精品解析：福建莆田第五中学2025-2026学年高二下学期数学第一次月考试卷

莆田五中2025-2026学年下学期高二年段数学第一次月考试卷 命题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知，则（ ） A. 32 B. 31 C. D. 1 2. 已知空间四点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. ⊥ D. 3. 如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（ ） A. B. C. D. 4. 为了提高人们的环保意识，让所有人都能为保护环境出一份力，某校5名大学生到A，B，C三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个小区宣传，若甲、乙要求去同一个小区且不去A小区，则不同的安排方案共有（ ） A. 20种 B. 24种 C. 30种 D. 36种 5. 若函数的图象与直线相切于点，则实数（ ） A. B. 2 C. D. 3 6. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，设事件“有4名航天员在天和核心舱”，事件“甲乙二人在天和核心舱”，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在四棱锥中，，且底面，过点的平面与侧棱分别交于点，若四边形为矩形，则此矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图是的导数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在内是增函数 B. 在内是减函数 C. 在时取得极大值 D. 当时取得极小值 10. 设A，B为两个随机事件，且，，下列说法正确的有（ ） A. 若A，B互斥，则 B. 若，则 C. 若，则A，B独立 D. 若，则A，B独立 11. 如图，平行六面体的底面ABCD是边长为1的菱形，且，平面，则（ ） A. 平面平面 B. C. D. 平行六面体的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，则在方向上投影向量的坐标为__________. 13. 小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为10分，每场比赛胜则加5分，负则减5分，平则积分不变；当积分达到0分（淘汰出局）或20分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜、负、平的概率分别为，，，则比赛终止时小明积分为0分的概率为________. 14. 若对任意的，恒有，则实数的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知函数， （1）当时，求的最值； （2）讨论的单调性． 16. 如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是棱上的一点. （1）若为棱的中点，求证：平面； （2）若平面平面，是否存在点，使得点到平面的距离为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 17. 第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中.某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球､2个白球，乙箱中有4个红球､1个白球. （1）从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； （2）抛一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球.求抽到的球是红球的概率； （3）在（2）的条件下，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率. 18. 如图，四棱锥中，平面，，，. （1）求证：； （2）若为的重心， （i）求与平面所成角的正弦值； （ii）若交平面于，求的值. 19. 已知函数，其中． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； （3）若R，对任意的恒成立，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田五中2025-2026学年下学期高二年段数学第一次月考试卷 命题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知，则（ ） A. 32 B. 31 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】令，则； 令，则，故. 2. 已知空间四点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. ⊥ D. 【答案】D 【解析】 【分析】AD选项，计算出，故，A错误，D正确；BC选项，利用夹角余弦公式计算出，BC错误. 【详解】AD选项，， 故，故，A错误，D正确； BC选项，， 故， 故与夹角的余弦值为，BC均错误. 故选：D 3. 如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】已知，点N为BC中点， 则. 故选：C 4. 为了提高人们的环保意识，让所有人都能为保护环境出一份力，某校5名大学生到A，B，C三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个小区宣传，若甲、乙要求去同一个小区且不去A小区，则不同的安排方案共有（ ） A. 20种 B. 24种 C. 30种 D. 36种 【答案】B 【解析】 【分析】利用分类计数原理，先分组再分配即可. 【详解】分类计数： 第一类：仅甲乙两人在一组，此时不同的安排方案有：种； 第二类：甲乙再加一人在一组，此时不同的安排方案有：种， 根据分类计数加法原理，则不同的安排方案共有种， 故选：B 5. 若函数的图象与直线相切于点，则实数（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出，进而求出切点坐标，代入直线方程求解即可. 【详解】，则，解得， 所以，即切点为， 代入直线整理得，解得. 6. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，设事件“有4名航天员在天和核心舱”，事件“甲乙二人在天和核心舱”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件概率公式、古典概型概率公式求解即可. 【详解】. 7. 已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由可得， 当时，；当时，； 所以在单调递减，在单调递增， 所以，，， 所以在上的值域为，记， ，的对称轴为，，， 所以函数的值域为， 又，且，在上单调递减， 要使方程有唯一解，则的取值集合为， 所以，记， 若对任意的，存在唯一的，使得， 则，所以，解得， 所以实数的取值范围是． 8. 在四棱锥中，，且底面，过点的平面与侧棱分别交于点，若四边形为矩形，则此矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过作的平行线为轴，分别为轴建立空间直角坐标系，令，，，由求得，，利用求参数，进而求出对应线段长，即可得. 【详解】过作AP的平行线为轴，分别为轴，如图建系， 令，则，，，，， 分别在上，令，，， ，，， ，，， ，则， ，，， 所以，则， 所以，， 所以，，则矩形面积为. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图是的导数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在内是增函数 B. 在内是减函数 C. 在时取得极大值 D. 当时取得极小值 【答案】BD 【解析】 【分析】由导函数图象和极值的定义逐项判断. 【详解】选项A，由图象可知，在，，单调递减， 在，，单调递增，所以选项A错误. 选项B，由图象可知，在内，单调递减，所以选项B正确. 选项C，由图象可知，两侧均为正，始终递增，所以选项C错误. 选项D，当时，，左侧，右侧，导数由负变正，是极小值点， 所以取得极小值，所以选项D正确. 故选：BD 10. 设A，B为两个随机事件，且，，下列说法正确的有（ ） A. 若A，B互斥，则 B. 若，则 C. 若，则A，B独立 D. 若，则A，B独立 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义可判断A；根据事件的包含关系可判断B；根据独立事件的概念可判断C；根据和事件的概率计算公式结合独立事件的概念可判断D. 【详解】对于A，若A，B互斥，则，A正确； 对于B，若，则，B错误； 对于C，若，则，所以A，B独立，C正确； 对于D，若， 则， 所以， 又因为， 所以，故事件，独立，从而A，B也独立，D正确， 故选：ACD. 11. 如图，平行六面体的底面ABCD是边长为1的菱形，且，平面，则（ ） A. 平面平面 B. C. D. 平行六面体的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，由线面平行得到面面平行；B选项，由线面垂直的判定定理和性质定理可证；C选项，先根据线面垂直得到线线垂直，由空间向量相关公式得到的长度，进而求出；D选项，求出平行六面体的高，得到体积. 【详解】A选项，因为，，所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面，所以平面， 同理可知，平面， 又，平面，所以平面平面，A正确； B选项，连接，因为底面ABCD是边长为1的菱形，所以⊥， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，B正确； C选项，因为平面，平面，所以， ，， 则， 即， 又，，设的长度为， 故，解得，负值舍去， 又， 故 ， 所以，C错误； D选项，， 又， 故，故， 过点作⊥于点，则， 因为平面，平面，所以， 因为平面，为相交直线， 所以⊥平面，故为平行六面体的高， 菱形的面积为， 则平行六面体的体积为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，则在方向上投影向量的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量公式即可得解. 【详解】由题意，得，, 所以在方向上的投影向量为. 故答案：. 13. 小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为10分，每场比赛胜则加5分，负则减5分，平则积分不变；当积分达到0分（淘汰出局）或20分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜、负、平的概率分别为，，，则比赛终止时小明积分为0分的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】先明确积分为0分终止的所有可能比赛场次情况，上述情况的概率相加，得到比赛终止时积分为0分的总概率. 【详解】要计算比赛终止时小明积分为0分的概率，仅需考虑三场以内终止且得到0分的所有情况： 情况1：第二场比赛终止，得到0分： 初始积分10分，要第二场得到0分，必须前两场两连败：第一场负，积分变为（未终止），第二场再负，积分变为（终止）； 概率为：； 情况2：第三场比赛终止，得到0分： 前两场未终止，且前两场结束后积分为5分，第三场负得到0分， 积分为5分说明总变化为，只能是1负1平，共两种排列且两种排列都不会在前两场提前终止， 前两场得到5分的概率为：，第三场负的概率为，因此该情况概率： ； 总概率为两种情况相加：. 14. 若对任意的，恒有，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先对不等式进行移项，将含的部分合并得到，观察到两边可以统一为函数，利用其单调性将问题转化为在上恒成立，进而通过求的最大值得到参数范围. 【详解】不等式可化为. 令，则，所以. 设，则，所以单调递增. 又，， 则等价于，即在上恒成立， 也即在上恒成立. 令，则， 令，则，解得， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 要使在上恒成立，只需. 所以实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知函数， （1）当时，求的最值； （2）讨论的单调性． 【答案】（1），无最大值. （2） 当时在上单调递减； 当时在上单调递减，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出单调区间，从而求出函数的最值； （2）求出导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间，即可得解. 【小问1详解】 当时定义域为， 则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值即最小值，即，无最大值. 【小问2详解】 定义域为，且， 当时恒成立，所以在上单调递减， 当时，令解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上可得：当时在上单调递减； 当时在上单调递减，在上单调递增. 16. 如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是棱上的一点. （1）若为棱的中点，求证：平面； （2）若平面平面，是否存在点，使得点到平面的距离为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 在四棱锥中，连接，交于点，连接， 因为四边形为菱形，所以为的中点， 因为为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）存在，，理由如下： 解法一：取的中点，连接， 四边形是菱形，且，为正三角形，所以， 因为为正三角形，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面，且，所以平面. 以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， ，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，则. 假设存在点，使得点到平面的距离为， 设，点到平面的距离为， 则解得， 所以存在点，当时，点到平面的距离为. 解法二：取的中点，连接， 四边形是菱形，且，所以为正三角形，所以， 因为为正三角形，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面，且，所以平面. 又平面，所以，因为为等边三角形，边长为8， 所以，所以在， 又，可以求得， 所以， 因为，所以， 因为，所以，可得， 所以存在点，当时，点到平面的距离为. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）解法一：取的中点，连接，利用面面垂直的性质定理得平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，利用点面距离的向量公式列式求解即可； 解法二：取的中点，连接，利用面面垂直的性质定理得平面，利用等体积法求得，利用求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中.某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球､2个白球，乙箱中有4个红球､1个白球. （1）从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； （2）抛一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球.求抽到的球是红球的概率； （3）在（2）的条件下，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设出事件，运用条件概率公式求解即可； （2）设出事件，运用全概率公式求解即可； （3）设出事件，运用贝叶斯概率公式求解即可. 【小问1详解】 记事件表示“抽出的2个球中有红球”，事件表示“两个球都是红球”， 则，故 【小问2详解】 设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件表示“抽到红球”， 则， 可得 【小问3详解】 在（2）的条件下. 18. 如图，四棱锥中，平面，，，. （1）求证：； （2）若为的重心， （i）求与平面所成角的正弦值； （ii）若交平面于，求的值. 【答案】（1）在中，，， ，， 平面，平面，， ，平面， 平面， 平面，平面，； （2）， 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得到 ，利用线面垂直的定义得到，利用线面垂直的判定定理得到 平面，利用线面垂直的定义得到 ； （2）（i）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，求出平面的法向量，设与平面所成的角为 ，利用公式得到线与平面所成角的正弦值； （ii）设，则，由得到，利用数量积的坐标公式得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， ，，. ，，，，， ，， 为的重心，，， 设平面的法向量为， 则，，， 取，则，即， ，， ， 设与平面所成的角为 ， 则， 故与平面所成角的正弦值为； （ii）由（i）知，，， 设，则， ， 由（i）知，平面的法向量为， 则，即，则，解得， 即. 19. 已知函数，其中． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； （3）若R，对任意的恒成立，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导得出斜率并用点斜式即可求解； （2）可以利用反证法把存在性问题转化为恒成立问题分离参数再取补集即可求答案； （3）利用（2）判断导函数零点所在区间从而判断原函数单调性 【小问1详解】 当时，，函数定义域为 故， 又，所以切线方程为. 【小问2详解】 由题意得 若不存在单调增区间，则恒成立，即恒成立， 令， 当时，当时 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以即 因此所求实数的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知 所以在单调递减，又，， 所以必存在正数，使得，即 由（2）知当时，即，当时，即， 当时，即， 由上可知在单调递增，在单调递减， 所以， 所以，即， 令 因为 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以， 所以的最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $