精品解析：安徽省合肥市第四十五中学森林城分校2025-2026学年九年级下学期一模考试数学试卷

九年级数学练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 的相反数是（　　） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数． 根据相反数的定义作答即可． 【详解】解：∵相反数的定义是只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是5． 故选：B． 2. 据统计，年合肥市地区生产总值（）亿元，其中亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的形式为 ，其中 ， 为整数，解题时先将亿转化为数字形式，再确定和的值即可． 【详解】解：∵亿， 将14210改写为符合科学记数法要求的形式得， ∴． 3. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，根据几何体的特征进行分析即可． 【详解】解：它的俯视图是 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂运算法则，需依据同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方法则逐一判断选项． 【详解】解：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加 ∴选项A：，故A错误 ∵同底数幂相除，底数不变，指数相减 ∴选项B：，故B错误 ∵积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 ∴选项C：，故C正确 ∵幂的乘方，底数不变，指数相乘 ∴选项D：，故D错误 故选：C． 5. 如图，在中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，得，进而利用等边对等角及三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：∵， ， ． 6. 反比例函数经过点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数图象分布在第一、三象限 C. 当时，随的增大而增大 D. 函数图象经过点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，以及反比例函数图象上点的坐标特征，先根据已知点求出k的值，再结合性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵反比例函数经过点， ∴，故A选项不符合题意； ∵， ∴函数图象分布在第二、四象限，故B选项不符合题意 ∵， ∴当时，随的增大而增大，故C选项符合题意； ∵， ∴函数图象不经过点，故D选项不符合题意， 7. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图步骤可知是的角平分线，过点作于，利用角平分线的性质可得，再利用勾股定理求出的长，最后通过面积法建立方程求解的长，进而求出． 【详解】解：由作图步骤可知，平分 ，过点作于  ，平分，    在中，，      ， 即  ∴  ∴  ∴  8. 某校七年级数学组将“四好三美化”融入概率教学，设计如下练习：一个不透明盒子里有个材质、大小相同的小球，分别标有：站得好、坐得好、走得好、说得好（四好），以及美化校园、美化班级、美化心灵（三美化）．从中随机摸出个小球，摸到属于“三美化”范畴小球的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用初中概率公式：所求事件概率等于所求事件的等可能结果数除以所有等可能的结果数，即可计算． 【详解】解：∵盒子中共有个大小材质相同的小球， 所有等可能的摸球结果共种， 其中属于“三美化”范畴的小球结果有种， ∴摸到属于“三美化”范畴小球的概率是． 9. 已知实数满足，则下列判断错误是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知条件，对变形，逐一推导各选项的结论，即可判断正误． 【详解】解：∵， ∴，，． ∵， ∴，故选项C正确，不符合题意； 将代入得：， 整理得，即，故选项A正确，不符合题意； ， 即，故选项D正确，不符合题意； ∵，且， ∴， 移项得， ∴，故选项B错误，符合题意． 10. 如图，在中，，，点，，分别在边，边和边上，且．设，记与的面积差为，则关于的函数图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点A作于点P，根据等腰三角形的性质以及勾股定理可得的长，可得，，，，可求出与的面积差，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点P， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴与的面积差， 即， 当时，， 当时，， ∴符合题意的函数图象为 ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 详解】解：∵代数式有意义 ∴ 解得． 12. 我国古代数学家刘徽用“割圆术”得到圆周率近似值，张衡将圆周率取值为，祖冲之给出更精确的近似值．比较大小：_____（填“”或“<”）． 【答案】 【解析】 【分析】对于两个正数，可通过比较平方的大小判断原数大小，平方较大的正数更大，计算两个数的平方后比较即可得到结果． 【详解】解：由题意得，，， 分别对两个数平方得： ， ， ∵，即， ∴． 13. 一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个相等的实数根时，判别式，由此得到关于的关系式，再整体代入所求代数式计算即可. 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得， 等式两边同除以得， 将代入， 得：． 14. 如图，点，点分别是正方形边和上两点，，，连接交于点． （1）_____； （2）连接，若点是的中点，则的最小值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）证明，得出，结合，即可得出． （2）根据，得出，结合点是的中点，得出，设，则，勾股定理表示出，即可得出的最小值，则的最小值． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ． （2）连接， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 设，则， 则， ∴的最小值， ∴的最小值． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再用因式分解法求解． 【详解】解：， 移项得， 因式分解，得， ∴或， 解得：． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）的坐标分别为． （1）以点为旋转中心，将旋转得到，画出； （2）直接写出以为顶点的四边形的周长； （3）在所给的网格图中确定一个格点，使得射线平分，写出点的坐标． 【答案】（1）图见详解 （2） （3）图见详解， 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可． （2）证明四边形是平行四边形，勾股定理求出，即可求出四边形的周长． （3）取格点，连接，根据，点是中点，利用等腰三角形三线合一的性质即可得出射线平分． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：如图，， 根据旋转的性质可得， 则四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长． 【小问3详解】 解：如图，点即为所求，． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？ 【答案】学生人数为7人，该书的单价为53元． 【解析】 【分析】设学生人数为x人，然后根据题意可得，进而问题可求解． 【详解】解：设学生人数为x人，由题意得： ， 解得：， ∴该书的单价为（元）， 答：学生人数为7人，该书的单价为53元． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 18. 【观察思考】 【规律发现】 （1）第5个图案中“◎”的个数为_____； （2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，．．．，第个图案中“★”的个数可表示为_____． 【规律应用】 （3）结合图案中“★”排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“◎”的个数的3倍． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据图形得出规律即可； （2）根据题意得出规律即可； （3）根据题意可知第个图案中“◎”的个数为个，，故可得出方程，解出的值即可． 【小问1详解】 解：∵第1个图案中“◎”的个数为个； 第2个图案中“◎”的个数为6个； 第3个图案中“◎”的个数为9个； 第4个图案中“◎”的个数为12个； …… 第个图案中“◎”的个数为个； ∴当时，“◎”的个数为个． 【小问2详解】 解：结合题干信息，得出规律， 第个图案中“★”的个数可表示为． 【小问3详解】 解：第个图案中“◎”的个数为个， ∵， 结合题意，得出方程， 化简得， 解得（舍去）或． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，为巢湖边上东西走向的滨湖大道，小宇沿滨湖大道参加“低碳生活、绿色出行”健步走公益活动、当小宇在点处时，某艘湖中作业船位于小宇南偏东的点处，作业船到滨湖大道的距离为400米；当小宇沿滨湖大道向东步行400米到达点时，作业船沿南偏西的方向航行至点处，此时作业船恰好在小宇的正南方向．求作业船从处航行到处的距离．（参考数据：，） 【答案】925米 【解析】 【分析】过点作于点，根据题意解直角三角形可得，由矩形判定和性质得出，结合图形利用锐角三角函数解三角形即可． 【详解】解：过点作于点， 由题意得，，， 在中，， ， 米， 米， ， 四边形为矩形， 米， 在中，， ， 米， 答：作业船从C处航行到D处的距离为925米． 20. 如图，是的直径，是上一点，于点，连接，的平分线交于点，交于另一点． （1）连接，求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理可知，进而得到，根据角平分线的定义得到，进而求出，即，根据圆周角定理得到，根据对顶角相等得到，可知，根据等角对等边即可证明； （2）设，则，，根据等角对等边得到，证明，得到，进而得到，解一元二次方程即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴ 解得：（舍去） ∴， ∴． 六、（本题满分12分） 21. 为深入推进校园心理健康关爱工程，落实“全员育人、全程关爱”理念，某中学聚焦“悦纳自我・温暖同行”核心主题，开展系列心理健康赋能活动．为精准掌握全校师生心理健康状态，筑牢校园心理防护网，学校对全体2400名师生开展专业心理测评，随机抽取25名师生的测评分数进行数据整理、分析，为后续个性化心理疏导、团体辅导提供数据支撑． 【数据收集】抽取的25名师生测评分数（满分100分）如下： 88，84，92，75，79，86，95，97，82，68，74，56，81， 77，72，87；85，66，93，91，78，80，94，69，71． 【数据整理】将收集的数据进行分组制作统计表和扇形统计图． 分数 90≤x＜100 70≤x＜80 60≤x＜70 人数 6 7 3 1 等级 A（优秀） B（良好） C（合格） D（待提升） E（需辅导） 【数据分析】依据统计信息回答问题 （1）统计表中的_____，统计图中的_____ （2）通过计算，得出心理测评等级C等（合格）扇形统计图中所占圆心角度数； （3）学校计划对E级（需辅导）的师生开展一对一的心理帮扶活动，请根据抽样数据分析结果，估计全校需要参加心理辅导的师生总人数． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据组人数以及百分比求出总人数，再求出即可；（2）根据圆心角百分比即可得解；（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可； 【小问1详解】 总人数（人）， （人）； 优秀等级所占百分比为， ； 【小问2详解】 由题可得，等级所占的百分比， 等级所对的圆心角度数； 【小问3详解】 （人）． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在中，，于点，是线段上一点（不与点，重合），点是线段上一点，若． （1）求证：； （2）在直线上方有一点，，连接． （i）如图2，若点在边上，求证：； （ii）如图3，若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）（i）见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，再由，可得，即可求证； （2）（i）根据三角形外角的性质以及，可得，再由，可得，即可求证；（ii）连接，过点G作，交于点H，证明，，再结合等腰三角形的判定和性质可得，根据题意可设，则，可得，由（1）得：，可得，从而得到，可证明，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 （i）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （ii）如图，连接，过点G作，交于点H， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴可设，则， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 八、（本题满分14分） 23. 【真实情境】 为深化义务教育劳动课程与数学学科融合，某校计划打造实践型蔬菜种植大棚，作为学生劳动实践、数学建模的综合实训场地、大棚横截面采用“抛物线拱形矩形基座”的组合结构，既符合力学承重原理，又能最大化利用空间、提升采光效率．为精准开展结构分析与设施优化，该校师生以大棚地面所在直线为轴，大棚横截面中的“抛物线拱形”的对称轴为轴，建立平面直角坐标系开展数学建模．经实地测量：矩形基座高度为2米，底部地面跨度为10米；“抛物线拱形”的最高点到地面的距离为6米． （1）结合上述建立的坐标系与实测数据，利用抛物线的建模方法，求出“抛物线拱形”对应的函数解析式，并注明自变量的取值范围． 【问题解决】 （2）为防止大棚拱形受压变形，需在抛物线拱形内侧安装防护脚手架．如图1，矩形脚手架结构为：，均垂直于地面，平行于地面，且、两点落在抛物线上，，两点落在上．其中三根支架，，的长度之和称为脚手架总长度．求出脚手架总长度的最大值； （3）在实际制作脚手架的过程中，由于工人师傅失误，把所有的脚手架都焊接成图2中所示梯形的样式，且米，米，米．从节省成本考虑，学校准备通过降低矩形基座高度，使得抛物线拱形下降，再左右移动梯形脚手架让点同时落在抛物线上，完成蔬菜种植大棚的搭建．求此时抛物线应下降的高度是多少米？ 【答案】（1） （2）脚手架总长度的最大值为米； （3）米 【解析】 【分析】（1）理解题意，得出顶点坐标为，，再设解析式为，把代入，解得，即可作答． （2）先证明四边形是矩形，再设， 故，运用二次函数的性质进行分析，即可作答． （3）理解题意得新抛物线解析式为，结合米，米，米，得，，将，，代入新抛物线，整理得：，解得，最后代入①计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵“抛物线拱形”的最高点到地面的距离为6米． ∴如图1，即顶点坐标为， ∵矩形基座高度为2米，底部地面跨度为10米 ∴ 即， 依题意，设“抛物线拱形”对应的函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 【小问2详解】 解：∵，均垂直于地面，平行于地面， ∴， 则， ∴四边形是矩形， ∴， 由（1）得， 设， 依题意，， 设三根支架，，的长度之和为， 即， ∵ ∴当时，有最大值， 把代入，得 即脚手架总长度的最大值为米； 【小问3详解】 解：设抛物线下降高度为米， ∴新抛物线解析式为， 设， ∵米， 得， ∵米，米 ∴，， 将，，代入新抛物线， 得：， 消去展开整理得：， 解得， 将代入①得：， 答：抛物线应下降的高度为米 【点睛】本题考查了抛物线的应用，求二次函数的解析式，矩形的判定与性质，二次函数的最值问题，，二次函数的平移问题，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 的相反数是（　　） A. B. 5 C. D. 2. 据统计，年合肥市地区生产总值（）亿元，其中亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 反比例函数经过点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数图象分布在第一、三象限 C. 当时，随的增大而增大 D. 函数图象经过点 7. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. D. 5 8. 某校七年级数学组将“四好三美化”融入概率教学，设计如下练习：一个不透明盒子里有个材质、大小相同小球，分别标有：站得好、坐得好、走得好、说得好（四好），以及美化校园、美化班级、美化心灵（三美化）．从中随机摸出个小球，摸到属于“三美化”范畴小球的概率是（ ） A. B. C. D. 1 9. 已知实数满足，则下列判断错误是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，点，，分别在边，边和边上，且．设，记与的面积差为，则关于的函数图象为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是________． 12. 我国古代数学家刘徽用“割圆术”得到圆周率近似值，张衡将圆周率取值为，祖冲之给出更精确的近似值．比较大小：_____（填“”或“<”）． 13. 一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是_____． 14. 如图，点，点分别是正方形边和上两点，，，连接交于点． （1）_____； （2）连接，若点是的中点，则的最小值为_____． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15 解方程：． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）的坐标分别为． （1）以点为旋转中心，将旋转得到，画出； （2）直接写出以为顶点的四边形的周长； （3）在所给的网格图中确定一个格点，使得射线平分，写出点的坐标． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？ 18. 【观察思考】 【规律发现】 （1）第5个图案中“◎”个数为_____； （2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，．．．，第个图案中“★”的个数可表示为_____． 【规律应用】 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“◎”的个数的3倍． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，为巢湖边上东西走向的滨湖大道，小宇沿滨湖大道参加“低碳生活、绿色出行”健步走公益活动、当小宇在点处时，某艘湖中作业船位于小宇南偏东的点处，作业船到滨湖大道的距离为400米；当小宇沿滨湖大道向东步行400米到达点时，作业船沿南偏西的方向航行至点处，此时作业船恰好在小宇的正南方向．求作业船从处航行到处的距离．（参考数据：，） 20. 如图，是的直径，是上一点，于点，连接，的平分线交于点，交于另一点． （1）连接，求证：； （2）若，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 为深入推进校园心理健康关爱工程，落实“全员育人、全程关爱”理念，某中学聚焦“悦纳自我・温暖同行”核心主题，开展系列心理健康赋能活动．为精准掌握全校师生心理健康状态，筑牢校园心理防护网，学校对全体2400名师生开展专业心理测评，随机抽取25名师生的测评分数进行数据整理、分析，为后续个性化心理疏导、团体辅导提供数据支撑． 【数据收集】抽取的25名师生测评分数（满分100分）如下： 88，84，92，75，79，86，95，97，82，68，74，56，81， 77，72，87；85，66，93，91，78，80，94，69，71． 【数据整理】将收集的数据进行分组制作统计表和扇形统计图． 分数 90≤x＜100 70≤x＜80 60≤x＜70 人数 6 7 3 1 等级 A（优秀） B（良好） C（合格） D（待提升） E（需辅导） 【数据分析】依据统计信息回答问题 （1）统计表中的_____，统计图中的_____ （2）通过计算，得出心理测评等级C等（合格）扇形统计图中所占圆心角度数； （3）学校计划对E级（需辅导）的师生开展一对一的心理帮扶活动，请根据抽样数据分析结果，估计全校需要参加心理辅导的师生总人数． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在中，，于点，是线段上一点（不与点，重合），点是线段上一点，若． （1）求证：； （2）在直线上方有一点，，连接． （i）如图2，若点在边上，求证：； （ii）如图3，若，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 【真实情境】 为深化义务教育劳动课程与数学学科融合，某校计划打造实践型蔬菜种植大棚，作为学生劳动实践、数学建模的综合实训场地、大棚横截面采用“抛物线拱形矩形基座”的组合结构，既符合力学承重原理，又能最大化利用空间、提升采光效率．为精准开展结构分析与设施优化，该校师生以大棚地面所在直线为轴，大棚横截面中的“抛物线拱形”的对称轴为轴，建立平面直角坐标系开展数学建模．经实地测量：矩形基座高度为2米，底部地面跨度为10米；“抛物线拱形”的最高点到地面的距离为6米． （1）结合上述建立的坐标系与实测数据，利用抛物线的建模方法，求出“抛物线拱形”对应的函数解析式，并注明自变量的取值范围． 【问题解决】 （2）为防止大棚拱形受压变形，需在抛物线拱形内侧安装防护脚手架．如图1，矩形脚手架结构为：，均垂直于地面，平行于地面，且、两点落在抛物线上，，两点落在上．其中三根支架，，的长度之和称为脚手架总长度．求出脚手架总长度的最大值； （3）在实际制作脚手架的过程中，由于工人师傅失误，把所有的脚手架都焊接成图2中所示梯形的样式，且米，米，米．从节省成本考虑，学校准备通过降低矩形基座高度，使得抛物线拱形下降，再左右移动梯形脚手架让点同时落在抛物线上，完成蔬菜种植大棚的搭建．求此时抛物线应下降的高度是多少米？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $