精品解析：云南昆明市润城学校2025-2026学年下学期八年级3月学情自测数学试卷

八年级数学试题卷 （全卷8个大题，共19个小题；满分100分，考试用时90分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生解题作答必须在答题卷（答题卡）上．答案书写在答题卷（答题卡）相应位置上（不能改动答题卡上的标题题号），在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卷（答题卡）一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念进行逐一判断即可：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、不是二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、被开方数含有开的尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了最简二次根式的概念，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键． 2. 下列图象中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义：对于自变量x的每一个确定的值，函数值y都有唯一确定的值与其对应． 结合图象，利用“垂直于x轴的直线与图象最多有一个交点”这一性质进行判断即可．本题主要考查了函数的定义，熟练掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：根据函数的定义可知，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应， ∴在图象上，作垂直于x轴的直线，该直线与函数图象最多只能有一个交点． A. 图象是一条直线，对于每一个x，都有唯一的y值对应，能表示y是x的函数，故本选项不符合题意； B. 图象是折线，对于每一个x，都有唯一的y值对应，能表示y是x的函数，故本选项不符合题意； C. 观察图象可知，存在垂直于x轴的直线与图象有3个交点，即对于同一个x值，有3个y值与之对应，不符合函数的定义，故本选项符合题意； D. 图象是抛物线，对于每一个x值，都有唯一的y值对应，能表示y是x的函数，故本选项不符合题意. 故选：C． 3. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数据中，是勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 1，2， C. 4，5，7 D. 6，8，10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，关键是利用定义进行判断；勾股数需满足三个正整数且符合勾股定理，逐一验证各选项即可． 【详解】解：∵勾股数要求三个数均为正整数，且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方． A选项中，三个数都不是正整数，不是勾股数，不符合题意； B选项中，不是正整数，不是勾股数，不符合题意； C选项中，，，，不满足定义，不是勾股数，不符合题意； D选项中，，且三个数均为正整数，符合勾股数定义，符合题意． 故选D． 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理以及定义即可作出判断． 【详解】解：．一组对边相等，另一组对边平行的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，原说法错误，故该选项不符合题意； ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形，原说法错误，故该选项不符合题意； ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法正确，故该选项符合题意； ．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算与性质，根据二次根式的相关法则逐一判断选项即可． 【详解】A、∵与不是同类二次根式，不能直接合并，∴，A错误； B、∵，算术平方根本身非负，∴，B错误； C、∵，∴，C错误； D、根据二次根式性质，可得，D正确． 故选：D． 6. 如图，分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为．若，，则（ ） A. 5 B. 13 C. 18 D. 97 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．由正方形的面积公式可知，，，在中，由勾股定理得，即，由此可求．关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积． 【详解】解：由正方形面积公式得，，， 在中，， ． 故选：B． 7. 如图，在中，平分，，，则的周长是（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、角平分线的定义及等腰三角形的判定．根据平行四边形的性质可得，，结合角平分线的定义及平行线的性质证得，从而得到，求出的长即可求得周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的周长是， 故选：D． 8. 如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为（　　） A. 30米 B. 32米 C. 36米 D. 48米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理得到． 【详解】解：∵D、E分别是、中点， ∴是的中位线， ∴， ∵米， ∴米， ∴A、B两点间的距离为32米． 故选：B 9. 已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【详解】解：， ∵是整数，n是一个正整数， ∴n的最小值是7． 故选：C． 10. 如图，四边形中，点E、F、G、H分别是边的中点若四边形为菱形，则对角线AC、BD应满足条件是（ ） A. B. C. 且 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据四边形为菱形，得出，再根据三角形中位线定理得出，从而得出，即可得出答案 【详解】解：满足的条件应为：． 理由如下：∵E，F，G，H分别是边的中点， ∴在中，为的中位线， ∴， 同理，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵ ∴ ∴平行四边形为菱形 故选：B． 【点睛】此题考查学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及菱形的判断进行证明，是一道综合题． 11. “赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是（ ） A. 25 B. 36 C. 49 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明．根据题意求得大正方形的边长，根据勾股定理求出直角三角形的小直角边长为3，从而得小正方形的边长，即可得出结果． 【详解】解：设大正方形的边长为c，直角三角形的小直角边为a， ∵大正方形的面积是169， ∴， ∵直角三角形的长直角边是12， ∴， ∴小正方形的边长， ∴小正方形的面积． 故选：C． 12. 如图，小虎在篮球场上从点O出发，沿着O→A→B→C→O的路径匀速跑动． 下列选项能刻画小虎所在位置距出发点O的距离s与时间t的关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象理解题意即可解答． 【详解】解：由题意分析可知，在O→A是直线且匀速奔跑，s是由小变大；在A→B→C是在圆弧上，s是不变的；在C→O是直线且匀速奔跑，s是由大变小；且A→B→C较长，所以符合题意的是B． 13. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，已知，点D为的中点，从A滑行至B的过程中，下列说法错误的是（ ） A. B. 为等边三角形 C. D. 整个过程中下降的高度为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了含直角三角形的性质，直角三角形斜边的一半等于斜边的一半，等边三角形的判定，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．根据含直角三角形的性质，直角三角形斜边的一半等于斜边的一半，等边三角形的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴整个过程中下降的高度为， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴为等边三角形，故A、B、C正确，不符合题意；D错误，符合题意． 故选：D． 14. 如图，正方形的对角线相交于点O，点E为上一动点．连接，作交于点F，已知，则四边形的面积为（　　） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，证明得到，进而得到即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为1． 故选：A． 15. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求出吸管在罐内长度的最大值和最小值，然后求出在罐外部分的最大值和最小值即可． 【详解】解：当吸管底部在底面圆心时吸管在罐内部分b最短，此时b就是圆柱形的高， 即； ∴此时， 当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分b最长， 此时， ∴此时， ∴． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 已知二次根式有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得. 17. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据多边形内角和定理，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为，根据多边形内角和定理可得：， 解得 ，即这个多边形的边数是6． 18. 人工智能工具训练模型时，记录的初始温度为，运行后的温度每分钟上升，则温度关于运行时间（分钟）的函数关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查函数的表示方法、函数关系式，根据温度等于初始温度+运行时上升温度，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：. 故答案为：. 19. 如图，已知平面直角坐标系中任意两点的坐标、，求的长度？某数学兴趣小组这样解决：过点、分别作平行于轴、轴的直线交于点，则点的坐标为，那么，，在中，根据勾股定理得： ．在平面直角坐标系中，任意两点之间的距离均可用上述公式计算，我们称其为两点间距离公式． 若点、点，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中两点间的距离公式．根据题目给出的公式，直接提取点A和点B的横纵坐标，代入公式进行有理数的混合运算即可求解． 【详解】解：根据题意，两点间距离公式为， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴令,，,，代入公式得：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先计算二次根式除法，再利用完全平方公式展开平方项，最后合并同类项得到结果，本题考查二次根式的混合运算，用到的知识点为二次根式化简、二次根式除法法则、完全平方公式．熟练掌握二次根式的运算律是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 21. 勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带． （1）应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以原点O为圆心，OB为半径作弧，则点C表示的数为_______． （2）应用场景2：解决实际问题． 如图2，秋千静止时，，将它往前推至点C处时，水平距离，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用（包括在数轴上表示无理数、解决实际几何问题），解题关键是利用勾股定理建立直角三角形的边长关系． （1）在中，用勾股定理算长，即为长，得点表示的数． （2）设绳索长为，用矩形性质得长度，在中用勾股定理列方程求解． 【小问1详解】 在中，， 由勾股定理得 点表示的数是． 故答案为． 【小问2详解】 设绳索的长为， 由题意得 ， 四边形为矩形，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 绳索的长为． 22. 阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简： ________，________，________； （2）计算：． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题干给出的分母有理化方法，对三个二次根式逐一化简即可． （2）先将括号内的每一项进行分母有理化，再抵消中间项得到括号内的化简结果，最后利用平方差公式计算得到最终答案． 此题考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解本题的关键． 【小问1详解】 解：； ； ． 【小问2详解】 解： ． 23. 如图，某社区有一块四边形空地．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． （1）连接，试判断的形状，并写出证明过程； （2）求这块空地的面积． 【答案】（1） 解：是直角三角形，理由如下： 由题意得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，线段垂直平分线的性质，掌握直角三角形的判定方法是关键． （1）根据题意，运用勾股定理逆定理判定直角三角形，即可求解； （2）由面积公式得到，由勾股定理得到，则，，由此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴这块空地的面积为． 24. 已知：，，分别求下列代数式的值： （1）； （2） 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据，，可以求得和的值，然后将所求式子变形，再将和的值代入计算即可； （2）根据，，可以求得和的值，然后将所求式子变形，再将和的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴． 25. 如图，在中，，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，平行线与间的距离为，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵是的中点， ∴． ∵， ∴，， 在和中， ∴， ∴． ∵是边中线，， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． （2）菱形的面积是32 【解析】 【分析】（1）用一组对边平行且相等来得出四边形为平行四边形，再根据直角三角形斜边上中线的性质即可证明四边形是菱形； （2）作于点G，则，证明是等边三角形可得，根据勾股定理求出，进而可求出菱形的面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作于点G，则， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积是． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形和平行四边形的判定是解题的关键． 26. 问题情境：已知正方形，是对角线上任意一点． 发现：（1）如图l，若连接，，则线段与的数量关系为 ． 探究：（2）如图2，经过点作，与的延长线交于点，与交于点． ①判断的形状并说明理由； ②连接，若是的中点，且，，直接写出线段的长． 【答案】（1）； （2）①为等腰三角形，理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； ②； 【解析】 【分析】（1）证明，即可得出结果； （2）①根据全等三角形的对应角相等，对顶角相等，以及等角的余角相等，得到，进而得到，即可得出结论； ②过点作，三角形的中线平分面积得到，得到，利用三角形的面积公式求出的长，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：（1）∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①略 ②过点作， ∵， ∴， ∵，点为的中点， ∴，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 27. 综合与实践——黄金矩形． 宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调匀称的美感，它常见于艺术、建筑、自然界中，如图1中的希腊巴特农神庙和图2中达·芬奇的画作《蒙娜丽莎》．今天我们追随先哲们的脚步，利用纸片来折出黄金矩形，创造数学美！ 如图3，矩形纸片的宽，小明按如下步骤操作． 第一步：如图4，沿折叠，使点落在长边上的点处，连接，得正方形； 第二步：对折正方形，使边与重合，得折痕，并展开，如图5，则； 第三步：连接，沿折叠，使点落在延长线上的点处，如图6，则的长为 ① ； 第四步：过点折叠纸片，得折痕，使，交于点，并展开，如图7，则矩形为黄金矩形． （1）补全小明操作过程中①所缺的内容______； （2）聪明的小慧发现，在图7中，除了黄金矩形外，还有另一个黄金矩形，请找出这个矩形，并给予证明． （3）小慧根据（2）题进一步发现，在黄金矩形中折去正方形，从而留下的矩形即为黄金矩形．类似于“勾股树”，黄金矩形也能不断“生长”，可以在图8中继续折出更多的黄金矩形、黄金矩形，……如图9，小慧用弧线将折得的不断分割的黄金矩形的分割点连结起来，便会形成一条曲线，通常被称为“黄金螺线”．自然界的很多植物、建筑、艺术作品中都有“黄金螺线”的影子．记、、的弧长分别为、、，请探究、、满足的数量关系． 【答案】（1） （2）另一个黄金矩形是矩形，证明 ，，， ∴， ∴， ∴矩形是黄金矩形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质及勾股定理可算得答案； （2）根据黄金矩形的定义及正方形的性质，可得四边形为黄金矩形； （3）在黄金矩形中，设, 则, 利用题中给出的信息，分别求出, 然后分别验证选项是否成立即可. 【小问1详解】 解：根据题意可得， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 由折叠的性质可得：， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在黄金矩形中，设, 则, ， , , 同理可得, ， . 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，正方形的性质，黄金矩形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试题卷 （全卷8个大题，共19个小题；满分100分，考试用时90分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生解题作答必须在答题卷（答题卡）上．答案书写在答题卷（答题卡）相应位置上（不能改动答题卡上的标题题号），在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卷（答题卡）一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 2. 下列图象中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数据中，是勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 1，2， C. 4，5，7 D. 6，8，10 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 5. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为．若，，则（ ） A. 5 B. 13 C. 18 D. 97 7. 如图，在中，平分，，，则的周长是（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 8. 如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为（　　） A. 30米 B. 32米 C. 36米 D. 48米 9. 已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 14 10. 如图，四边形中，点E、F、G、H分别是边的中点若四边形为菱形，则对角线AC、BD应满足条件是（ ） A. B. C. 且 D. 不确定 11. “赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是（ ） A. 25 B. 36 C. 49 D. 64 12. 如图，小虎在篮球场上从点O出发，沿着O→A→B→C→O的路径匀速跑动． 下列选项能刻画小虎所在位置距出发点O的距离s与时间t的关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，已知，点D为的中点，从A滑行至B的过程中，下列说法错误的是（ ） A. B. 为等边三角形 C. D. 整个过程中下降的高度为 14. 如图，正方形的对角线相交于点O，点E为上一动点．连接，作交于点F，已知，则四边形的面积为（　　） A. 1 B. 2 C. D. 4 15. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 已知二次根式有意义，则的取值范围是________． 17. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是________． 18. 人工智能工具训练模型时，记录的初始温度为，运行后的温度每分钟上升，则温度关于运行时间（分钟）的函数关系式为______． 19. 如图，已知平面直角坐标系中任意两点的坐标、，求的长度？某数学兴趣小组这样解决：过点、分别作平行于轴、轴的直线交于点，则点的坐标为，那么，，在中，根据勾股定理得： ．在平面直角坐标系中，任意两点之间的距离均可用上述公式计算，我们称其为两点间距离公式． 若点、点，则的长度为________． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算： （1） （2） 21. 勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带． （1）应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以原点O为圆心，OB为半径作弧，则点C表示的数为_______． （2）应用场景2：解决实际问题． 如图2，秋千静止时，，将它往前推至点C处时，水平距离，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 22. 阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简： ________，________，________； （2）计算：． 23. 如图，某社区有一块四边形空地．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． （1）连接，试判断的形状，并写出证明过程； （2）求这块空地的面积． 24. 已知：，，分别求下列代数式的值： （1）； （2） 25. 如图，在中，，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，平行线与间的距离为，求菱形的面积． 26. 问题情境：已知正方形，是对角线上任意一点． 发现：（1）如图l，若连接，，则线段与的数量关系为 ． 探究：（2）如图2，经过点作，与的延长线交于点，与交于点． ①判断的形状并说明理由； ②连接，若是的中点，且，，直接写出线段的长． 27. 综合与实践——黄金矩形． 宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调匀称的美感，它常见于艺术、建筑、自然界中，如图1中的希腊巴特农神庙和图2中达·芬奇的画作《蒙娜丽莎》．今天我们追随先哲们的脚步，利用纸片来折出黄金矩形，创造数学美！ 如图3，矩形纸片的宽，小明按如下步骤操作． 第一步：如图4，沿折叠，使点落在长边上的点处，连接，得正方形； 第二步：对折正方形，使边与重合，得折痕，并展开，如图5，则； 第三步：连接，沿折叠，使点落在延长线上的点处，如图6，则的长为 ① ； 第四步：过点折叠纸片，得折痕，使，交于点，并展开，如图7，则矩形为黄金矩形． （1）补全小明操作过程中①所缺的内容______； （2）聪明的小慧发现，在图7中，除了黄金矩形外，还有另一个黄金矩形，请找出这个矩形，并给予证明． （3）小慧根据（2）题进一步发现，在黄金矩形中折去正方形，从而留下的矩形即为黄金矩形．类似于“勾股树”，黄金矩形也能不断“生长”，可以在图8中继续折出更多的黄金矩形、黄金矩形，……如图9，小慧用弧线将折得的不断分割的黄金矩形的分割点连结起来，便会形成一条曲线，通常被称为“黄金螺线”．自然界的很多植物、建筑、艺术作品中都有“黄金螺线”的影子．记、、的弧长分别为、、，请探究、、满足的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $