”(HL)。 斜边和一条直角边　 数学八年级（下册）·B 12 如图,∠C=∠D=90°,添加下列条件:①AC=AD;②∠ABC=∠ABD;③∠BAC=∠BAD;④BC=BD。能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D 数学八年级（下册）·B 13 如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,分别过点B,C向过点A的直线作垂线,垂足分别为E,F。 (1)如图1,过点A的直线与斜边BC不相交时,求证:EF=BE+CF; (1)证明:∵BE⊥EA,CF⊥AF, ∴∠BEA=∠CFE=∠BAC=90°, ∴∠EAB+∠FAC=90°,∠EBA+∠EAB=90°, ∴∠FAC=∠EBA。 又∵AB=CA,∴△ABE≌△CAF(AAS), ∴EA=FC,BE=AF,∴EF=AF+EA=BE+CF。 数学八年级（下册）·B 14 (2)如图2,过点A的直线与斜边BC相交时,其他条件不变,若BE=10,CF=3,求EF的长。 (2)解:∵BE⊥EA,CF⊥AF, ∴∠BEA=∠CFE=∠BAC=90°, ∴∠EAB+∠CAF=90°,∠ABE+∠EAB=90°, ∴∠CAF=∠ABE。 又∵AB=CA,∴△ABE≌△CAF(AAS), ∴EA=FC=3,BE=AF=10, ∴EF=AF-AE=10-3=7。 [方法总结] 一线三垂直模型是三角形全等中的重要模型,广泛运用在几何的计算与证明中,当模型不完整时构造完整的一线三垂直模型是添辅助线的方向。 数学八年级（下册）·B 15 1.在课堂上,李老师发给每人一张印有Rt△ABC(如图)的卡片,然后要求同学们画一个Rt△A'B'C',使得Rt△A'B'C'≌Rt△ABC。小宏同学先画出了∠MB'N=90°之后,后续画图的主要过程如图所示。这种画图方法的依据是(　　) A.SAS B.AAS C.ASA D.HL D 数学八年级（下册）·B 16 2.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD与BE相交于点F。若BF=AC,则∠ABC=　 　度。 45 数学八年级（下册）·B 17 已知:如图,DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F,AD=CB,DE=BF。求证:AB∥DC。 证明:∵DE⊥AC,BF⊥AC, ∴∠DEA=∠BFC=∠DEC=∠BFA=90°。 在Rt△ADE和Rt△CBF中, ∴Rt△ADE≌Rt△CBF(HL), ∴AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE。 在△ABF和△CDE中, ∴△ABF≌△CDE(SAS),∴∠BAC=∠DCA,∴AB∥DC。 数学八年级（下册）·B 18 [方法点拨] 在证一次全等不能解决问题时,可考虑证两次全等或三次全等,证第一次全等是为证第二次全等准备边或角相等的条件。在分析问题时,可“执因索果”,也可“执果索因”,这样可使问题简化。 数学八年级（下册）·B 19 3.如图,AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°,EF过点C,BE⊥EF于点E,DF⊥EF于点F,BE=DF。求证:Rt△BCE≌Rt△DCF。 证明:如图,连接AC。 在Rt△ABC和Rt△ADC中, ∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL),∴BC=DC。 ∵BE⊥EF,DF⊥EF,∴∠BEC=∠DFC=90°。 在Rt△BCE和Rt△DCF中, ∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL)。 数学八年级（下册）·B 20 $