2026年 数学中考复习 圆 专项训练

2026年人教版初中数学中考复习《圆》专项训练 【答案】 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选项 Ｃ Ｂ C B C D A C B C D A B A C 16.   17.   18.   19.   20.   21.   22.   23.   24.   25. 证明， ，即， ； ， ， 在和中， ， ．  26. 证明：为的直径， ， 在和中， ≌； 直线与相切，理由如下： 连接，如图所示： 由≌知：， 又， 为的中位线， ， ， ， 为的半径， 直线与相切．  27. 解：证明：连接、，如图， 为的切线， ， ， ， ， ， ， ， ； 为的直径， ， ， ，， ， ， ．  28. 解：证明：是半圆的直径， ， 在与中，， ，由知， ， 是半圆所在圆的切线， ， ， 由知， ， ， ， ，， ， 平分．  29. 解：连接， 为的直径， ， ， ， ， ， 是的切线，为切点， ， ， ， ， ， ； ，， 是的中位线， ，， ， 设，， ， ， ， ∽， ， ， ， ．  30. 解：证明：连接， ， ， 又， ， 又， ， ， ， 是的切线． 在中， ， ， 又， ， ， ． 的直径为．  31. 解：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径  ， 是的切线； ，，， ≌， ， 又， ； ，， ∽， ， ， ， ， 设，，由勾股定理可得：， 解得：， ．  32. 解：证明：如图，连接， 与边相切于点， ，即， 在和中， ≌， ， 又是半径， 是的切线； ， 设，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故的半径为； 证明：连接，， 由可知：≌， ，， 又，， 在和中， ≌， ， ， ， ， 点是中点，， ， ， ， ， ， ．  33. 解：是等腰直角三角形，证明过程如下： 为的直径， ， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形． 在中，， ， 在中，，， ．  【解析】 1. 【分析】 本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据扇形的面积公式计算即可． 【解答】 解：扇形的面积是：． 2. 【分析】 由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得，又由，即可求得的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得的度数． 此题考查了圆周角定理．注意掌握直径所对的圆周角是直角． 【解答】 解：连接， 是的直径， ， ， ， ． 故选：． 3. 【分析】 本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 连接，由圆周角定理得出，求出，再由圆周角定理得出即可， 【解答】 解：连接，如图所示： 是半圆的直径， ， ， ， ， ， 故选：． 4. 解：由题意得到，作出圆，如图所示， 四边形为圆的内接四边形， ， ， ， 故选：． 根据题意得到四边形共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数． 此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键． 5. 【分析】 本题主要考查了点与圆的位置关系，切线的定义，切线就是与圆有且只有个公共点的直线，理解定义是关键． 先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得出答案． 【解答】 解：的半径为，点到圆心的距离为， ， 点与的位置关系是：在外， 过圆外一点可以作圆的条切线， 故选：． 6. 解：连接、， ，， ， ． 故选D． 连接、，可得，由圆周角定理即可得． 本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系以及圆周角定理． 7. 【分析】 本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为后，用表示出的长度．根据题意，可以推出，若设半径为，则，，结合勾股定理可求出半径的值． 【解答】解：连接， 点是的中点，点是的中点， ，，，三点共线， ， 在中，， 设半径为得：， 解得：， 这段弯路的半径为． 故选A． 8. 解：连接， ，， ， ， 为等边三角形， ， ， 故选：． 连接，证明为等边三角形，根据等腰三角形的性质解答即可． 本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． 9. 【分析】 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．根据圆周角定理得到，，再由得到，然后根据三角形外角性质计算的度数． 【解答】 解：是的直径， ， ， ， ， ． 故选：． 10. 【分析】 本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，过点作于点，交于点，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长． 【解答】 解：连接，过点作于点，交于点，如图所示： ， ， 的直径为， ， 在中，， ， 故选：． 11. 【分析】 连接，交于，根据垂径定理得出，，证明≌，进而证得，根据三角形中位线定理求得，从而求得，利用勾股定理即可求得． 本题考查了垂径定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 【解答】 解：连接，交于， 是的中点， ，， ， ，， ， 是直径， ， 在和中， ≌， ， ， ， ， ， 在中，， ， 故选D． 12. 【分析】 本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，圆的切线的性质，垂径定理，勾股定理，关键是求出的长度． 设与、轴相切的切点分别是、点，连接、、，延长与交于点，证明四边形为正方形，求得，再根据垂径定理求得，进而得、，便可得点坐标． 【解答】 解：设与、轴相切的切点分别是、点，连接、、，延长与交于点， 则轴，轴， ， 四边形是矩形， ，， 四边形为正方形， ， ， ， ， 四边形为矩形， ，，， ， 四边形为矩形，四边形为矩形， ，，， ， ， ，， ， ， ． 故选：． 13. 解：连接，，， ， ， ， ， ， ． 故选：． 本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，关键在于画出半径，构造圆心角．连接，，，根据圆周角定理得出，再根据得到，从而得到，最后利用圆内接四边形的性质得到结果． 14. 【分析】 本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理求出，由直径所对的圆周角是直角得，进而计算即可． 【解答】 解：如图，连接， 四边形是半圆的内接四边形， ， ， ， 是直径， ， ， 故选：． 15. 【分析】 本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到取得最大值、最小值时、的位置，属于中考常考题型． 如图，设与相切于点，连接，作垂足为，交于，此时垂线段最短，最小值为，求出；当在边上时，与重合时，最大值为，由此不难解决问题． 【解答】 解：如图，设与相切于点，连接，作于点，交于点， 此时垂线段最短，最小值为 ，，，， ． ， ． ， ， ． 同理可知， ， 最小值为， 当在边上时，与重合时，经过圆心，经过圆心的弦最长，圆的半径， 最大值为， 长的最大值与最小值的和是． 故选：． 16. 解：， 故答案为． 利用扇形的面积公式计算即可． 本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积是扇形的半径，是扇形的弧长． 17. 【分析】根据垂径定理得出  ，由勾股定理求得  ，根据正切的定义即可求解． 【详解】解：    ， 在  中，  ，    ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，求正切值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18. 解：，是的切线，，是切点， ，， ， ，， ． 故答案为：． 先根据切线的性质得到，然后根据四边形的内角和计算的度数． 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径． 19. 【分析】 此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理有关知识，直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出，进而得出答案． 【解答】 解：，， ， ， ， ， ． 故答案为． 20. 【分析】 本题主要考查三角形内角和定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等内容，作出正确的辅助线是解题关键． 连接，，由三角形内角和可得出，再根据圆周角定理可得，即是等腰直角三角形，又知道圆半径为，可得出结论． 【解答】 解：如图，连接，， 在中，，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ． 故答案为：． 21. 【分析】 本题考查了切线的性质，坐标和图形的性质，圆周角定理，找到的最大值是解题的关键，连接并延长，交上一点，以为圆心，以为半径作，交轴于、，此时的长度最大，根据勾股定理和题意求得，则的最大长度为． 【解答】 解：当点移动到使时，连接并延长，交上一点，以为圆心，以为半径作，交轴于、，此时的长度最大， ， ， 以点为圆心的圆与轴相切． 的半径为， ， 是直径， ， 长度的最大值为， 故答案为． 22. 【分析】 本题考查了圆周角定理，以及坐标与图形性质．先利用圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理得到为的直径，则点为的中点，接着利用含的直角三角形的性质得到，，所以，，然后可得到点坐标． 【解答】 解：四边形为圆的内接四边形， ， ， ， 为的直径， 点为的中点， 在中，，， ， ， 点坐标为，点坐标为， 点坐标为． 故答案为． 23. 解：如图，连接、， 半圆分别与，相切于点，． ，， ， ， ， 的长为， ， ， ， 连接， 在中，，， ， ， ， 故答案为：． 连接、，根据半圆分别与，相切于点，可得，，由，可得，得，再根据的长为，可得，连接，根据中，，，可得，进而可求图中阴影部分的面积． 本题考查了切线的性质、弧长的计算、扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握弧长和扇形面积的计算公式． 24. 【分析】 本题考查了圆周角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理． 连接、，交于，如图，利用垂径定理得到，设的半径为，则，，根据勾股定理得到，解得，再利用垂径定理得到，，则，，然后解方程组求出，从而得到的长． 【解答】 解：连接、，交于，如图， ， ， 设的半径为，则，， 在中，，解得：， ， ，， 在中，， 在中，， 解由组成的方程组得到， ． 故答案为：． 25. 本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等；也考查了圆周角定理即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 由知，即，据此可得答案； 由知，结合，可证，从而得出答案． 26. 由为的直径得，结合，用证明全等三角形； 由≌得，结合得为的中位线，由得，可得直线为切线． 本题考查了直线与圆的位置关系，全等三角形判定和性质，切线的判定，平行线的判定和性质，熟知以上知识的应用是解题的关键． 27. 本题考查的是切线的性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的面积，平行线的判定与性质有关知识． 连接、，根据切线的性质得到，则可判断，得到，然后证明，从而得到结论； 利用圆周角定理得到，则利用勾股定理可计算出，再根据等腰三角形的性质得到，然后利用面积法求出的长． 28. 本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键． 根据圆周角定理得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； 根据等腰三角形的性质得到，根据切线的性质得到，根据对顶角相等以及角平分线的定义即可得到结论． 29. 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的性质得到，等量代换即可得到结论； 根据三角形中位线定理得到，设，，证明∽，根据相似三角形的性质即可得到结论． 30. 