1.1　三角形内角和定理 课件2025-2026学年数学北师大版八年级下册

1　三角形内角和定理 第1课时　三角形的内角和 1.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于　 　。  2.一般三角形全等的判定方法有　 。  注:①三个角对应相等的两个三角形　 　(填“一定”或“不一定”)全等;  ②两边对应相等且其中一边的对角对应相等的两个三角形　 　(填“一定”或“不一定”)全等,即:边边角(SSA)不能判定两个三角形全等。  3.全等三角形的对应边　 　、对应角　 　。 180° SAS,SSS,ASA,AAS　 不一定 不一定 相等 相等 3 求证:∠A+∠B+∠C=180°。 下面是小明与小颖的想法。 小明的想法:把三个内角“凑”到点A处,过点A作直线PQ∥BC(如图2)。下面是他写的证明过程,请你在括号内填写依据。 证明:过点A作直线PQ∥BC, 则∠1=∠B,∠2=∠C。(　 )  ∵∠1+∠BAC+∠2=180°,(平角的定义) ∴∠B+∠BAC+∠C=180°。(　 )  在学习《三角形内角和定理》时,张老师鼓励同学们用不同的方法证明三角形内角和定理。 已知:如图1,△ABC。 两直线平行,内错角相等　 等量代换　 4 小颖的想法:从之前撕角的验证过程中得到了思路启发(如图3),在线段AC的右侧作∠ACE=∠A(如图4)。你认为她的想法可行吗?如果可行,请写出证明过程;如果不可行,请说明理由。 解:小颖的想法可行,证明如下: ∵∠ACE=∠A, ∴AB∥CE, ∴∠B+∠BCE=180°, 即∠B+∠BCA+∠ACE=180°, ∴∠B+∠BCA+∠A=180°。 5 1.如图,已知DE∥AC,∠A=∠DEF。 (1)求证:EF∥AB; 证明:(1)∵DE∥AC,∴∠A=∠BDE。 ∵∠A=∠DEF,∴∠BDE=∠DEF,∴EF∥AB。 (2)各位同学,七年级已经学习过“三角形内角和为180°”,利用图形,试证明此定理,即证明:∠A+∠B+∠C=180°。 (2)∵DE∥AC,EF∥AB, ∴∠C=∠DEB,∠B=∠CEF。 ∵∠DEB+∠DEF+∠CEF=180°,∠A=∠DEF, ∴∠A+∠B+∠C=180°。 6 如图,在△ABC中,BD⊥AC于点D,AE是∠CAB的平分线,交BD于点E,∠AED=60°,∠CBA=40°,求∠C的度数。 解:∵BD⊥AC,∴∠ADE=90°。 ∵∠AED=60°, ∴∠DAE=180°-∠ADE-∠AED =180°-90°-60°=30°。 ∵AE是∠CAB的平分线, ∴∠CAB=2∠CAE=2×30°=60°。 ∵∠CBA=40°, ∴∠C=180°-∠CAB-∠CBA=80°。 7 2.当三角形中一个内角β是另一个内角α的时,我们称此三角形为“希望三角形”,其中角α称为“希望角”。如果一个“希望三角形”中有一个内角为54°,那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为　 。  54°或84°或108°　 8 3.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ACB=70°,AD是BC边上的高,AE是△ABC的角平分线。 (1)求∠DAE的度数; 解:(1)∵在△ABC中,∠BAC=60°,AE是∠BAC的平分线, ∴∠EAC=∠BAC=30°。 ∵AD是BC边上的高, ∴∠ADC=90°, ∴∠DAC=90°-∠ACB=90°-70°=20°, ∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=30°-20°=10°。 9 (2)若CF是△ABC的角平分线,AE与CF交于点G。求∠EGF的度数。 (2)∵CF是△ABC的角平分线, ∴∠ACF=∠ACB=×70°=35°。 ∵∠EAC=30°, ∴∠AGC=180°-∠EAC-∠ACF=115°, ∴∠EGF=∠AGC=115°。 10 已知:如图,∠BAC=∠DAM,AB=AN,AD=AM。 求证:∠B=∠ANM。 证明:∵∠BAC=∠DAM, ∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠NAM, ∴∠BAD=∠NAM。 又∵AB=AN,AD=AM, ∴△ABD≌△ANM(SAS),∴∠B=∠ANM。 [方法归纳] 利用三角形的全等来解决线段或角相等是常见题型。在证明三角形全等时,要注意公共角、公共边及对顶角等隐含条件的运用。 11 4.如图,AC与BD相交于点O,OA=OD,OB=OC,不添加辅助线,判定△ABO≌△DCO的依据是(　 　) A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA B 12 5.如图,点E在△ABC的边AC上,且∠ABE=∠C,AF平分∠BAE交BE于点F,FD∥BC交AC于点D。 (1)求证:△ABF≌△ADF; (1)证明:∵FD∥BC,∴∠ADF=∠C。 又∵∠ABF=∠C, ∴∠ABF=∠ADF。 ∵AF平分∠BAE, ∴∠BAF=∠DAF。 在△ABF和△ADF中, ∴△ABF≌△ADF(AAS)。 13 (2)若BE=7,AB=8,AE=5,求△EFD的周长。 (2)解:由(1)知△ABF≌△ADF, ∴AD=AB=8,BF=DF。 ∵AE=5,∴DE=AD-AE=8-5=3, ∴△EFD的周长=EF+DF+DE=EF+BF+DE =BE+DE=7+3=10。 14 第2课时　三角形的外角 1.三角形外角的定义 △ABC内角的一条边与另一条边的　 组成的角,称为△ABC的外角。  2.三角形外角的性质 (1)三角形的一个外角　 　和它不相邻的两个内角的和;  (2)三角形的一个外角　 　任何一个和它不相邻的内角。  反向延长线　 等于 大于 16 (1)如图1,已知D为BC上一点,∠B=∠1, ∠BAC=70°,则∠2的度数为(　　) 　 A.110° B.70° C.60° D.80° (2)如图2,射线BD,AE分别是△ABC的外角∠ABF,∠CAG的平分线,射线BD与直线AC交于点D,射线AE与直线BC交于点E。若∠BAC=∠ABC+102°,∠D=∠E+27°,则∠ACB的度数为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　 A.38° B.42° C.48° D.50° B B 17 1.如图,线段DG,EM,FN两两相交于B,C,A三点,则∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N 的度数是(　　) A.180° B.360° C.540° D.720° 2.如图,在△ABC中,∠B=50°,P为BC上一点,且∠1=∠2,则∠APD=　 。  B 50°　 18 如图1,AD平分∠BAC,AE⊥BC,∠B=35°,∠C=65°。 (1)求∠DAE的度数; 解:(1)∵∠B=35°,∠C=65°, ∴∠BAC=180°-35°-65°=80°。 ∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×80°=40°, ∴∠ADE=∠B+∠BAD=35°+40°=75°。 ∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°, ∴∠DAE=90°-∠ADE=90°-75°=15°。 19 (2)如图2,若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上,FE⊥BC”,∠B=α,∠C=β(α<β),请用含α,β的代数式表示∠DFE。 (2)∵∠B=α,∠C=β,∴∠BAC=180°-α-β。 ∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD=90°-α-β, ∴∠ADE=∠B+∠BAD=90°+α-β。 ∵FE⊥BC,∴∠FEB=90°, ∴∠DFE=90°-∠ADE=β-α。 20 3.如图,在△ABC中,D为BC上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=105°,则∠DAC的度数为　 　。 4.如图,在△ABC中,∠C=50°,按图中虚线将∠C剪去后,∠1+∠2等于　 。 230°　 80° 21 $