阶段巩固练：随机事件与概率-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

阶段巩固练：随机事件与概率-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 一、单项选择题 1．已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正确的是 （ ） A．如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，那么有90人会被治愈 B．如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会被治愈 C．使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90% D．以上说法都不对 2．抛掷两枚骰子，所得向上点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是 （ ） A．一枚是3点，一枚是1点 B．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点 C．两枚都是4点 D．两枚都是2点 3．有两人从一座6层大楼的底层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这两人在不同层离开电梯的概率是 （ ） A． B． C． D． 4．已知事件A，B，C满足A⊆B，B⊆C，则下列说法错误的是 （ ） A．事件A发生一定导致事件C发生 B．事件B发生一定导致事件C发生 C．事件发生不一定导致事件发生 D．事件发生不一定导致事件发生 5．已知小华每次投篮投中率都是40%，现采用随机模拟的方法估计小华三次投篮恰有两次投中的概率．先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示投中，4，5，6，7，8，9表示未投中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数： 531　297　191　925　546　388　230　113　589　663 321　412　396　021　271　932　800　478　507　965 据此估计，小华三次投篮恰有两次投中的概率为 （ ） A．0.30 B．0.35 C．0.40 D．0.45 6．现有一组数据0，1，2，3，4，5，若从这组数据中随机删去两个数，则剩下数据的平均数小于3的概率为 （ ） A． B． C． D． 二、多项选择题 7．下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有 （ ） A．掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数为偶数” B．袋中有5个白球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M＝“第1次摸到白球”，事件N＝“第2次摸到白球” C．分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第1枚为正面”，事件N＝“两枚结果相同” D．一枚硬币掷两次，事件M＝“第一次为正面”，事件N＝“第二次为反面” 8．算盘是中国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具．下图是一把算盘的初始状态，有一道横梁将算珠统分为上、下两部分，算珠内贯直柱，俗称为“档”，自右向左分别表示个位、十位、百位、千位……横梁上面一粒珠子(简称上珠)代表5，下面一粒珠子(简称下珠)代表1，每档共有五粒下珠和两粒上珠．例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位、千位档上分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件A＝“表示的四位数能被3整除”，B＝“表示的四位数能被5整除”，则下列结论正确的是 （ ） A．P(A)＝ B．P(B)＝ C．P(AB)＝ D．P(A∪B)＝ 三、填空题 9．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，“甲夺得冠军”为事件A，“乙夺得冠军”为事件B，那么“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”用事件A与B可表示为________． 10．某人有4把钥匙，其中2把能打开门．如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率为__________；如果试过的钥匙又混进去，第二次才能打开门的概率为__________. 四、解答题 11．用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色．记事件A＝“三个圆的颜色全不相同”，事件B＝“三个圆的颜色不全相同”，事件C＝“其中两个圆的颜色相同”，事件D＝“三个圆的颜色全相同”． （1）写出试验的样本空间． （2）判断事件B与事件A，C的关系． （3）事件A＋C与事件B有什么关系？事件AB与事件D什么关系？ 12．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层随机抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测． 地区 A B C 数量 50 150 100 （1）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量； （2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率． 13．某学校在一次期末考试中，将学生的数学成绩由高到低排列，分为一、二、三档，前22%定为一档，前22%到前58%定为二档，后42%定为三档，同时学校根据所有学生的总成绩分出及格线和优秀线．在这次考试中，学生的数学成绩的频率分布直方图如图所示，已知第三档的分数段为[0，70). （1）求成绩位于[30，60)时所对应的频率，并估计第二档和第一档的分数段． （2）学校在统计历年的数据中发现，数学成绩为一档的学生其总分过优秀线的概率为0.8，数学成绩为二档的学生其总分过优秀线的概率为0.5，数学成绩为三档的学生其总分过优秀线的概率为0.1.在此次期末考试中，甲、乙、丙三位学生的数学成绩分别为65，94，122，请结合第（1）问中的分数段，求这三位学生总分过优秀线的人数为2的概率． 14．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. （1）重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率； （2）依次发送1，1，0，判断以下两个事件：①事件A＝“至少收到一个正确信号”；②事件B＝“至少收到两个0”，是否相互独立，并给出证明． 阶段巩固练：随机事件与概率-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 一、单项选择题 1．已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正确的是 （ ） A．如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，那么有90人会被治愈 B．如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会被治愈 C．使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90% D．以上说法都不对 解析：使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，即使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%，故C正确；如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，那么每个病人将有90%的可能被治愈，故A错误；如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物，那么被治愈的概率为1－(1－90%)2＝99%，也可能不被治愈，故B错误．故选C. 答案：C 2．抛掷两枚骰子，所得向上点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是 （ ） A．一枚是3点，一枚是1点 B．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点 C．两枚都是4点 D．两枚都是2点 解析：抛掷两枚骰子，所得向上点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是“一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点”．故选B. 答案：B 3．有两人从一座6层大楼的底层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这两人在不同层离开电梯的概率是 （ ） A． B． C． D． 解析：设这两人为A，B，则这两人离开电梯的样本空间Ω＝{(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A2，B5)，(A2，B6)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A3，B5)，(A3，B6)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)，(A4，B5)，(A4，B6)，(A5，B2)，(A5，B3)，(A5，B4)，(A5，B5)，(A5，B6)，(A6，B2)，(A6，B3)，(A6，B4)，(A6，B5)，(A6，B6)}，共包含25个样本点．事件“两人在相同层离开电梯”包含(A2，B2)，(A3，B3)，(A4，B4)，(A5，B5)，(A6，B6)，共5个样本点，所以“两人在不同层离开电梯”共包含20个样本点，所求概率P＝＝，故选C. 答案：C 4．已知事件A，B，C满足A⊆B，B⊆C，则下列说法错误的是 （ ） A．事件A发生一定导致事件C发生 B．事件B发生一定导致事件C发生 C．事件发生不一定导致事件发生 D．事件发生不一定导致事件发生 解析：因为A⊆B，B⊆C，所以A⊆C，所以A中说法正确；因为B⊆C，所以事件B发生一定导致事件C发生，所以B中说法正确；因为A⊆C，所以⊆，所以事件发生不一定导致事件发生，所以C中说法正确；因为B⊆C，所以⊆，所以事件发生一定导致事件发生，所以D中说法错误．故选D. 答案：D 5．已知小华每次投篮投中率都是40%，现采用随机模拟的方法估计小华三次投篮恰有两次投中的概率．先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示投中，4，5，6，7，8，9表示未投中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数： 531　297　191　925　546　388　230　113　589　663 321　412　396　021　271　932　800　478　507　965 据此估计，小华三次投篮恰有两次投中的概率为 （ ） A．0.30 B．0.35 C．0.40 D．0.45 解析：由题意，20组随机数中，小华三次投篮恰有两次投中有6组，即531，191，412，271，932，800，所以小华三次投篮恰有两次投中的概率为＝0.30，故选A. 答案：A 6．现有一组数据0，1，2，3，4，5，若从这组数据中随机删去两个数，则剩下数据的平均数小于3的概率为 （ ） A． B． C． D． 解析：依题意得这组数据之和为0＋1＋2＋3＋4＋5＝15，设删去的两数之和为x，若剩下数据的平均数小于3，则<3，解得x>3，设A＝“从这组数据中随机取两个数，且两个数之和大于3”，则A＝{(0，4)，(0，5)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}，共有11个样本点．从0，1，2，3，4，5中任意取两个数的样本空间Ω＝{(0，1)，(0，2)，(0，3)，(0，4)，(0，5)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}，共有15个样本点，故剩下数据的平均数小于3的概率为P(A)＝. 答案：B 二、多项选择题 7．下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有 （ ） A．掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数为偶数” B．袋中有5个白球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M＝“第1次摸到白球”，事件N＝“第2次摸到白球” C．分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第1枚为正面”，事件N＝“两枚结果相同” D．一枚硬币掷两次，事件M＝“第一次为正面”，事件N＝“第二次为反面” 解析：A中，P(MN)＝0，所以M，N不相互独立，故不符合题意；B中，事件M的发生对事件N有影响，故M，N，不是相互独立事件，故不符合题意；C中，因为P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，P(MN)＝P(M)·P(N)，所以M，N是相互独立事件，故符合题意；D中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M，N是相互独立事件，故符合题意． 答案：CD 8．算盘是中国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具．下图是一把算盘的初始状态，有一道横梁将算珠统分为上、下两部分，算珠内贯直柱，俗称为“档”，自右向左分别表示个位、十位、百位、千位……横梁上面一粒珠子(简称上珠)代表5，下面一粒珠子(简称下珠)代表1，每档共有五粒下珠和两粒上珠．例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位、千位档上分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件A＝“表示的四位数能被3整除”，B＝“表示的四位数能被5整除”，则下列结论正确的是 （ ） A．P(A)＝ B．P(B)＝ C．P(AB)＝ D．P(A∪B)＝ 解析：每档只拨动一粒珠子至梁上，得到数字1或5，因此四位数的个数是16.能被3整除的四位数，数字1和5各出现2个，因此满足条件的四位数的个数是6，所以P(A)＝＝，A正确；能被5整除的四位数，个位上的数字为5，满足条件的四位数的个数为8，P(B)＝＝，B不正确；能被15整除的四位数的个位上的数字是5，十位、百位、千位上的数字为一个5、两个1，因此满足这个条件的四位数的个数是3，概率为P(AB)＝，C正确；P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝，D正确． 答案：ACD 三、填空题 9．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，“甲夺得冠军”为事件A，“乙夺得冠军”为事件B，那么“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”用事件A与B可表示为________． 解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”即事件“甲夺得冠军”或“乙夺得冠军”，因此事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”为事件A＋B. 答案：A＋B 10．某人有4把钥匙，其中2把能打开门．如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率为__________；如果试过的钥匙又混进去，第二次才能打开门的概率为__________. 解析：将4把钥匙编号为1，2，3，4，其中1号和2号能打开门，依次从中选取两把钥匙，如果把第一次打不开的钥匙扔掉，则可能出现的结果列表如下． 第一次打不开的钥匙扔掉 1 2 3 4 1 × 12 13 14 2 21 × 23 24 3 31 32 × 34 4 41 42 43 × 设事件A表示第二次才打开门， 则A＝{31，32，41，42}， 所以P(A)＝＝. 如果试过的钥匙又混进去，则可能出现的结果列表如下． 第一次打不开的钥匙又混进去 1 2 3 4 1 11 12 13 14 2 21 22 23 24 3 31 32 33 34 4 41 42 43 44 设事件B表示第二次才打开门， 则B＝{31，32，41，42}，所以P(B)＝＝. 答案：　 四、解答题 11．用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色．记事件A＝“三个圆的颜色全不相同”，事件B＝“三个圆的颜色不全相同”，事件C＝“其中两个圆的颜色相同”，事件D＝“三个圆的颜色全相同”． （1）写出试验的样本空间． （2）判断事件B与事件A，C的关系． （3）事件A＋C与事件B有什么关系？事件AB与事件D什么关系？ 解：（1）试验的样本空间Ω＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)，(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}． （2）A＝{(红，黄，蓝)}； B＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}； C＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)}． 所以A⊆B，C⊆B. （3）由（2）知A＋C＝B. D＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)}，AB＝{(红，黄，蓝)}，所以(AB)∩D＝∅. 12．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层随机抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测． 地区 A B C 数量 50 150 100 （1）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量； （2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率． 解：（1）因为样本容量与总体中的个体数的比是＝， 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 50×＝1，150×＝3，100×＝2， 所以A，B，C三个地区的商品被抽取的件数分别为1，3，2. （2）设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A1；B1，B2，B3；C1，C2，则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，C1}，{A1，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个． 每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件出现的机会是等可能的．记事件D“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个． 所以P(D)＝，即这2件商品来自相同地区的概率为. 13．某学校在一次期末考试中，将学生的数学成绩由高到低排列，分为一、二、三档，前22%定为一档，前22%到前58%定为二档，后42%定为三档，同时学校根据所有学生的总成绩分出及格线和优秀线．在这次考试中，学生的数学成绩的频率分布直方图如图所示，已知第三档的分数段为[0，70). （1）求成绩位于[30，60)时所对应的频率，并估计第二档和第一档的分数段． （2）学校在统计历年的数据中发现，数学成绩为一档的学生其总分过优秀线的概率为0.8，数学成绩为二档的学生其总分过优秀线的概率为0.5，数学成绩为三档的学生其总分过优秀线的概率为0.1.在此次期末考试中，甲、乙、丙三位学生的数学成绩分别为65，94，122，请结合第（1）问中的分数段，求这三位学生总分过优秀线的人数为2的概率． 解：（1）根据频率分布直方图的信息，成绩位于[0，30)，[30，60)，[60，90)，[90，120)，[120，150]时对应的频率分别为0.12，30a，0.42，0.24，0.06. 由0.12＋30a＋0.42＋0.24＋0.06＝1，得30a＝0.16， 即成绩位于[30，60)时所对应的频率为0.16. 因为0.22＝0.06＋0.16，且＝，所以成绩在[90，120)内的前也属于第一档， 即可估计第一档的分数段为[100，150]，又第三档的分数段为[0，70)，所以估计第二档的分数段为[70，100). （2）记事件A＝“这三位学生总分过优秀线的人数为2”，根据第（1）问的结论可知，甲的数学成绩属于第三档，乙的数学成绩属于第二档，丙的数学成绩属于第一档， 则P(A)＝0.8×0.5×0.9＋0.2×0.5×0.1＋0.8×0.5×0.1＝0.41. 14．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. （1）重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率； （2）依次发送1，1，0，判断以下两个事件：①事件A＝“至少收到一个正确信号”；②事件B＝“至少收到两个0”，是否相互独立，并给出证明． 解：（1）重复发送信号1三次，“至少收到两次1”的可能情况为(1，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)， 因为信号的传输相互独立， 故“至少收到两次1”的概率为××＋××＋××＋××＝. （2）事件A与事件B不相互独立，证明如下： 若依次发送1，1，0，则“三次都没收到正确信号”的概率为××＝，故“至少收到一个正确信号”的概率P(A)＝1－＝； 若依次发送1，1，0，则“至少收到两个0”的可能情况为(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性， 故P(B)＝××＋××＋××＋××＝＝； 若依次发送1，1，0，“至少收到两个0且至少收到一个正确信号”的可能情况为(0，0，0)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性， 故P(AB)＝××＋××＋××＝， 因为P(A)P(B)≠P(AB)，所以事件A与事件B不相互独立． 学科网（北京）股份有限公司 $