本题考查了切线的判定进而性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 连接，根据圆周角定理求出，再由得出，再由得出，继而由，可得出，从而得出结论； 利用含角的直角三角形的性质求得，进而得到结论． 31. 本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线． 连接，可证得，由，可得出，即结论得证； 证明≌可得，又，则； 证明∽，可求出的长，得出长，设，，则由勾股定理可得的长． 32. 本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 连接，由切线的性质可得，由“”可证≌，可得，可得结论； 由锐角三角函数可设，，由勾股定理可求，再由勾股定理可求解； 连接，，由“”可知≌，可得，由平角的定义可得，由三角形内角和定理可得，可得，可证，可得结论． 33. 本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解答本题的关键． 根据圆周角定理，等腰直角三角形的判定定理解答即可； 根据勾股定理解答即可． 第1页，共24页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年人教版初中数学中考复习《圆》专项训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一个扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积是(    ) A. B. C. D. 2.如图，为的直径，，是圆周上的两点，若，则锐角的度数为(    ) A. B. C. D. 3.如图，是半圆的直径，，是上两点，连接，并延长交于点，连接，如果，那么的度数为(    ) A. B. C. D. 4.如图，点为线段的中点，点，，到点的距离相等，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 5.平面内，的半径为，点到的距离为，过点可作的切线条数为(    ) A. 条 B. 条 C. 条 D. 无数条 6.如图，点，，，，在上，，，则(    ) A. B. C. D. 7.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点，点是的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为(    ) A. B. C. D. 8.如图，的半径为，于点，，则的长是(    ) A. B. C. D. 9.如图，是的直径，点，在上，，交于点若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 10.往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面，则水的最大深度为(    ) A. B. C. D. 11.如图，在半径为的中，是直径，是弦，是的中点，与交于点若是的中点，则的长是(    ) A. B. C. D. 12.如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与相交于点若的半径为，点的坐标是则点的坐标是(    ) A. B. C. D. 13.如图，四边形内接于，连接若，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 14.如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，若，则的度数等于(    ) A. B. C. D. 15.如图，在中，，，，以边的中点为圆心，作半圆与相切，点、分别是边和半圆上的动点，连接，则长的最大值与最小值的和是(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共9小题，每小题3分，共27分。 16.一个扇形的圆心角是，半径为，则这个扇形的面积为          结果保留 17.如图，为的弦， 为上一点，于点 若，，则          ． 18.如图，，是的切线，，是切点若，则          ． 19.如图，点，，，在上，，，，则          ． 20.如图，圆的半径为，内接于圆若，，则          ． 21.如图，在平面直角坐标系中，已知，以点为圆心的圆与轴相切．点、在轴上，且点为上的动点，，则长度的最大值为          ． 22.如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是          ． 23.如图，在中，为边上的一点，以为圆心的半圆分别与，相切于点，已知，，的长为，则图中阴影部分的面积为          ． 24.如图，为的直径，弦，垂足为，，，，则弦的长度为          ． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 25.本小题分 如图，中，弦与相交于点，，连接、． 求证：；           ． 26.本小题分 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点． 求证：≌； 判断直线与的位置关系，并说明理由． 27.本小题分 如图，为的直径，点在上，与过点的切线互相垂直，垂足为连接并延长，交的延长线于点． 求证：； 若，，求的长． 28.本小题分 如图，是半圆的直径，，是半圆上不同于，的两点，，与相交于点是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点． 求证：≌； 若，求证：平分． 29.本小题分 如图，为的直径，为延长线上一点，是的切线，为切点，于点，交于点． 求证：． 若，，求的长． 30.本小题分 如图，内接于，，是的直径，点是延长线上的一点，且． 求证：是的切线； 若，求的直径． 31.本小题分 如图，是的直径，点在的延长线上，、是上的两点，，，延长交的延长线于点． 求证：是的切线； 求证：； 若，，求弦的长． 32.本小题分 如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画，与边相切于点，，连接交于点，连接，并延长交线段于点． 求证：是的切线； 若，，求的半径； 若是的中点，试探究与的数量关系并说明理由． 33.本小题分 如图，四边形内接于，为的直径，． 试判断的形状，并给出证明； 若，，求的长度． 第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $