精品解析：贵州省 铜仁市第九中学2025-2026学年九年级下学期4月阶段检测数学试题

贵州省铜仁市第九中学2025-2026学年九年级下学期4月阶段检测数学试题 同学，你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共4页，三个大题，满分150分，考试时间为120分钟，考试形式为闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（以下每个小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分） 1. 下列四个实数中，最大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 1 2. 下列图形中，能说明一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年1月到9月贵州梵净山景区接待游客155.6万人次，数据“155.6万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点D、E分别为三角形纸片两边的中点，沿裁剪得到，测量得，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，有、、、四点，在第二象限的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 6. 若关于x的方程的解是，则a的值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 7. 某羽毛球生产厂的质检员对一批羽毛球的质量进行随机抽查，结果如表所示： 抽取球数n 10 20 50 100 200 500 1000 优等品数m 7 16 42 81 164 410 820 优等品频率 则从这批产品中任意抽取一个羽毛球，估计抽到优等品的概率约为（ ） A. B. C. D. 8. 若分式的值为0，则实数x的值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 9. 如图，已知，．若的面积为4，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 10. 2025年贵州省马拉松赛事按季节打造了不同主题：春季“美”（万峰林）、夏季“爽”“凉”（贵阳、六盘水）、秋季“炫”（梵净山）、冬季民族特色（香炉山）．小明参加了黔东南香炉山马拉松比赛，从开始比赛到冲刺终点的过程中，如图可大致表示出他与起点的距离随时间的变化情况，则这个过程中小明的速度（ ） A. 保持不变 B. 先快后慢 C. 先慢后快 D. 无法判断 11. 如图，在正方形中，以点A为圆心，的长为半径画弧，再以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点E，作射线交于点F，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点A、B，将直线向下平移m个单位后与该曲线只有一个交点C．下列结论正确的是（ ） A. B. 平移后的直线与x轴的交点的坐标是 C. 线段的长为3 D. 当时，一次函数的值大于反比例函数的值 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分） 13. 周末，妈妈做了不同口味的雪花酥，每个雪花酥包装后外表形状完全相同，小红在零食袋中放入5个蔓越莓雪花酥、2个草莓雪花酥、2个芒果雪花酥，小丽从零食袋中随机摸出一个，则她拿到芒果雪花酥的概率是_______． 14. 实数a、b、c、d在数轴上的对应点的位置如图所示，则、、、从小到大排列为________． 15. 方程的解是________． 16. 如图，在平行四边形中，点E、F分别是边、的中点，连接、，过点B作于点H，延长分别交、于点M、点G，若，，，则的面积为______． 三、解答题（本大题9个小题，共98分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形） 17. 计算、化简： （1）； （2）先化简：，然后从、1、0、3中给m选取一个合适的值，再求分式的值． 18. 如图所示是常见的手动打气筒，打气筒的充气次数与气筒内直径（对应“粗筒”“细筒”）存在关联：当充气总量（固定气量，如给一辆自行车轮胎充至标准胎压、给1个气球充至饱满）不变时，气筒内直径越大（单次充气量越大），所需充气次数越少；气筒内直径越小（单次充气量越小），所需充气次数越多某实验小组对同一固定气量的气球进行充气测试，记录了气筒内直径L（单位：）与充气次数F（单位：次）的对应数据如表所示： 气筒内直径 2 3 5 6 充气次数F/次 15 10 6 5 根据以上信息，解答下列问题： （1）若使用内直径L为的打气筒给该固定气量的气球充气，所需充气次数F为_______次； （2）在已学过的函数中选择合适的模型，求F关于L的表达式，并在已给的平面直角坐标系中画出F与L的函数图象； （3）根据函数图象，描述当时，F随L的变化规律． 19. “黔货出山”项目是贵州农特产品走向全国的重要举措，为拓宽农产品的销路，黔东南某村百香果种植专业合作社开展亩产收益评比活动．合作社随机抽取三个种植小组（每组10户），从亩产量、销售渠道、利润空间三个维度对每户进行“亩产收益评分”，满分10分，评分越高代表收益越好，三个小组的评分情况如图所示． 根据以上信息，解答下列问题： （1）乙组得分的众数为________分，丙组得分的中位数为________分； （2）观察统计图，判断亩产收益情况更均衡稳定的小组是________（选填“甲组”“乙组”或“丙组”），你得出该结论所依据的统计量是_________（选填“平均数”“众数”“方差”或“中位数”）； （3）合作社规定：评分大于或等于9分的种植户为“优质收益户”，若该村共有120户百香果种植户，选用乙组数据估算是否合理？简述理由并估计全村“优质收益户”的数量． 20. 如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，，，． （1）若，求证：四边形是矩形； （2）在（1）的条件下，将沿折叠，使点O落在点E处，连接，求的面积． 21. 贵州省龙里县被誉为“中国刺梨之乡”，当地某刺梨加工企业生产两类刺梨产品：类刺梨原汁和类刺梨果干．已知生产箱类产品和箱类产品共需消耗刺梨鲜果千克；生产箱类产品和箱类产品共需消耗刺梨鲜果千克．每箱类产品可获利元，每箱类产品可获利元． （1）求生产箱类产品和箱类产品分别需要消耗刺梨鲜果多少千克； （2）该企业计划生产两类产品共箱，且消耗的刺梨鲜果不超过千克．为获得最大利润，该企业应生产类产品多少箱？ 22. 如图1，黔东南山区的茶园层层叠叠，研学小组深入茶园开展实地测量工作，并绘制了观测截面示意图如图2所示．在茶园底端平坦的观测点A处，同学们抬头测得茶园顶端B的仰角为；随后沿水平方向朝着茶园方向步行30米，抵达观测点C，在C点竖直向上搭建了一段高12米的测量平台（与地面垂直），站在平台顶端D处，再次测得茶园顶端B的仰角为．设点E是B点在地面上的投影，已知A、C、E三点在同一条水平直线上，垂直于地面．（参考数据：，，，，结果保留整数） 请结合示意图和已知条件，解答下列问题： （1）求茶园顶端B到水平地面的垂直高度的长； （2）求观测点A到茶园顶端B在水平地面上投影点E的水平距离的长． 23. 如图，内接于⊙且，点E是的中点，连接并延长，与的延长线交于点D，连接、． （1）线段与线段的数量关系是_________，写出图中一个和相等的角_______（除外）； （2）请你连接、，补全图形后若，判断的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 24. 如图1所示，掷沙包是一种传统游戏，投掷者用内装谷粒或者沙子的布包向远处的目标进行投掷，沙包抛出后，在空中的运动轨迹可近似看作一条抛物线，为了精准分析沙包的运动情况，小丽用所学的数学知识设沙包飞行的水平距离为x（单位：米），相对应的飞行高度为y（单位：米），建立平面直角坐标系，并作出平面示意图（如图2），长方形为篮筐截面图，x轴经过篮筐底面中心，并与其一组对边平行．已知篮筐距离原点水平距离米，篮筐截面底边米，高米，现小明站在原点O，将沙包从距离水平地面米高的P处抛出，小丽记录此次沙包运动的抛物线为，观测发现，当沙包飞到离出手点P水平距离2米处时，离地面高度到达最大高度米．（小明及篮筐所在地面在同一平面内，且沙包的形状大小、空气阻力等因素忽略不计） （1）求抛物线的表达式； （2）请你判断小明抛出的沙包能否投入篮筐； （3）若篮筐沿x轴正方向水平移动m米，为了让沙包刚好能投入篮筐的中心位置，小明调整出手轨迹为抛物线，且的形状与完全相同、最大高度不变，请直接写出抛物线的表达式．（用含m的式子表示） 25. 根据题意，解答下列问题： （1）【问题解决】如图1，在的斜边上取线段，以为一边作正方形，的直角顶点M落在边上，若，则的长为_________； （2）【灵活运用】 如图2，在矩形中，点E是边上一点，将沿折叠得到，连接并延长交的延长线于点F，若，试探究线段与的数量关系和位置关系； （3）【知识迁移】 如图3，在菱形中，边，．点M、N分别是对角线和边上的点（不与端点重合），连接、，，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省铜仁市第九中学2025-2026学年九年级下学期4月阶段检测数学试题 同学，你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共4页，三个大题，满分150分，考试时间为120分钟，考试形式为闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（以下每个小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分） 1. 下列四个实数中，最大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数大小比较，利用“正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小”的规则即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴最大的数是1，故选D． 2. 下列图形中，能说明一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的外角定理，直角三角形的性质，对顶角的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A.根据三角形的外角定理得出； B.无法确定的大小； C.； D.根据对顶角的性质得出． 3. 2025年1月到9月贵州梵净山景区接待游客155.6万人次，数据“155.6万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的形式为，其中，n为整数，进一步求解即可． 【详解】解：155.6万． 4. 如图，点D、E分别为三角形纸片两边的中点，沿裁剪得到，测量得，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线，得，继而得到，求解即可； 【详解】解：点D、E分别为三角形纸片两边的中点， 故， 故； 5. 在平面直角坐标系中，有、、、四点，在第二象限的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】C 【解析】 【分析】根据第二象限点的横纵坐标符号特征即可判断． 【详解】解：平面直角坐标系中，第二象限内点的坐标特征为横坐标小于0，纵坐标大于0． ∵ 的横纵坐标都大于0， ∴ 点A在第一象限； ∵ 的纵坐标为0， ∴ 点B在x轴上，不属于任何象限； ∵ 的横坐标 ，纵坐标 ，符合第二象限点的特征， ∴ 点C在第二象限； ∵ 的横纵坐标都小于0， ∴ 点D在第三象限． 6. 若关于x的方程的解是，则a的值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】将已知的x的值代入原方程，即可求出a的值． 【详解】解：∵ 是方程 的解， ∴ 将 代入原方程得， ， 解得：． 7. 某羽毛球生产厂的质检员对一批羽毛球的质量进行随机抽查，结果如表所示： 抽取球数n 10 20 50 100 200 500 1000 优等品数m 7 16 42 81 164 410 820 优等品频率 则从这批产品中任意抽取一个羽毛球，估计抽到优等品的概率约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率的知识点，当试验次数足够大时，频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数可估计为事件发生的概率. 【详解】解：∵用频率估计概率时，试验次数越大，频率越接近真实概率. 观察表格数据可得，随着抽取球数不断增大，优等品的频率逐渐稳定在. ∴估计从这批产品中任意抽取一个羽毛球，抽到优等品的概率约为. 8. 若分式的值为0，则实数x的值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】分式值为0需要满足分子为0且分母不为0，据此计算即可得到结果. 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得 . 9. 如图，已知，．若的面积为4，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵的面积为4， ∴． 10. 2025年贵州省马拉松赛事按季节打造了不同主题：春季“美”（万峰林）、夏季“爽”“凉”（贵阳、六盘水）、秋季“炫”（梵净山）、冬季民族特色（香炉山）．小明参加了黔东南香炉山马拉松比赛，从开始比赛到冲刺终点的过程中，如图可大致表示出他与起点的距离随时间的变化情况，则这个过程中小明的速度（ ） A. 保持不变 B. 先快后慢 C. 先慢后快 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据函数图象可得，第一段路程在短时间内上升的比较快， ∴速度较大； 第二段路程在长时间内上升的比较慢， ∴速度较小； ∴过程中小明的速度先快后慢． 11. 如图，在正方形中，以点A为圆心，的长为半径画弧，再以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点E，作射线交于点F，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明是等边三角形，求解即可； 【详解】解：正方形， 故，， 根据作图，得到， 故是等边三角形， ， ， ； 12. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点A、B，将直线向下平移m个单位后与该曲线只有一个交点C．下列结论正确的是（ ） A. B. 平移后的直线与x轴的交点的坐标是 C. 线段的长为3 D. 当时，一次函数的值大于反比例函数的值 【答案】A 【解析】 【分析】表示出平移后的函数解析式，联立平移后的一次函数与反比例函数，根据判别式为零，求解m的值可判断A选项；根据求解出的一次函数解析式，令，求解交点坐标判断B选项；联立一次函数与反比例函数，求解点A、B的坐标，再根据两点间距离公式求解可判断C选项；根据两个函数的图象即可判断D选项． 【详解】解：一次函数向下平移m个单位后的解析式为， A选项，若反比例函数与只有一个交点， ∴，即， 则有，即， 解得或， ∵，则平移后直线需在第一象限与双曲线有一个交点， 且当时，一次函数为与第一象限的双曲线不相交，故舍； ∴取，故A选项正确； B选项，，一次函数为， 令时，，解得， 平移后的直线与x轴的交点的坐标是，故B选项错误； C选项，一次函数与反比例函数的图象相交于点A、B， ∴，即，解得或， 当时，；当时，； ∴点，点， 由两点间距离公式可得，， ∴线段的长为，故C选项错误； D选项，由图象可知，当时，一次函数的值大于反比例函数的值，故D选项错误 ． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分） 13. 周末，妈妈做了不同口味的雪花酥，每个雪花酥包装后外表形状完全相同，小红在零食袋中放入5个蔓越莓雪花酥、2个草莓雪花酥、2个芒果雪花酥，小丽从零食袋中随机摸出一个，则她拿到芒果雪花酥的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出所有等可能的结果总数，再求出拿到芒果雪花酥的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：由题意可得，零食袋中所有雪花酥的总个数为，其中芒果雪花酥的个数为， 根据概率公式可得拿到芒果雪花酥的概率为. 14. 实数a、b、c、d在数轴上的对应点的位置如图所示，则、、、从小到大排列为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点的位置，判断出各数的相反数的大小关系即可. 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴. 15. 方程的解是________． 【答案】， 【解析】 【分析】首先两边直接开平方可得x-1=±5，再解一元一次方程即可． 【详解】解：两边直接开平方得：x-1=±5， 则x-1=5，x-1=-5， 解得：x1=6，x2=-4， 故答案为x1=6，x2=-4． 【点睛】此题主要考查了直接开方法求一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解． 16. 如图，在平行四边形中，点E、F分别是边、的中点，连接、，过点B作于点H，延长分别交、于点M、点G，若，，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用锐角三角函数和勾股定理求出相关线段的长度，利用三角形中位线定理得出，证明，得出，可求三角形的面积． 【详解】解：由题意，得， ． ∵点E是边的中点，， ． ， ． ∴在中，． ，， ∴在中，． ∵在平行四边形中，点E、F分别是边、的中点， ，． ∴四边形是平行四边形． ． ． 又∵在中，点E是边的中点， ． 于点H，延长交于点M， 于点M． ． ∵在平行四边形中，， ． ． ． ． ． 三、解答题（本大题9个小题，共98分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形） 17. 计算、化简： （1）； （2）先化简：，然后从、1、0、3中给m选取一个合适的值，再求分式的值． 【答案】（1）1 （2），当时，原式；当时，原式 【解析】 【分析】（1）根据求解即可； （2）先通分化简，根据分式有意义的条件，选择数值，求解即可． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式 ． ∵分式要有意义， ． ，． 当时，原式； 当时，原式． 18. 如图所示是常见的手动打气筒，打气筒的充气次数与气筒内直径（对应“粗筒”“细筒”）存在关联：当充气总量（固定气量，如给一辆自行车轮胎充至标准胎压、给1个气球充至饱满）不变时，气筒内直径越大（单次充气量越大），所需充气次数越少；气筒内直径越小（单次充气量越小），所需充气次数越多某实验小组对同一固定气量的气球进行充气测试，记录了气筒内直径L（单位：）与充气次数F（单位：次）的对应数据如表所示： 气筒内直径 2 3 5 6 充气次数F/次 15 10 6 5 根据以上信息，解答下列问题： （1）若使用内直径L为的打气筒给该固定气量的气球充气，所需充气次数F为_______次； （2）在已学过的函数中选择合适的模型，求F关于L的表达式，并在已给的平面直角坐标系中画出F与L的函数图象； （3）根据函数图象，描述当时，F随L的变化规律． 【答案】（1）20 （2），见解析 （3）当时，F随L的增大而减小 【解析】 【分析】（1）求出F关于L的表达式，将代入计算即可； （2）由（1）知表达式为，根据表格数据画图即可； （3）根据函数图象作答即可． 【小问1详解】 解：由题中数据知，且L与F的乘积恒为30， ∴F关于L的函数是反比例函数，表达式为， 当时，次； 【小问2详解】 解：由（1）知表达式为， 在已给的平面直角坐标系中画出F与L的函数图象如答图所示． 【小问3详解】 解：根据函数图象可知，当时，F随L的增大而减小． 19. “黔货出山”项目是贵州农特产品走向全国的重要举措，为拓宽农产品的销路，黔东南某村百香果种植专业合作社开展亩产收益评比活动．合作社随机抽取三个种植小组（每组10户），从亩产量、销售渠道、利润空间三个维度对每户进行“亩产收益评分”，满分10分，评分越高代表收益越好，三个小组的评分情况如图所示． 根据以上信息，解答下列问题： （1）乙组得分的众数为________分，丙组得分的中位数为________分； （2）观察统计图，判断亩产收益情况更均衡稳定的小组是________（选填“甲组”“乙组”或“丙组”），你得出该结论所依据的统计量是_________（选填“平均数”“众数”“方差”或“中位数”）； （3）合作社规定：评分大于或等于9分的种植户为“优质收益户”，若该村共有120户百香果种植户，选用乙组数据估算是否合理？简述理由并估计全村“优质收益户”的数量． 【答案】（1）8；8 （2）乙组；方差 （3）选用乙组数据估算不合理，见解析，44户 【解析】 【分析】（1）根据众数，中位数的定义求解即可； （2）先计算各组的方差，根据方差越小越稳定，解答即可； （3）根据样本估计总体的思想求解即可． 【小问1详解】 解：乙组中，8分出现的次数最多，4次，故乙组的众数是8分； 丙组的数据如下：， 中位数是第5个，第6个数据的平均数， 故其中位数为：（分）； 【小问2详解】 解：根据题意，得甲组数据为：， ， ； 乙组数据为：， ， ； 丙组数据为：， ， ； 由， 所以乙组亩产收益情况更均衡． 【小问3详解】 解：选用乙组数据估算不合理． 理由：样本应具有代表性，需覆盖整体种植情况，单一小组数据可能存在偏差，缺乏代表性，所以应选用三个小组的整体优质收益户占比估算，而非单一小组． 三个小组共30户，优质收益户共（户）， 所以全村“优质收益户”的数量约为（户）． 答：估计全村“优质收益户”的数量为44户． 20. 如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，，，． （1）若，求证：四边形是矩形； （2）在（1）的条件下，将沿折叠，使点O落在点E处，连接，求的面积． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形． 又， ． 四边形是矩形． （2）24 【解析】 【分析】（1）根据矩形的判定条件证明即可；（2）先证明四边形是菱形，再根据面积计算式求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是沿折叠而得， ，． 在（1）的条件下， ， 四边形是菱形． ， 点O在上， ， ， 在矩形中，，， ，． ． 21. 贵州省龙里县被誉为“中国刺梨之乡”，当地某刺梨加工企业生产两类刺梨产品：类刺梨原汁和类刺梨果干．已知生产箱类产品和箱类产品共需消耗刺梨鲜果千克；生产箱类产品和箱类产品共需消耗刺梨鲜果千克．每箱类产品可获利元，每箱类产品可获利元． （1）求生产箱类产品和箱类产品分别需要消耗刺梨鲜果多少千克； （2）该企业计划生产两类产品共箱，且消耗的刺梨鲜果不超过千克．为获得最大利润，该企业应生产类产品多少箱？ 【答案】（1）生产箱类产品需要消耗刺梨鲜果千克，生产箱类产品需要消耗刺梨鲜果千克 （2）箱 【解析】 【分析】（）设生产箱类产品需要消耗刺梨鲜果千克，生产箱类产品需要消耗刺梨鲜果千克，根据题意列出方程组解答即可求解； （）设该企业应生产类产品箱，则生产类产品箱，根据题意列不等式求出的取值范围，设该企业可获利元，求出与的函数解析式，再根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：设生产箱类产品需要消耗刺梨鲜果千克，生产箱类产品需要消耗刺梨鲜果千克， 由题意得，， 解得， 答：生产箱类产品需要消耗刺梨鲜果千克，生产箱类产品需要消耗刺梨鲜果千克； 【小问2详解】 解：设该企业应生产类产品箱，则生产类产品箱， ∵消耗的刺梨鲜果不超过千克， ∴， 解得， 设该企业可获利元，则， ， 随的增大而增大． 又， ∴当时，有最大值， 答：为获得最大利润，该企业应生产类产品箱． 22. 如图1，黔东南山区的茶园层层叠叠，研学小组深入茶园开展实地测量工作，并绘制了观测截面示意图如图2所示．在茶园底端平坦的观测点A处，同学们抬头测得茶园顶端B的仰角为；随后沿水平方向朝着茶园方向步行30米，抵达观测点C，在C点竖直向上搭建了一段高12米的测量平台（与地面垂直），站在平台顶端D处，再次测得茶园顶端B的仰角为．设点E是B点在地面上的投影，已知A、C、E三点在同一条水平直线上，垂直于地面．（参考数据：，，，，结果保留整数） 请结合示意图和已知条件，解答下列问题： （1）求茶园顶端B到水平地面的垂直高度的长； （2）求观测点A到茶园顶端B在水平地面上投影点E的水平距离的长． 【答案】（1）约为42米 （2）约为60米 【解析】 【分析】（1）过点D作交于点G，可得四边形是矩形．从而得到，米，，分别在和中，解直角三角形，即可求解； （2）由（1）的结果解答即可． 【小问1详解】 解：过点D作交于点G，如图所示， 设． 、都垂直于地面， ∴四边形是矩形． ，米，． 在中，，， ． ∵在中，，，，， ， 解得（米）． （米）． 答：茶园顶端B到水平地面的垂直高度约为42米． 【小问2详解】 解：由（1）得：（米）． 答：观测点A到茶园顶端B在水平地面上投影点E的水平距离约为60米． 23. 如图，内接于⊙且，点E是的中点，连接并延长，与的延长线交于点D，连接、． （1）线段与线段的数量关系是_________，写出图中一个和相等的角_______（除外）； （2）请你连接、，补全图形后若，判断的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）；（答案不唯一） （2）图见解析，等边三角形，见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等弧对等弦，圆周角定理进行作答即可； （2）根据圆周角定理推出，即可得出结论； （3）连接，交于点F，证明四边形是菱形，得到，，解，求出的长，进而求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵点E是的中点， ． ∴，． 【小问2详解】 解：补全图形如图： 是等边三角形，理由如下： 连接， ，， 是等边三角形． ． ． ． 又， 是等边三角形． 【小问3详解】 解：连接，交于点F，如答图所示， 由（1）知． ，， ． ∴四边形是菱形． ∴，． ∵由（2）知，点E是的中点， ． ∴在中，． 又， ． ． ， ． 24. 如图1所示，掷沙包是一种传统游戏，投掷者用内装谷粒或者沙子的布包向远处的目标进行投掷，沙包抛出后，在空中的运动轨迹可近似看作一条抛物线，为了精准分析沙包的运动情况，小丽用所学的数学知识设沙包飞行的水平距离为x（单位：米），相对应的飞行高度为y（单位：米），建立平面直角坐标系，并作出平面示意图（如图2），长方形为篮筐截面图，x轴经过篮筐底面中心，并与其一组对边平行．已知篮筐距离原点水平距离米，篮筐截面底边米，高米，现小明站在原点O，将沙包从距离水平地面米高的P处抛出，小丽记录此次沙包运动的抛物线为，观测发现，当沙包飞到离出手点P水平距离2米处时，离地面高度到达最大高度米．（小明及篮筐所在地面在同一平面内，且沙包的形状大小、空气阻力等因素忽略不计） （1）求抛物线的表达式； （2）请你判断小明抛出的沙包能否投入篮筐； （3）若篮筐沿x轴正方向水平移动m米，为了让沙包刚好能投入篮筐的中心位置，小明调整出手轨迹为抛物线，且的形状与完全相同、最大高度不变，请直接写出抛物线的表达式．（用含m的式子表示） 【答案】（1） （2）能 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解； （2）分别求出函数值进行比较即可； （3）根据题意中心位置坐标为，设的表达式为，将点的坐标代入得出，然后得出解析式． 【小问1详解】 解：由题意，得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为． ∵抛物线经过点， ． ． ∴抛物线的表达式为，即； 【小问2详解】 解：能， 理由：米，米，米， 当时，； 当时，； 当时，． ∴沙包在飞行中，高于，并落在的中点处， ∴小明抛出的沙包能投入篮筐； 【小问3详解】 解：根据题意得，篮筐原中心位置坐标为，沿x轴正方向水平移动m米后篮筐新的中心位置坐标为， 的形状与完全相同、最大高度不变， ∴设的表达式为， 将代入得， 解得或． ∵顶点需在出手点与篮筐之间， 不合题意，舍去，则． ∴所求的表达式为． 25. 根据题意，解答下列问题： （1）【问题解决】如图1，在的斜边上取线段，以为一边作正方形，的直角顶点M落在边上，若，则的长为_________； （2）【灵活运用】 如图2，在矩形中，点E是边上一点，将沿折叠得到，连接并延长交的延长线于点F，若，试探究线段与的数量关系和位置关系； （3）【知识迁移】 如图3，在菱形中，边，．点M、N分别是对角线和边上的点（不与端点重合），连接、，，当时，求的长． 【答案】（1） （2）数量关系为，位置关系为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据可求得，可得到，进一步求得，再根据，可求得，即可得到答案； （2）延长交于点H，根据轴对称的性质可证明；再证明，可得，再结合，，即可求得答案； （3）过点A作交的延长线于点E，先求出，，可进一步得到，，再证明，可得，可求得，即可求得答案． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ； 【小问2详解】 解：如答图1所示，延长交于点H， 由折叠可知点D与点关于对称， ，即， ， 在中，， 在中，， 又， ，即． 又， ， ， 在矩形中，，，，， ， ， 综上所述，线段与的数量关系为，位置关系为． 【小问3详解】 解：四边形是菱形，， ，， 过点A作交的延长线于点E，如答图2所示， ， ． 又， 在中，， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， 即， 又， ， ， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，综合运用轴对称的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $