8.4.2 第2课时 分组分解法分解因式课件 2025-2026学年沪科版七年级数学下册

沪科版数学7年级下册培优备课课件(精做课件) 8.4.2 第2课时 分组分解法分解因式 第8章 整式乘法与因式分解 授课教师: Home . 班 级: 七年级(*)班 . 时 间: . 2026年4月6日 沪科版七年级数学下册8.4.2 第2课时 分组分解法分解因式 练习题 班级:_ 姓名:_ 得分:_ 本套练习题围绕8.4.2第2课时分组分解法分解因式设计,核心知识点为:当多项式的项数多于3项时,将多项式适当分组,使分组后每组都能提取公因式或运用公式法分解,再对整体提取公因式,最终将多项式分解为几个因式乘积的形式,叫做分组分解法。核心分组思路:①分组后能提取公因式(“提公因式分组”);②分组后能运用平方差、完全平方公式(“公式分组”),分组关键是“分组后能继续分解”。练习题涵盖分组思路辨析、直接分组分解、变式分组及易错点辨析,结合之前所学的提公因式法、公式法,难度由浅入深,贴合课堂重难点,旨在帮助巩固核心知识,提升因式分解综合能力,总字数约700字。 一、选择题(每小题3分,共15分) 1. 下列多项式中,适合用分组分解法分解因式的是( ) A. $$x^2 - y^2$$ B. $$x^2 + 2x + 1$$ C. $$x^2 + 3x + 2$$ D. $$ax + ay + bx + by$$ 2. 将多项式$$ax - bx + ay - by$$分组,正确的是( ) A. $$(ax - bx) + (ay - by)$$ B. $$(ax + ay) - (bx - by)$$ C. $$(ax - by) + (ay - bx)$$ D. $$(ax - ay) + (bx - by)$$ 3. 下列用分组分解法分解因式正确的是( ) A. $$x^2 + 2x + 1 - y^2 = (x + 1)^2 - y^2 = (x + 1 + y)(x + 1 - y)$$ B. $$ax + bx + a + b = x(a + b) + (a + b) = x(a + b + 1)$$ C. $$x^2 - 3x + 2 - xy + 3y = (x^2 - 3x) + (2 - xy + 3y)$$(无法继续分解) D. $$4a^2 - 4a + 1 - b^2 = (4a^2 - 4a) + (1 - b^2) = 4a(a - 1) + (1 - b)(1 + b)$$(无法继续分解) 4. 分解因式$$x^2 - y^2 + x - y$$,正确的分组方式是( ) A. $$(x^2 - y^2) + (x - y)$$ B. $$(x^2 + x) - (y^2 - y)$$ C. $$(x^2 - y^2 + x) - y$$ D. $$x^2 - (y^2 + x - y)$$ 5. 分解因式$$a^2 - 2ab + b^2 - c^2$$,结果正确的是( ) A. $$(a - b)^2 - c^2 = (a - b + c)(a - b - c)$$ B. $$(a^2 - c^2) - (2ab - b^2) = (a + c)(a - c) - b(2a - b)$$ C. $$(a^2 - 2ab) + (b^2 - c^2) = a(a - 2b) + (b - c)(b + c)$$ D. $$(a - b - c)^2$$ 二、填空题(每小题3分,共15分) 1. 分组分解法:当多项式的项数多于3项时,将多项式_分组,使分组后每组都能_或_,再对整体提取公因式,最终将多项式分解为几个因式乘积的形式,叫做分组分解法。 2. 分解因式$$ax + ay + bx + by$$,分组后提取公因式得_;分解因式$$x^2 - xy + x - y$$,结果为_。 3. 分解因式$$4a^2 - b^2 + 2a - b$$,分组方式为_,最终结果为_。 4. 分解因式$$x^2 - 2x + 1 - y^2 = \_\_\_\_\_\_$$;分解因式$$ab - ac + b - c = \_\_\_\_\_\_$$。 5. 分解因式$$m^2 - n^2 + 2m + 2n = \_\_\_\_\_\_$$;若$$x^2 + ax + bx + ab$$分解因式为$$(x + a)(x + b)$$,则分组方式为_。 三、解答题(共70分) 1. (10分)判断下列分组分解因式的过程是否正确,若不正确,请指出错误并改正。 ① $$ax + bx - ay - by = (ax + bx) - (ay + by) = x(a + b) - y(a + b) = (a + b)(x - y)$$; ② $$x^2 - 4y^2 + x - 2y = (x^2 - 4y^2) + (x - 2y) = (x + 2y)(x - 2y) + (x - 2y) = (x - 2y)(x + 2y + 1)$$; ③ $$a^2 - 2ab + b^2 - 1 = (a^2 - 2ab) + (b^2 - 1) = a(a - 2b) + (b - 1)(b + 1)$$; ④ $$2x^2 + 2xy - 3x - 3y = (2x^2 + 2xy) - (3x + 3y) = 2x(x + y) - 3(x + y) = (x + y)(2x - 3)$$; ⑤ $$xy - x - y + 1 = (xy - x) - (y + 1) = x(y - 1) - (y + 1)$$。 2. (15分)用分组分解法分解下列因式(需写出完整分组过程和运算步骤)。 (1)$$ax + bx + ay + by$$;(2)$$x^2 - xy + x - y$$;(3)$$ab - ac + b - c$$;(4)$$m^2 + mn + am + an$$;(5)$$2x^2 + 4x + x + 2$$。 3. (15分)用分组分解法分解下列变式因式(需写出完整分组过程,可结合提公因式法、公式法)。 (1)$$x^2 - y^2 + x + y$$;(2)$$a^2 - 2ab + b^2 - 9$$;(3)$$4x^2 - 4x + 1 - y^2$$;(4)$$3x^2 + 6xy - 3x - 6y$$;(5)$$x^4 - 2x^3 + x^2 - 1$$。 4. (15分)利用分组分解法解决下列问题(需写出完整运算步骤)。 (1)已知$$a + b = 3$$,求$$a^2 - b^2 + 2a + 2b$$的值;(2)分解因式$$(x^2 + 2x)^2 - (y^2 + 2y)^2$$;(3)分解因式$$x^2 - 4xy + 4y^2 - 2x + 4y$$;(4)已知$$ab = 2$$,$$a + b = 3$$,求$$a^2b + ab^2 + a + b$$的值;(5)分解因式$$m^3 - m^2n - mn^2 + n^3$$。 5. (15分)应用题:一个长方形的面积可以表示为多项式$$x^2 + 5x + 6$$平方厘米,另一个长方形的面积可以表示为多项式$$x^2 + 3x + 2$$平方厘米,求两个长方形的面积差(结果用分组分解法分解因式,写出完整计算步骤)。 参考答案提示: 一、1.D 2.A 3.A 4.A 5.A 二、15.适当,提取公因式,运用公式法 16.$$(a + b)(x + y)$$,$$(x - y)(x + 1)$$ 17.$$(4a^2 - b^2) + (2a - b)$$,$$(2a - b)(2a + b + 1)$$ 18.$$(x - 1 + y)(x - 1 - y)$$,$$(b - c)(a + 1)$$ 19.$$(m + n)(m - n + 2)$$,$$(x^2 + ax) + (bx + ab)$$ 三、23.①正确;②正确;③不正确,分组不当,改正:$$(a^2 - 2ab + b^2) - 1 = (a - b)^2 - 1 = (a - b + 1)(a - b - 1)$$;④正确;⑤不正确,分组不当,改正:$$(xy - x) - (y - 1) = x(y - 1) - (y - 1) = (y - 1)(x - 1)$$ 24.(1)分组:$$(ax + bx) + (ay + by)$$,提取公因式:$$x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y)$$;(2)分组:$$(x^2 - xy) + (x - y)$$,提取公因式:$$x(x - y) + 1(x - y) = (x - y)(x + 1)$$;(3)分组:$$(ab - ac) + (b - c)$$,提取公因式:$$a(b - c) + 1(b - c) = (b - c)(a + 1)$$;(4)分组:$$(m^2 + mn) + (am + an)$$,提取公因式:$$m(m + n) + a(m + n) = (m + n)(m + a)$$;(5)分组:$$(2x^2 + 4x) + (x + 2)$$,提取公因式:$$2x(x + 2) + 1(x + 2) = (x + 2)(2x + 1)$$ 25.(1)分组:$$(x^2 - y^2) + (x + y)$$,用公式+提公因式:$$(x + y)(x - y) + (x + y) = (x + y)(x - y + 1)$$;(2)分组:$$(a^2 - 2ab + b^2) - 9$$,用公式+提公因式:$$(a - b)^2 - 3^2 = (a - b + 3)(a - b - 3)$$;(3)分组:$$(4x^2 - 4x + 1) - y^2$$,用公式+提公因式:$$(2x - 1)^2 - y^2 = (2x - 1 + y)(2x - 1 - y)$$;(4)分组:$$(3x^2 + 6xy) - (3x + 6y)$$,提公因式+再提公因式:$$3x(x + 2y) - 3(x + 2y) = 3(x + 2y)(x - 1)$$;(5)分组:$$(x^4 - 2x^3 + x^2) - 1$$,用公式+再用公式:$$x^2(x - 1)^2 - 1 = [x(x - 1) + 1][x(x - 1) - 1] = (x^2 - x + 1)(x^2 - x - 1)$$ 26.(1)分组分解:$$(a^2 - b^2) + (2a + 2b) = (a + b)(a - b) + 2(a + b) = (a + b)(a - b + 2)$$,代入得$$3(a - b + 2)$$(或化简为$$3a - 3b + 6$$);(2)用公式+分组分解:$$(x^2 + 2x + y^2 + 2y)(x^2 + 2x - y^2 - 2y) = [(x^2 + 2x) + (y^2 + 2y)][(x^2 + 2x) - (y^2 + 2y)] = (x + y)(x + y + 2)(x - y)(x + y + 2)$$;(3)分组分解:$$(x^2 - 4xy + 4y^2) - (2x - 4y) = (x - 2y)^2 - 2(x - 2y) = (x - 2y)(x - 2y - 2)$$;(4)分组分解:$$(a^2b + ab^2) + (a + b) = ab(a + b) + (a + b) = (a + b)(ab + 1)$$,代入得$$3 \times (2 + 1) = 9$$;(5)分组分解:$$(m^3 - m^2n) - (mn^2 - n^3) = m^2(m - n) - n^2(m - n) = (m - n)(m^2 - n^2) = (m - n)^2(m + n)$$ 27.面积差:$$(x^2 + 5x + 6) - (x^2 + 3x + 2) = 2x + 4 = 2(x + 2)$$;或分组分解原式后再求差:$$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$$,$$x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$$,面积差:$$(x + 2)(x + 3) - (x + 1)(x + 2) = (x + 2)[(x + 3) - (x + 1)] = (x + 2) \times 2 = 2(x + 2)$$平方厘米,即面积差为$$2(x + 2)$$平方厘米 2026年4月6日星期一9时55分43秒 2026年4月6日星期一9时55分47秒 因式分解: 思考: 四项式 又如何分解? 总结:这个多项式共有四项,可以把其中的两项分为一组,再提取公因式,且分组没有固定格式. 因式分解: 法1 原式 法2 原式 利用分组法因式分解 1 小结:分组后再用公式法. 例1 分解因式: 解: 典例精析 解: 方法总结:因式分解有时需先分组,再利用提公因式法或公式法进行分解. 注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止. 分解因式: a2-4b2-a-2b. 针对训练 =(a+2b)(a-2b-1). 解: 原式=(a2-4b2)-(a+2b) =(a+2b)(a-2b)-(a+2b) 你会把 x2 + 4x + 3 分解因式吗? 完全平方公式 x2 + 4x + 4 -1 4-1 平方差公式 合作探究 分析: 方法一 x2 + 4x + 3 = (x2 + 4x + 4)-1 = (x + 2)2-1 = (x + 2 + 1)(x + 2-1) = (x + 3)(x + 1) 你会把 x2 + 4x + 3 分解因式吗? 分析: 拆分成 3x + x x2 + 3x + x + 3 提取公因式 方法二 x2 + 4x + 3 = x2 + 3x + x + 3 = x(x + 3) + (x + 3) = (x + 3)(x + 1) 还有其他方法吗? 分析: 你会把 x2 + 4x + 3 分解因式吗? 多项式乘法法则: (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab 由等式性质可得: x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) (1 + 3)x (1 3) 方法三 x2 + 4x + 3 = x2 + (1 + 3)x + 1 3 = (x + 3)(x + 1) 例3 把下列各式分解因式: (1) 3ax2 + 6axy + 3ay2; (2) (a + b)2 - 12(a + b) + 36. 解:(1) 原式 = 3a(x2 + 2xy + y2) = 3a(x + y)2. 分析:(1) 中有公因式 3a,应先提出公因式,再进一步分解因式; (2) 中将 a + b 看成一个整体,则原式也是一个完全平方式. (2) 原式 = (a + b)2 - 2(a + b) 6 + 62 = (a + b - 6)2. 选择合适的方法因式分解 2 因式分解: (1)-3a2x2+24a2x-48a2; (2)(a2+4)2-16a2. 针对训练 =(a2+4+4a)(a2+4-4a) 解:(1) 原式=-3a2(x2-8x+16) =-3a2(x-4)2. (2) 原式=(a2+4)2-(4a)2 =(a+2)2(a-2)2. 有公因式的要先提公因式 要检查每一个多项式的因式,看能否继续分解 多项式分解因式的一般思路: 1. 如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式; 2. 如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式来分解; 3. 如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组来分解; 4. 分解因式时,必须进行到每一个多项式都不能再分解为止. 口诀:一提 二套 三分 四检 总结归纳 例4 (1) 已知 a-b=3,求 a(a-2b)+b2 的值; (2) 已知 ab=2,a+b=5,求 a3b+2a2b2+ab3 的值. 得原式=2 52=50. 解:(1) 原式=a2-2ab+b2=(a-b)2. 由 a-b=3,得原式=32=9. (2) 原式=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2. 由 ab=2,a+b=5, 1星题 基础练 知识点 综合运用提公因式法与公式法分解因式 1.把多项式 分解因式,结果正确的是( ) C A. B. C. D. 中考考法 14 2.多项式 因式分解为( ) A A. B. C. D. 中考考法 15 3.一次课堂练习,小颖同学做了以下几道因式分解题,其中 没有分解彻底的是( ) A A. B. C. D. 中考考法 16 4.利用因式分解计算 的结果是( ) D A.44 B.800 C.2 200 D.8 800 中考考法 17 5.因式分解: (1)[合肥模拟] _; (2) _. 中考考法 18 6.把下列各式分解因式:(8分) (1) ; 解:原式 ; 中考考法 19 (2) ; 解:原式 . 中考考法 20 2星题 中档练 7.分解因式: _ _. 中考考法 21 8.新课标 开放性问题 请你写出一个只含有三项的多项式, 使它在提取公因式后还能用完全平方公式分解因式.你写出的 符合条件的多项式是_. (答案不唯一) 中考考法 22 9.[合肥期中] 将 分解因式,所得结果正确的是 ( ) D A. B. C. D. 中考考法 23 10.在有理数范围内把 分解因式,结果中因式的个数是 ( ) C A.3 B.4 C.5 D.6 因为 ,所以结果中因式的个数是5. 中考考法 24 11.[杭州模拟] 某密码研究小组接收到一条密文: .已知密码手册中,有这样一条 信息:,,,,8, 分别对应下列六 个字:我、爱、中、华、大、地.把密文 用因式分解解码后,明文可能 是( ) D A.中华大地 B.爱我中华 C.爱大中华 D.我爱中大 中考考法 25 12.已知长方形的长为,宽为 ,周长为16,两边的平方和 为40.(8分) (1)求此长方形的面积; 解:由题意知 , 所以 . 因为,所以 . 答:此长方形的面积为12. 中考考法 26 (2)求 的值. . 中考考法 27 分组法 因式分解 步骤: 一分:先分组; 二提:公因式; 三套:公式; 四查:多项式的因式分解有没有分解到不能再分解. $