10.1.3 古典概型 第1课时 古典概型的定义及概率计算 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

10.1.3 古典概型 第1课时 古典概型的定义及概率计算 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 基础过关练 一、单项选择题 1．下列有关古典概型的说法中，错误的是 （ ） A．试验中样本点的个数是有限的 B．每个事件出现的可能性相等 C．每个样本点出现的可能性相等 D．已知样本空间中的样本点个数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P(A)＝ 2．我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨．某书画院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是 （ ） A． B． C． D． 3．从甲、乙、丙、丁4名同学中任选3名同学，参加健康宣传志愿服务，则甲被选中的概率为 （ ） A． B． C． D． 4.《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦(每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻).若从中任取一卦，恰有两个阳爻的概率为 （ ） A． B． C． D． 5．关于偶数的哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，如8＝3＋5.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在“2，3，5，7，11”这5个素数中，任取两个不同的素数，其和仍为素数的概率是 （ ） A． B． C． D． 二、多项选择题 6．下列试验中是古典概型的是 （ ） A．抛一枚质地均匀的硬币，观察其正面或反面出现的情况 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取1个球 C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点 D．射击运动员向一靶心进行射击，观察其环数 7．有5个形状大小相同的球(3个红色和2个蓝色)，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是 （ ） A．“取不到红球”的概率为 B．“取出的2球均为红色”的概率为 C．“至多取到1个红球”的概率为 D．“取出1个红球、1个蓝球”的概率为 三、填空题 8．从集合{a，b，c，d}的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{a，b}的子集的概率是________． 9．先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为________． 四、解答题 10．“盲盒”是指商家将动漫、影视作品的周边或设计师单独设计出的玩偶放入盒子里，当消费者购买这个盒子时，因盒子上没有标注，只有打开才会知道抽到什么，不确定的刺激会加强重复决策，从而刺激消费．某商家将编号为1，2，3的三个玩偶随机放入编号为1，2，3的三个盒子里，每个盒子放一个玩偶，每个玩偶的放置结果互相不受影响． （1）共有多少种不同的放法？请列举出来； （2）求盒中放置的玩偶的编号与所在盒的编号均不相同的概率． 11．书架上放有三套不同的小说，每套均分上、下册，共六本，从中任取两本，试求下列事件的概率： （1）取出的书不成套； （2）取出的书均为上册； （3）取出的书上、下册各一本，但不成套． 能力提升练 12．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a－b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 （ ） A． B． C． D． 13．从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两数，则两数都是奇数的概率是________；若有放回地任取两数，则两数都是偶数的概率是________． 14．田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A1，A2，A3，田忌的三匹马分别为B1，B2，B3.三匹马各比赛一次，胜两场者为获胜，双方均不知对方的马的出场顺序． （1）若这六匹马比赛优、劣程度可以用不等式表示A1>B1>A2>B2>A3>B3，则田忌获胜的概率是多大？ （2）若这六匹马比赛优、劣程度可以用不等式表示A1>B1>A2>B2>B3>A3，则田忌获胜的概率是多大？ 10.1.3 古典概型 第1课时 古典概型的定义及概率计算同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 基础过关练 一、单项选择题 1．下列有关古典概型的说法中，错误的是 （ ） A．试验中样本点的个数是有限的 B．每个事件出现的可能性相等 C．每个样本点出现的可能性相等 D．已知样本空间中的样本点个数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P(A)＝ 解析：B中所说的事件不一定是基本事件，所以B说法错误；根据古典概型的特点及计算公式可知A，C，D说法正确．故选B. 答案：B 2．我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨．某书画院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是 （ ） A． B． C． D． 解析：甲从春、夏、秋、冬四个季节的各6幅彩绘绘制的任务中选一个季节的6幅彩绘绘制，共有四个样本点，甲抽到绘制夏季6幅彩绘是其中一个样本点，故甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率为. 答案：B 3．从甲、乙、丙、丁4名同学中任选3名同学，参加健康宣传志愿服务，则甲被选中的概率为 （ ） A． B． C． D． 解析：从甲、乙、丙、丁4名同学中任选3名同学，样本空间Ω＝{(甲乙丙)，(甲丙丁)，(甲乙丁)，(乙丙丁)}，共有4个样本点．设事件A＝“甲被选中”，则A＝{(甲乙丙)，(甲丙丁)，(甲乙丁)}，有3个样本点，故P(A)＝. 答案：D 4.《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦(每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻).若从中任取一卦，恰有两个阳爻的概率为 （ ） A． B． C． D． 解析：从八卦图中任取一卦，共有8种取法，其中取得含有2个阳爻的共有3种取法，所以从中任取一卦，恰有两个阳爻的概率为P＝.故选C. 答案：C 5．关于偶数的哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，如8＝3＋5.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在“2，3，5，7，11”这5个素数中，任取两个不同的素数，其和仍为素数的概率是 （ ） A． B． C． D． 解析：由题意得，5个数中任取2个数，可能为(2，3)，(2，5)，(2，7)，(2，11)，(3，5)，(3，7)，(3，11)，(5，7)，(5，11)，(7，11)，共10种情况，2个素数之和仍为素数，则为(2，3)，(2，5)，(2，11)，共有3种情况，则所求概率P＝. 答案：B 二、多项选择题 6．下列试验中是古典概型的是 （ ） A．抛一枚质地均匀的硬币，观察其正面或反面出现的情况 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取1个球 C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点 D．射击运动员向一靶心进行射击，观察其环数 解析：选项A，正面和反面出现的概率相同，是古典概型；选项B，每个球被抽到的概率相等，是古典概型；选项C，样本点有无限个，不是古典概型；选项D，命中10环，9环，…，0环的概率不等，不是古典概型． 答案：AB 7．有5个形状大小相同的球(3个红色和2个蓝色)，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是 （ ） A．“取不到红球”的概率为 B．“取出的2球均为红色”的概率为 C．“至多取到1个红球”的概率为 D．“取出1个红球、1个蓝球”的概率为 解析：记3个红球分别为A，B，C，2个蓝球分别为a，b，则样本空间Ω＝{AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab}，共有10个样本点．“取不到红球”包含的样本点为ab，概率为，故A正确；“取出的2球均为红色”包含的样本点为AB，AC，BC，共3个，概率为，故B正确；“至多取到1个红球”包含的样本点为Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7个，概率为，故C正确；“取出1个红球、1个蓝球”包含的样本点为Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，共6个，概率为＝，故D错误． 答案：ABC 三、填空题 8．从集合{a，b，c，d}的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{a，b}的子集的概率是________． 解析：集合{a，b，c，d}的子集有16个，其中∅，{a}，{b}，{a，b}这4个集合是{a，b}的子集，因此所求概率为＝. 答案： 9．先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为________． 解析：易知试验样本点的总数为36，由log2xy＝1，得2x＝y，其中x，y∈{1，2，3，4，5，6}，所以或或共3个样本点，所以P＝＝. 答案： 四、解答题 10．“盲盒”是指商家将动漫、影视作品的周边或设计师单独设计出的玩偶放入盒子里，当消费者购买这个盒子时，因盒子上没有标注，只有打开才会知道抽到什么，不确定的刺激会加强重复决策，从而刺激消费．某商家将编号为1，2，3的三个玩偶随机放入编号为1，2，3的三个盒子里，每个盒子放一个玩偶，每个玩偶的放置结果互相不受影响． （1）共有多少种不同的放法？请列举出来； （2）求盒中放置的玩偶的编号与所在盒的编号均不相同的概率． 解：（1）共有6种不同的放法，按盒子号1，2，3的顺序放入玩偶包含的样本点为(1，2，3)，(1，3，2)，(2，3，1)，(2，1，3)，(3，1，2)，(3，2，1). （2）设所求事件为A， 则A包含有(2，3，1)，(3，1，2)两个样本点，并且每个样本点的发生是等可能的，故P(A)＝＝. 11．书架上放有三套不同的小说，每套均分上、下册，共六本，从中任取两本，试求下列事件的概率： （1）取出的书不成套； （2）取出的书均为上册； （3）取出的书上、下册各一本，但不成套． 解：设第一套书的上、下册分别记为A1，A2，第二套书的上、下册分别记为B1，B2，第三套书的上、下册分别记为C1，C2. 不区分取出的两本书的顺序，依题意可知样本空间Ω＝{A1A2，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2}，共含有15个样本点，可以认为这15个样本点出现的可能性是相等的，从而用古典概型来计算概率． （1）设事件A表示“取出的书不成套”，则A＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}，样本点有12个，故P(A)＝＝. （2）设事件B表示“取出的书均为上册”，则B＝{A1B1，A1C1，B1C1}，样本点有3个， 故P(B)＝＝. （3）设事件C表示“取出的书上、下册各一本，但不成套”，则C＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}，样本点有6个，故P(C)＝＝. 能力提升练 12．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a－b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 （ ） A． B． C． D． 解析：记“|a－b|≤1”为事件A，由于a，b∈{1，2，3，4，5，6}，列表如下： 则事件A包含的样本点共16个，又依题意得，样本点总数为36，且每个样本点出现的可能性相等，因此他们“心有灵犀”的概率为P＝＝. 答案：D 13．从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两数，则两数都是奇数的概率是________；若有放回地任取两数，则两数都是偶数的概率是________． 解析：从5个数字中不放回地任取两数，样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个，都为奇数的样本点有(1，3)，(1，5)，(3，5)，共3个，故所求概率P＝.从5个数字中有放回地任取两数，样本点共有25个，都为偶数的样本点有(2，4)，(4，2)，(2，2)，(4，4)，共4个，故所求概率P′＝. 答案：　 14．田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A1，A2，A3，田忌的三匹马分别为B1，B2，B3.三匹马各比赛一次，胜两场者为获胜，双方均不知对方的马的出场顺序． （1）若这六匹马比赛优、劣程度可以用不等式表示A1>B1>A2>B2>A3>B3，则田忌获胜的概率是多大？ （2）若这六匹马比赛优、劣程度可以用不等式表示A1>B1>A2>B2>B3>A3，则田忌获胜的概率是多大？ 解：记A1与B1比赛为(A1，B1)，其他同理．齐王与田忌赛马，有如下六种情况： (A1，B1)，(A2，B2)，(A3，B3)；(A1，B1)，(A2，B3)，(A3，B2)；(A1，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)；(A1，B2)，(A2，B1)；(A3，B3)；(A1，B3)，(A2，B1)，(A3，B2)；(A1，B3)，(A2，B2)，(A3，B1). （1）若这六匹马比赛优、劣程度可以用不等式表示A1>B1>A2>B2>A3>B3， 其中田忌获胜的只有一种(A1，B3)，(A2，B1)，(A3，B2)，故田忌获胜的概率为. （2）若这六匹马比赛优、劣程度可以用不等式表示A1>B1>A2>B2>B3>A3，其中田忌获胜的有(A1，B3)，(A2，B1)，(A3，B2)或(A1，B2)，(A2，B1)，(A3，B3)，故田忌获胜的概率为＝. 学科网（北京）股份有限公司 $