精品解析：2026年河北省石家庄市新华区中考一模数学试卷

初中学业质量监测（九年级） 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 为保障石家庄冬季供暖，某供暖公司记录了一周内的最低室外气温，分别为，，，，，，，其中气温最低一天的温度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将给出的所有气温按从小到大排序，找出最小的数即可得到结果． 【详解】解：将一周的最低气温按从小到大排序为， ∴最小的温度为． 2. 图①是铜制“方斗”，作为我国古代重要的计量器具，它蕴含着丰富的数学文化与几何智慧．图②是其几何示意图，可抽象为底面是正方形的正四棱台，箭头表示主视方向．则该“方斗”的三视图中，形状相同的是（ ） A. 主视图与俯视图 B. 左视图与俯视图 C. 主视图与左视图 D. 主视图、左视图、俯视图均相同 【答案】C 【解析】 【分析】根据简单几何体的三视图解答即可． 【详解】解：该几何体的三视图如图所示： 由三视图可知，主视图与左视图相同， 3. 随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生．多种AI软件崭露头角，某班级为更好地了解AI软件，计划举办手抄报展览，据统计，“豆包”AI在某功能测试中，每秒可处理数据条，若持续运行秒，则这段时间内共处理的数据条数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“总数据条数每秒处理数据条数运行时间”列式，计算后整理为标准科学记数法形式即可． 【详解】解：． 4. 如图是某校实验室中“小孔成像”的演示装置，保持蜡烛与光屏平行，测得点O到蜡烛、光屏的距离分别为，．若长为，则长为（ ） A. cm B. cm C. 10cm D. cm 【答案】D 【解析】 【分析】运用相似三角形的性质可得结论 【详解】如图，过点作，， 由题意可得：， ， ， ，，， ， ． 5. 已知等式成立，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用完全平方公式展开等式右边，得到，再根据等式两边有理部分和无理部分对应相等列方程求解，即可得到值． 【详解】∵， ∵ 等式成立，等式两边有理部分和无理部分对应相等， ∴ 可得， 解得，， 将代入第一个方程验证：，等式成立 ∴． 6. 如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接并延长至点，连接．有下列条件：①；②；③．要使四边形为平行四边形，可以增加的一个条件是（ ） A. ①或② B. ②或③ C. ①或③ D. ①或②或③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定条件分析即可； 【详解】， ， ， 当时，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证明四边形为平行四边形； 当时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形为平行四边形． 7. 某学校文创社计划定制书签和笔记本，已知每张书签6元，每本笔记本15元．社团计划花费180元定制两种文创产品（两种都需定制），则定制方案共有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 【答案】D 【解析】 【分析】设两种产品的定制数量，根据总花费列出二元一次方程，结合两种产品都需定制，即数量均为正整数的条件，找出方程的正整数解个数，得到方案数． 【详解】解：设定制书签张，定制笔记本本，，均为正整数． 根据题意列方程得， 方程两边同时除以3，得， 整理得， ∵，均为正整数， ∴或或或或， ∴共有种定制方案． 8. 计算的结果是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解： ． 9. 如图，在中，，．嘉嘉想用尺规作图法，在的边上找一点，使得．其中不能实现的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，得，观察各选项中是否满足即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 选项A：图中所作为的角平分线， 故，满足； 选项B：图中所作为线段的垂直平分线， 得， ∴， ∴，满足； 选项C：图中所作为的垂线， ∴，故不满足； 选项D：图中所作为， ∴，满足； 综上，不满足的做法为选项C． 10. 当时，一次函数最大值为6，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 0或 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次项系数的正负判断函数在上的增减性，再结合最大值为，求解的值． 【详解】解：一次函数的斜率为，分两种情况讨论： ①当时： 函数在上随着的增大而增大，最大值出现在处． 代入得：． 由最大值为，得，解得． ②当时： 函数在上随着的增大而减小，最大值出现在处． 代入得：． 由最大值为，得，解得，但不满足，舍去． ③当时： 函数为常函数，最大值为，不符合最大值为，舍去． 综上所述，． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的单调性与最值，解题关键是分斜率正负讨论函数的增减性，再结合区间端点求最值． 11. 如图，在等边中，是边上一点，将绕点逆时针旋转得到，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转的性质，可得，，，证明为等边三角形，可得，由角度之间的等量代换及计算即可得出，即可得出结果． 【详解】解：∵由绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 12. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，直线：经过点．将正方形沿轴向下平移个单位后，点恰好落在直线上．下列结论中，正确的有（ ） ①直线l的解析式为； ②正方形的边长为： ③平移距离； ④平移后正方形对角线的交点到原点的距离为． A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】由待定系数法求解函数表达式，判断结论①；过点作轴交于点，过作轴交于点，证明，可得、长度，求出长度，判断结论②；由得出点坐标以及移动后的坐标，代入直线表达式，求出，判断结论③；由中点坐标得出正方形对角线的交点坐标，再得出平移后坐标，即可求其到原点的距离，判断结论④． 【详解】解：∵点在直线：上， ∴， 解得， ∴直线：，故结论①正确； 过点作轴交于点，过作轴交于点，如下图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， 由勾股定理得，故结论②错误； 同理可证， ∴，， ∴点，平移后点坐标为， 点在直线：上， 代入得， 解得，故结论③正确； 平移前，对角线交点为中点， ∵、, 其坐标为, 平移后坐标为， 到原点距离为，故结论④正确； 综上，正确的结论有①③④，故选C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解：原式． 14. 如图，点为和角平分线的交点，，，．过作分别交，于点，．则的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，根据角平分线的性质，结合平行线的性质，证出，，即可得出的周长即为，故可得出结果． 【详解】解：连接，，如下图所示： ∵平分，平分， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长为： ． 15. 如图，数轴上点，，分别表示数，，，那么反比例函数的图像在第__________象限． 【答案】一、三 【解析】 【分析】根据题意可得出，结合不等式的性质，可判断出，得出函数图像位置． 【详解】解：由图易知，中点在点左侧， 即， ∵，结合， ∴， 故反比例函数的图像在一、三象限． 16. 在一次数学实践活动课上，同学们想通过测量一些数据，计算一个正六边形螺母中间圆形螺纹孔的直径．琪琪同学如图放置一把直尺，使直尺的一边经过点A，并与圆相切，交于点M．测得，螺纹孔的直径为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点M作交的延长线于点P，取螺纹孔的圆心为点O，切点为点Q，连接，则，根据正六边形的性质可得为等边三角形，，从而得到， ，进而得到，，继而得到，在和中，利用勾股定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点M作交的延长线于点P，取螺纹孔的圆心为点O，切点为点Q，连接，则， ∵正多边形为正六边形， ∴，，， ∴为等边三角形，， ∴， ， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， 解得：， ∴， 即螺纹孔的半径为， ∴螺纹孔的直径为． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：．芳芳在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．（■代表被污染的数字） （1）如果被污染的数字是，请计算：； （2）如果计算结果大于6，求被污染的数字的最小整数值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）代入计算即可；（2）设被污染的数字为x，列不等式求解即可； 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 设被污染的数字为x， 则， ， ， ， ， ∴被污染的数字的最小整数值是3． 18. 定义：若一个三位数的百位数字与个位数字的和恰好等于十位数字的倍，则这个三位数叫做“和倍数”．例如，三位数，因为，所以它是“和倍数”． 【理解定义】 （1）三位数是“和倍数”吗？ ．（填写“是”或者“不是”） 【建模推理】 （2）设一个“和倍数”的百位、十位、个位数字分别为，，，则，，满足的关系式为 ； （3）任意一个“和倍数”都能被整除吗？请说明理由． 【答案】（1）不是 （2） （3）任意一个“和倍数”都能被整除，见解析 【解析】 【分析】（1）计算是否为的倍即可判断； （2）根据“和倍数”的定义即可得出结果； （3）由，可得，符合的倍数的特征，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵， 故三位数不是“和倍数”． 【小问2详解】 解：根据“和倍数”的定义， 即三位数的百位数字与个位数字的和恰好等于十位数字的倍， 可得． 【小问3详解】 解：令为“和倍数”设一个“和倍数”的百位、十位、个位数字分别为，，， ∴， ∵，符合的倍数的特征， 故任意一个“和倍数”都能被整除． 19. 把两个等腰直角和按如图①所示位置摆放，，将绕点A按逆时针方向旋转，如图②，连接，设旋转角为． （1）嘉嘉同学说在旋转过程中，．请帮他证明； （2）如图③，若，，当点D在线段上时， ① ； ②求CE的长． 【答案】（1）见解析 （2）①；②10 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的定义，结合，即可得证； （2）①同（1）得到，得出，根据求出结果即可； ②设，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：，都是等腰直角三角形， ，，， 则 ， ； 【小问2详解】 解：①是等腰直角三角形， ， ， 同（1）可得， ∴， ∴； ②设， 由（1）得， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴ 解得（舍），． ∴的长是10． 20. 为落实“五育并举”的育人理念，某校聚焦德育、智育、体育三项核心素养，对七、八年级学生从以上三方面进行测评，规定综合成绩（满分分）按德育占、智育占、体育占计算，现从七、八年级各随机抽取名学生的三项成绩进行测评，对他们的综合成绩（整数）进行整理、描述和分析． 相关信息： Ⅰ．七、八年级名学生综合成绩折线统计图如图所示． Ⅱ．七、八年级学生综合成绩的平均数、中位数、众数如下表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中 ， ；根据统计表中的统计量你认为哪个年级综合成绩较好，并说明理由； （2）已知七年级一名学生的德育得分为分，智育得分为分，体育得分为分．按学校设定的权重计算，其综合成绩恰好为分．求，的值； （3）规定综合成绩不小于分为优秀．若该校七年级有人，八年级有人，根据样本数据估计七、八年级共有优秀学生多少人； （4）在抽取的样本中，七年级优秀（分）的学生有人（男女）；八年级优秀的学生有人（男女）．现从七、八年级的优秀学生样本中各随机抽取一名去参加比赛，请用列表或树状图的方法，求抽到的两名学生恰好为一男一女的概率． 【答案】（1），；八年级综合成绩更好，见解析 （2） （3）人 （4） 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义即可得出、的值，由众数、中位数相同，通过平均数判断成绩更好的班； （2）根据题意列出方程，求解方程即可； （3）用总数乘以所求人数占比即可得出结果； （4）列表得出结果即可． 【小问1详解】 解：七年级综合成绩数据为：，，，，，，，，，； 八年级综合成绩数据为：，，，，，，，，，； ∴七年级中位数为，八年级众数为， ，； 八年级综合成绩更好． 理由：七、八年级成绩的中位数和众数都相同，八年级平均成绩88．7分，高于七年级平均成绩87．1分，所以八年级综合成绩更好． 【小问2详解】 解：由题意，得， 解得：． 【小问3详解】 解：七年级优秀人数：， 八年级优秀人数：， 优秀总人数：． 答：七、八年级优秀学生总数为人． 【小问4详解】 解：列表如下： 八年级 七年级 男2 男3 女2 男1 （男1，男2） （男1，男3） （男1，女2） 女1 （女1，男2） （女1，男3） （女1，女2） 由列表可知，所有可能的结果共有种，符合条件的共种． ∴P（抽到的两名学生恰好为一男一女）． 21. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在上，． （1）所在圆的圆心的坐标是 ； （2）所在圆的半径是 ； （3）求的长； （4）在网格中过点A作的切线，直接写出这条切线经过的格点坐标（点A除外） ． 【答案】（1） （2）5 （3） （4）， 【解析】 【分析】（1）设圆心，根据求出即可；（2）计算的长度即可；（3）根据弧长公式计算即可；（4）设切线经过的格点坐标为，根据切线的性质和勾股定理列式求解即可； 【小问1详解】 由图可得：，，， 点在线段的垂直平分线上，圆心与点的横坐标相同， 设圆心为， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 由题可得：为圆的半径， ，， ， 圆的半径为． 【小问3详解】 如图， 圆心为，连接，， ， ， ； 小问4详解】 设切线经过的格点坐标为， ，， ，，， 是切线， ， ， ， ， ， ， 为图中某一格点， 当时，，此时，与重合，不符合； 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时超出格点，不符合题意； 满足条件的点有，． 22. 某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图①，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． （1）把一定质量的水放入底面积为40容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； （2）实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围； （3）如图②，现将一个密度均匀的实心正方体金属块浸没在水中（水不溢出），容器内水与容器底面接触面积变为原来的，此时水对容器底部的压强比原来增加了．求原来容器的底面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法进行求解即可； （2）由反比例函数的性质，算出临界值，即可得出对应的取值范围； （3）根据题意列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：由题可知，设（）， 当时，，代入得， ∴k＝60000， ∴． 【小问2详解】 解：已知且， ∵， ∴随的增大而减小， 当时，； 当时，； ∴． 【小问3详解】 解：由已知得， ∴， ∴． 答：容器原来的底面积为75． 23. 矩形和正方形是特殊的平行四边形，我们可以通过如下方式获得矩形和正方形． 【操作1】有一张三角形纸片，顶点分别是，，．部分数据如图①所示．如图②，分别在，上取点，，再沿过点，分别与垂直的虚线剪开，得到①，②，③三块，若这三块能拼接成如图③所示的矩形． （1）的长为 ； （2）求点到的距离； 【操作2】 （3）如图④，将沿，折叠后，点和点在点处重合，点落在点处．若四边形为正方形，，，求的面积； 【操作3】 （4）如图，在四边形中，，点，，，分别为四条边的中点，与的和为与之间距离的2倍． 嘉嘉说：我可以将四边形分成三块图形，重新拼接，无重叠、无缝隙地组成一个正方形； 淇淇说：我可以将四边形分成四块图形，重新拼接，无重叠、无缝隙地组成一个正方形． 请你帮嘉嘉、淇淇设计裁剪方式，使裁剪后的图形能够拼成一个正方形．（用虚线在图中画出裁剪线，在剪出的每一部分图形上标注序号，并画出拼接后的正方形，在正方形相应位置标注对应的序号） 嘉嘉的做法： 淇淇做法： 【答案】（1） （2） （3） （4）见解析 【解析】 【分析】（1）由图形的变化可得点N为BC中点，可得BN的长度； （2）过点作于点，由勾股定理可得方程，解出AE的长度，证明，得，解出NQ即可； （3）由翻折的性质，根据线段关系求出BC、AE长度，结合平行四边形的面积为即可得出结果； （4）根据题意作图即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，这三块能拼接成如图③所示的矩形， 即， ∴． 【小问2详解】 解：如解图，过点作于点， 在中，； 在中，， ∴， 即， 解得， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴点到的距离为． 【小问3详解】 解：由折叠的性质，得，，， ∴， ∵四边形为正方形，，， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积为． 【小问4详解】 解：嘉嘉的方法： 淇淇的方法： 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线过点． （1）求抛物线的表达式，并求出顶点坐标； （2）已知直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． ①C（ ， ）； ②当时，如图，直线与轴交于点，与直线x＝2交于点E，当抛物线与线段仅有一个交点时，求k的取值范围； ③过点C与垂直直线d交抛物线于P，Q两点，M，N分别是，的中点．R为抛物线的对称轴上一点，射线，与x轴分别交于H，S．试探究：当m变化时，是否存在以为顶角的等腰，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），顶点坐标为 （2）①；②或；③ 【解析】 【分析】（1）将代入中，得到，推出抛物线的表达式为，配方成顶点式，可得到顶点坐标； （2）①由直线与x轴交于点C，令，得到，结合，得到，求得，得到点； ②当时，直线为，根据题意求得点，点，由抛物线可知，抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线沿对称轴上下平移，从而当抛物线与线段相切时有一个交点，；当抛物线经过点时，有两个交点，；当抛物线经过点时，有一个交点，；即可求得k的取值范围； ③存在，设， 直线与抛物线联立，求得，根据点是的中点，得到；再求得直线解析式为，然后直线与抛物线联立得，，求得，由点是的中点，得到；由题意知，求出，，代入得，要使对任意都成立，有，解得，即可得到点． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点， ∴将代入中，得， 解得，， ∴抛物线的表达式为， ∵， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：①∵直线与x轴交于点C， ∴当时，，即， ∵， ∴，解得， ∴点； ② 当时，直线为， ∵直线与轴交于点， ∴当时，， ∴点， ∵直线与直线交于点， ∴， ∴点， 由抛物线可知，抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线沿对称轴上下平移， 当抛物线与线段相切时有一个交点，此时， 整理得，， ∴，即，解得； 当抛物线经过点时，有两个交点，； 当抛物线经过点时，有一个交点，； 综上可知，当抛物线与线段仅有一个交点时，或； ③存在，理由： ∵抛物线为，对称轴为，点为抛物线的对称轴上一点， ∴设， 直线与抛物线联立得，， 整理得，， ∴， ∵点是的中点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即； ∵直线与直线：垂直， ∴直线的斜率为：，解析式为， ∴直线与抛物线联立得，， 整理得，， ∴， ∵点是的中点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即； ∵等腰的顶角为，即，且，关于对称轴对称， ∴， ∵，， ∴，化简得， 整理得，， ∵要使对任意都成立， ∴，解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中学业质量监测（九年级） 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 为保障石家庄冬季供暖，某供暖公司记录了一周内的最低室外气温，分别为，，，，，，，其中气温最低一天的温度是（ ） A. B. C. D. 2. 图①是铜制“方斗”，作为我国古代重要的计量器具，它蕴含着丰富的数学文化与几何智慧．图②是其几何示意图，可抽象为底面是正方形的正四棱台，箭头表示主视方向．则该“方斗”的三视图中，形状相同的是（ ） A. 主视图与俯视图 B. 左视图与俯视图 C. 主视图与左视图 D. 主视图、左视图、俯视图均相同 3. 随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生．多种AI软件崭露头角，某班级为更好地了解AI软件，计划举办手抄报展览，据统计，“豆包”AI在某功能测试中，每秒可处理数据条，若持续运行秒，则这段时间内共处理的数据条数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是某校实验室中“小孔成像”的演示装置，保持蜡烛与光屏平行，测得点O到蜡烛、光屏的距离分别为，．若长为，则长为（ ） A. cm B. cm C. 10cm D. cm 5. 已知等式成立，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 8 6. 如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接并延长至点，连接．有下列条件：①；②；③．要使四边形为平行四边形，可以增加的一个条件是（ ） A. ①或② B. ②或③ C. ①或③ D. ①或②或③ 7. 某学校文创社计划定制书签和笔记本，已知每张书签6元，每本笔记本15元．社团计划花费180元定制两种文创产品（两种都需定制），则定制方案共有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 8. 计算的结果是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 9. 如图，在中，，．嘉嘉想用尺规作图法，在的边上找一点，使得．其中不能实现的是（ ） A. B. C. D. 10. 当时，一次函数最大值为6，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 0或 11. 如图，在等边中，是边上一点，将绕点逆时针旋转得到，若，则为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，直线：经过点．将正方形沿轴向下平移个单位后，点恰好落在直线上．下列结论中，正确的有（ ） ①直线l的解析式为； ②正方形的边长为： ③平移距离； ④平移后正方形对角线的交点到原点的距离为． A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：__________． 14. 如图，点为和角平分线的交点，，，．过作分别交，于点，．则的周长为__________． 15. 如图，数轴上点，，分别表示数，，，那么反比例函数图像在第__________象限． 16. 在一次数学实践活动课上，同学们想通过测量一些数据，计算一个正六边形螺母中间圆形螺纹孔的直径．琪琪同学如图放置一把直尺，使直尺的一边经过点A，并与圆相切，交于点M．测得，螺纹孔的直径为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：．芳芳在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．（■代表被污染的数字） （1）如果被污染的数字是，请计算：； （2）如果计算结果大于6，求被污染的数字的最小整数值． 18. 定义：若一个三位数的百位数字与个位数字的和恰好等于十位数字的倍，则这个三位数叫做“和倍数”．例如，三位数，因为，所以它是“和倍数”． 【理解定义】 （1）三位数是“和倍数”吗？ ．（填写“是”或者“不是”） 【建模推理】 （2）设一个“和倍数”的百位、十位、个位数字分别为，，，则，，满足的关系式为 ； （3）任意一个“和倍数”都能被整除吗？请说明理由． 19. 把两个等腰直角和按如图①所示的位置摆放，，将绕点A按逆时针方向旋转，如图②，连接，设旋转角为． （1）嘉嘉同学说在旋转过程中，．请帮他证明； （2）如图③，若，，当点D在线段上时， ① ； ②求CE的长． 20. 为落实“五育并举”的育人理念，某校聚焦德育、智育、体育三项核心素养，对七、八年级学生从以上三方面进行测评，规定综合成绩（满分分）按德育占、智育占、体育占计算，现从七、八年级各随机抽取名学生的三项成绩进行测评，对他们的综合成绩（整数）进行整理、描述和分析． 相关信息： Ⅰ．七、八年级名学生综合成绩折线统计图如图所示． Ⅱ．七、八年级学生综合成绩的平均数、中位数、众数如下表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中 ， ；根据统计表中的统计量你认为哪个年级综合成绩较好，并说明理由； （2）已知七年级一名学生的德育得分为分，智育得分为分，体育得分为分．按学校设定的权重计算，其综合成绩恰好为分．求，的值； （3）规定综合成绩不小于分为优秀．若该校七年级有人，八年级有人，根据样本数据估计七、八年级共有优秀学生多少人； （4）在抽取的样本中，七年级优秀（分）的学生有人（男女）；八年级优秀的学生有人（男女）．现从七、八年级的优秀学生样本中各随机抽取一名去参加比赛，请用列表或树状图的方法，求抽到的两名学生恰好为一男一女的概率． 21. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在上，． （1）所在圆圆心的坐标是 ； （2）所在圆的半径是 ； （3）求的长； （4）在网格中过点A作的切线，直接写出这条切线经过的格点坐标（点A除外） ． 22. 某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图①，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． （1）把一定质量的水放入底面积为40容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； （2）实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围； （3）如图②，现将一个密度均匀实心正方体金属块浸没在水中（水不溢出），容器内水与容器底面接触面积变为原来的，此时水对容器底部的压强比原来增加了．求原来容器的底面积． 23. 矩形和正方形是特殊的平行四边形，我们可以通过如下方式获得矩形和正方形． 【操作1】有一张三角形纸片，顶点分别是，，．部分数据如图①所示．如图②，分别在，上取点，，再沿过点，分别与垂直的虚线剪开，得到①，②，③三块，若这三块能拼接成如图③所示的矩形． （1）的长为 ； （2）求点到的距离； 【操作2】 （3）如图④，将沿，折叠后，点和点在点处重合，点落在点处．若四边形为正方形，，，求的面积； 【操作3】 （4）如图，在四边形中，，点，，，分别为四条边中点，与的和为与之间距离的2倍． 嘉嘉说：我可以将四边形分成三块图形，重新拼接，无重叠、无缝隙地组成一个正方形； 淇淇说：我可以将四边形分成四块图形，重新拼接，无重叠、无缝隙地组成一个正方形． 请你帮嘉嘉、淇淇设计裁剪方式，使裁剪后的图形能够拼成一个正方形．（用虚线在图中画出裁剪线，在剪出的每一部分图形上标注序号，并画出拼接后的正方形，在正方形相应位置标注对应的序号） 嘉嘉的做法： 淇淇的做法： 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线过点． （1）求抛物线表达式，并求出顶点坐标； （2）已知直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． ①C（ ， ）； ②当时，如图，直线与轴交于点，与直线x＝2交于点E，当抛物线与线段仅有一个交点时，求k的取值范围； ③过点C与垂直的直线d交抛物线于P，Q两点，M，N分别是，的中点．R为抛物线的对称轴上一点，射线，与x轴分别交于H，S．试探究：当m变化时，是否存在以为顶角的等腰，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $