精品解析：辽宁省三校协作2025-2026学年高二下学期4月学情调研考试数学试题

2025-2026辽宁省三校协作高二下学期4月学情调研考试 （考试时间：120分钟 满分：150分） 1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效； 2.本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 投掷红、蓝两个骰子，设：蓝色骰子的点数为1或2，：两骰子的点数之和小于5，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别写出事件B和事件AB所包含的样本点，根据条件概率公式可得. 【详解】投掷红、蓝两个骰子，共有个样本点，其中 事件B包含，共个样本点， 事件包含，共个样本点， 所以. 2. 秋冬换季是流行性感冒爆发期，已知、、三个地区分别有、、的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取人，则这人患了流感的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用全概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】分别记事件、、为选取的人来自、、地区，记事件为选取的人患了流感， 则，，， ，，， 从这三个地区中任意选取人，则这人患了流感的概率为 ， 故选：A. 3. 一个袋中有大小与质地完全相同的红、黄､蓝三个球，从袋中依次随机不放回地摸出两个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件，则（ ） A. A，B相互独立 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的定义判断A；利用条件概率公式，结合古典概率计算判断BCD. 【详解】对于A，，，A，B不独立，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，则，D错误. 4. 斐波那契数列可以用如下方法定义：且若此数列各项除以的余数依次构成一个新数列，则数列的第项为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出数列的前几项，确定数列的周期，求出数列的项. 【详解】由题意有，且， 若此数列各项除以的余数依次构成一个新数列， 则， 则数列是以为周期的周期数列，则. 5. 已知数列是单调递增数列，，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由数列为单调递增数列得，从而得，再令，求出的最大值，从而可求解. 【详解】由题意可得，由于数列为单调递增数列， 即，， 整理得， 令，则，， 所以数列单调递减，故是数列的最大项， 所以，所以. 则的取值范围为. 故选：D． 6. 口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列，如果为数列的前项和，那么的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用n次独立重复试验概率计算求解. 【详解】由知，在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球， 而每次摸取红球的概率为，摸取白球的概率为， 则的概率为. 故选：B． 7. 具有相关关系的变量x与y的一组样本数据如下，若已求得线性回归方程为，则去掉其中某对样本数据，样本相关系数r不会发生改变的是（ ） （参考公式：相关系数 x 1 2 3 4 5 y 6 10 11 12 16 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得样本中心点，再结合相关系数公式判断即可. 【详解】由题知，， 所以数据的样本中心点为 所以去掉其中样本数据，样本相关系数r不会发生改变. 8. 某校对“学生性别和喜欢刷视频是否有关”作了一次调查，得到如下列联表： 不喜欢刷视频 喜欢刷视频 总计 男生 女生 总计 若通过计算，可得根据小概率值的独立性检验，认为学生是否喜欢刷视频与性别有关联，则正整数的最小值为（ ） 附：，. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 80 B. 100 C. 120 D. 150 【答案】B 【解析】 【分析】完成列联表，计算，即可求出正整数的最小值. 【详解】完成列联表如下： 不喜欢刷视频 喜欢刷视频 总计 男生 女生 总计 则，解得. 又为正整数，且是5的倍数，可得的最小值为100. 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量（单位：）服从正态分布，且，．从该流水线上随机抽取4件产品，这4件产品中质量在区间上的件数记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正态分布对称性可判断AB；由二项分布的知识判断CD. 【详解】A选项，由，得， 故， 由正态分布的对称性可知，A正确； B选项，，B正确； C选项，由题意得，故，C错误； D选项，，D正确. 10. 已知数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，利用及构造法求出，进而判断AB；利用裂项相消法求和及放缩法推理判断CD. 【详解】数列中，，当时，， 整理得，即，则， 当时，数列是常数列，因此，， 当时，，解得，满足上式， 当时，，解得，满足上式， 所以数列的通项公式为， A，，A正确； B，，B错误； C，当时，， 因此，C正确； D，，， 则，即， 因此，D正确. 11. 若随机事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则相互独立 B. 若，，，则相互独立 C. 若，则相互独立 D. 若相互独立，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】事件相互独立的定义为，条件概率公式为，对每个选项逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，即相互独立，故A正确. 对于B，由，，，可得，即相互独立，故B正确. 对于C，，又，. ，所以不相互独立，故C错误. 对于D，当相互独立时，也相互独立，所以，因此，故D正确． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 设随机变量的概率分布为，k＝1、2、3、4、5，则______． 【答案】##0.1 【解析】 【分析】由概率之和为1以及数列求和公式即可求解. 【详解】由题意可知：随机变量的所有可能值的概率和为1， 即， 则， 则， ∴， 故答案为：. 13. 设随机变量服从超几何分布，从含有5个红球､3个白球的总体中不放回抽取4个球，记为抽取的红球个数，则的方差__________（结果用分数表示）. 【答案】 【解析】 【分析】利用超几何分布的方差公式求解. 【详解】超几何分布（总体数），（红球数），（抽取数），期望，方差公式，代入得， 故答案为： 14. 与的公共项从小到大构成新数列，则的最小项为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，是以13为首项，14为公差的等差数列，再结合函数的单调性判断最小项. 【详解】是以13为首项，14为公差的等差数列，. 令， 根据在上单调递减，上单调递减， 又时，，时，，最小值为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列的前n项和为，且，. （1）求 （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知数列是以首项为，公差为的等差数列，结合等差数列的通项公式运算求解； （2）根据与之间的关系可得，进而可得，结合裂项相消法运算求解. 【小问1详解】 因为，且， 可知数列是以首项为，公差为的等差数列， 则，所以. 【小问2详解】 由（1）可知：， 当时，则， 且符合上式，所以， 可得， 设数列的前n项和为， 则， 所以数列的前n项和为. 16. 为提升工作效率，某公司对员工进行了培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训. （1）若员工甲、乙培训合格的概率分别为，求甲、乙两人中恰有一人不需要补训的概率； （2）为了激发员工的培训积极性，某公司在培训过后举办了一次知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩近似服从正态分布，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；（结果精确到个位） （3）参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为元，求的分布列与数学期望. 参考数据：若，则，. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据题意明确“不需要补训”即为培训合格的事件，设甲、乙合格分别为独立事件；恰有一人不需要补训可分为“甲合格乙不合格”与“甲不合格乙合格”两种互斥情形，再根据独立事件的乘法公式及概率的加法公式求解； （2）利用给定参数确定正态分布模型，将成绩超过分转化为求的概率；结合正态分布的对称性及提供的概率参考数据，计算出对应的概率值，最后用总人数乘以该概率并取整估算人数； （3）先确定甲答对的题目数服从二项分布，由答对题数与奖金关系得到奖金的可能取值；再根据二项分布概率公式计算各取值对应的概率，列出分布列；最后利用期望公式计算数学期望. 【小问1详解】 分别记甲、乙培训合格为事件， 则甲、乙两人中恰有一人不需要补训的概率：. 【小问2详解】 由已知得的近似值为的近似值为3， 所以， 而， 所以估计这些员工中成绩超过分的人数为. 【小问3详解】 的所有可能取值为. 且， 所以的分布列为 0 800 1600 2400 17. 小华忘记了自家的智能门锁的数字密码，但记得大致范围，他决定尝试输入密码解锁.该门锁允许最多尝试3次，一旦输入正确，门立即打开；若连续3次都错误，门锁将自动锁定一段时间，不再接受输入.根据小华的记忆，他每次猜对密码的概率依次为0.5，0.6，0.7，且每次尝试是否成功相互独立. （1）设随机变量表示小华实际尝试输入密码的次数，求的分布列； （2）求小华在门锁被锁定前成功打开门的概率； （3）若已知小华在门锁被锁定前成功打开门，求他第3次尝试才猜对密码的概率. 【答案】（1）分布列见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先列出的所有可能取值为1，2，3，然后求出对应的概率，进而可得到分布列. （2）设“小华在门锁被锁定前成功打开门”为事件，求出其对立事件的概率进而得到结果. （3）根据条件概率公式可求得结果. 【小问1详解】 由题意，的所有可能取值为1，2，3. ； ； . 因此，的分布列为 1 2 3 0.5 0.3 0.2 【小问2详解】 设“小华在门锁被锁定前成功打开门”为事件， 则， 所以. 【小问3详解】 设“小华第3次尝试才猜对密码”为事件， 则， 所以. 18. 甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立.对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率． （1）求（用p表示）． （2）若，求p． （3）证明：对任意正整数m，． 【答案】（1）， （2） （3）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）直接由二项分布概率计算公式即可求解； （2）由题意，联立，即可求解； （3）首先，，同理有，，作差有，另一方面，且同理有，作差能得到，由此即可得证. 【小问1详解】 为打完3个球后甲比乙至少多得两分的概率，故只能甲胜三场， 故所求为， 为打完4个球后甲比乙至少多得两分的概率，故甲胜三场或四场， 故所求为； 【小问2详解】 由（1）得，，同理， 若，， 则， 由于，所以，解得； 【小问3详解】 设打完个球，甲的得分为，乙的得分为，， 所以，，， ，，， 要证明， 即证明①，②， 先证明①， ， 同理可得， 所以①，故成立； 证明②： ， 同理可得， 所以②，故成立； 综上，不等式成立. 19. 已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用结合等差数列的定义即可得证； （2）由（1）先求，再由求出即可； （3）将恒成立问题转化为恒成立，设，研究数列的单调性得到其最大值，即可求解. 【小问1详解】 在数列中，①， 又因为②，，所以得． 又因为，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列； 【小问2详解】 由（1）知，数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以． 当时，， 当时，，也满足上式， 所以数列的通项公式为； 【小问3详解】 由（2）知，， 因为对于任意恒成立，所以恒成立． 设，则， 当和时，，即； 当时，， 所以， 所以数列的最大项是，所以， 即实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026辽宁省三校协作高二下学期4月学情调研考试 （考试时间：120分钟 满分：150分） 1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效； 2.本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 投掷红、蓝两个骰子，设：蓝色骰子的点数为1或2，：两骰子的点数之和小于5，则（ ） A. B. C. D. 2. 秋冬换季是流行性感冒爆发期，已知、、三个地区分别有、、的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取人，则这人患了流感的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 一个袋中有大小与质地完全相同的红、黄､蓝三个球，从袋中依次随机不放回地摸出两个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件，则（ ） A. A，B相互独立 B. C. D. 4. 斐波那契数列可以用如下方法定义：且若此数列各项除以的余数依次构成一个新数列，则数列的第项为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知数列是单调递增数列，，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列，如果为数列的前项和，那么的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 具有相关关系的变量x与y的一组样本数据如下，若已求得线性回归方程为，则去掉其中某对样本数据，样本相关系数r不会发生改变的是（ ） （参考公式：相关系数 x 1 2 3 4 5 y 6 10 11 12 16 A. B. C. D. 8. 某校对“学生性别和喜欢刷视频是否有关”作了一次调查，得到如下列联表： 不喜欢刷视频 喜欢刷视频 总计 男生 女生 总计 若通过计算，可得根据小概率值的独立性检验，认为学生是否喜欢刷视频与性别有关联，则正整数的最小值为（ ） 附：，. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 80 B. 100 C. 120 D. 150 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量（单位：）服从正态分布，且，．从该流水线上随机抽取4件产品，这4件产品中质量在区间上的件数记为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 11. 若随机事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则相互独立 B. 若，，，则相互独立 C. 若，则相互独立 D. 若相互独立，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 设随机变量的概率分布为，k＝1、2、3、4、5，则______． 13. 设随机变量服从超几何分布，从含有5个红球､3个白球的总体中不放回抽取4个球，记为抽取的红球个数，则的方差__________（结果用分数表示）. 14. 与的公共项从小到大构成新数列，则的最小项为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列的前n项和为，且，. （1）求 （2）若，求数列的前n项和. 16. 为提升工作效率，某公司对员工进行了培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训. （1）若员工甲、乙培训合格的概率分别为，求甲、乙两人中恰有一人不需要补训的概率； （2）为了激发员工的培训积极性，某公司在培训过后举办了一次知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩近似服从正态分布，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；（结果精确到个位） （3）参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为元，求的分布列与数学期望. 参考数据：若，则，. 17. 小华忘记了自家的智能门锁的数字密码，但记得大致范围，他决定尝试输入密码解锁.该门锁允许最多尝试3次，一旦输入正确，门立即打开；若连续3次都错误，门锁将自动锁定一段时间，不再接受输入.根据小华的记忆，他每次猜对密码的概率依次为0.5，0.6，0.7，且每次尝试是否成功相互独立. （1）设随机变量表示小华实际尝试输入密码的次数，求的分布列； （2）求小华在门锁被锁定前成功打开门的概率； （3）若已知小华在门锁被锁定前成功打开门，求他第3次尝试才猜对密码的概率. 18. 甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立.对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率． （1）求（用p表示）． （2）若，求p． （3）证明：对任意正整数m，． 19. 已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $