精品解析：上海市大同中学2025-2026学年第二学期高三数学试题2026.04

上海市大同中学 2025 学年第二学期 高三年级数学 2026.04 一、填空题（本大题共 12 题，共 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5分） 1. 已知集合 ，集合，则_____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据包含关系可得，即可得结果. 【详解】因为集合 ，且集合， 所以. 2. 在二项式 的展开式中，项的系数为____ 【答案】 【解析】 【详解】 的展开式的通项公式为， 令得，代入通项得， 所以项的系数为. 3. 若，，其中，则_________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的坐标表示公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】， 故答案为： 4. 已知随机变量 服从正态分布 ，实数 满足 ，则 ___. 【答案】30 【解析】 【详解】该正态曲线关于对称，所以，即. 5. 已知抛物线 Γ: 上的点 到Γ的准线的距离和到 轴的距离相等，则 到 轴的距离是 __． 【答案】1 【解析】 【详解】抛物线 Γ:  的准线方程为. 设，则， 得，所以. 所以  到  轴的距离是. 6. 若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】因为实系数的一元二次方程若有虚数根，则两根共轭，可设两根分别为和，则，又，再由可求的取值范围. 【详解】设实系数一元二次方程的两个虚数根为和， 则. 所以. 由. 故答案为： 7. 已知，，且，则___ 【答案】或4 【解析】 【分析】利用换底公式将不同底数的对数转化为同底数对数，再通过解方程求解即可. 【详解】令，因为，，所以， 原方程可变形为，整理得，即， 解得或. 当时，，则； 当时，，则， 故或4. 8. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求的值，根据同角三角函数基本关系式可求的值，利用二倍角公式可求，的值，根据两角和的正弦函数公式可求的值，即可利用三角形的面积公式计算得解． 【详解】，，， 由正弦定理，可得：，可得：， 可得：，可得：， 可得：，， ， ． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 9. 盒中有3个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同，从盒中随机取1个球，取出后将原球放回，再加入2个同色球，记事件A为“第1次取到白球”，事件为“第2次取到白球”，则____ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，，，，由全概率公式可得，即可得结果. 【详解】由题意可知：，，则，， 由全概率公式可得， 所以. 10. 设函数， 若恒成立，则实数的取值范围____ 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况下恒成立，参变分离转化为最值求解即可. 【详解】当时，恒成立，即恒成立， 当时，上式成立； 当时，， 因为在上都是增函数，所以函数在上单调递增， 所以，所以； 当时，恒成立，即恒成立， 令，则在上恒成立， 又开口向下，对称轴为， 所以的最大值为， 所以， 综上：实数a的取值范围是 11. 已知，（,2,3）均为实数，且满足 ，，， ，且 的最大值是_____ 【答案】25 【解析】 【分析】将已知向量化，根据几何意义作出图形即可求解. 【详解】设向量， .由，，，可得， 因为， 所以， 移项得到，即， 这表明点在以为直径的圆上. 根据两点间距离公式，可知， 要求的最大值，即求的最大值，也就是求的最大值. 因为，所以当三点共线且在的两侧时，取得最大值， 此时. 另外，此时在以为直径的圆与圆的交点位置，如图所示， 因为，， 所以的最大值为. 12. 某教师采用教具加深学生对线面角的理解，如图，两根细线、经过斜面上一固定的点，可绕点在斜面上旋转，并保持互相垂直，小申、小沪两位同学分别测量、所在直线与水平面的夹角、，测量结果如表所示，根据表格数据推算，的值应为____（结果用角度值表示，精确到）. 测量结果 测量者 α β 小申 小沪 【答案】 【解析】 【分析】设斜面与水平面所成的二面角的大小为，进而利用已知可得，结合已知计算可求解即可. 【详解】记两根细线、经过斜面上一固定的点，记水平面为，斜面为，， ，， 过作于，连接，过作于，连接， 因为，，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为斜面与水平面所成的二面角的平面角，记， 所以，又，， 所以， 因为，所以，所以， 又，所以， 所以， 因为小申同学测量、所在直线与水平面的夹角， . 又小沪同学测量、所在直线与水平面的夹角， 所以， 所以，令，则， 所以，所以， 所以， 所以（舍去），， 所以，又，所以， 所以. 二、选择题（本大题共 4 题，共 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15 − 16 题每题5 分） 13. 若函数f（x）的定义域为R，则“f（x）是偶函数”是“f（|x|）＝f（x）对切x∈R恒成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 利用偶函数的定义式及充要条件的定义进行判定. 【详解】若是偶函数，则，从而可得； 若，则，即是偶函数. 故选：C. 【点睛】本题主要考查充要条件的判定，明确条件间的推出关系是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养. 14. 某校期中考试有 105 名学生参加，且成绩均相异，统计后得到学生成绩的中位数是 62分，后来发现成绩统计有误，其中53 名学生的成绩要各加上 5 分，其余学生成绩不变.则调整后学生成绩的中位数（ ）. A. 一定是 62 分 B. 一定是 67 分 C. 一定是62 或67 分（均可能） D. 不一定是 62 或 67 分 【答案】D 【解析】 【详解】由中位数的意义，得中位数62分为发现统计有误前的成绩由小到大排列的第53个数， 假设加分的是原成绩排第1至53名的学生，且原成绩中第52名为61分，第54名为63分， 调整后，原第52名的成绩变为66分，原第53名变为67分，而原第54名的成绩63分不变， 排序后，新成绩序列的第53项为66分，即中位数为66分， 因此调整后学生成绩的中位数不一定是 62 或 67 分. 15. 已知函数在区间内不存在最值，且在区间上，满足恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦型函数的区间最值情况得，，进而有或，讨论结合已知恒成立确定最终的取值范围. 【详解】由，则内不存在最值， 即，则，，则或， 由，则中恒成立， 只需且， 或； 所以的取值范围是. 故选：D 16. 如图，直线平面，垂足为，正四面体的棱长为2，，分别是直线和平面上的动点，且，则下列判断：①点到棱中点的距离的最大值为；②正四面体在平面上的射影面积的最大值为．其中正确的说法是． A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，点在以为直径的球面上的点，所以点到棱中点的距离的最大值为点到球心的距离再加上球的半径，可判断①，当当与重合时，求出正四面体在平面上的射影面积，可判断②. 【详解】由题意，点在以为直径的球面上的点. 点到棱中点的距离，即以为直径的球面上的点到棱中点的距离. 所以点到棱中点的距离的最大值为点到球心的距离再加上球的半径. 设的中点为，则为以为直径的球的球心，半径为 所以 所以点到棱中点的距离的最大值为，故正确①. 由直线平面，且，则平面. 在正四面体中，,又，所以平面 所以在平面上的射影与平行且相等. 当与重合时，正四面体在平面上的射影为对角线为2的正方形. 此时射影的面积为2，所以②不正确. 故选：C 【点睛】本题考查两点间的距离的最大值的求法和几何体在平面上的投影面积的最值，考查空间想象能力和推理论证能力，考查转化能力，属于中档题. 三、解答题（本大题共 78 分，第 17-19 题每题 14 分，第 20-21 题每题 18 分） 17. 某地环境部门监测了16条河流的污染物（主要指磷和氨氮）浓度（单位：）和下游湿地某种水鸟的观测数量（单位：只）. 监测数据如下： 污染物浓度 0.012 0.015 0.018 0.020 0.021 0.023 0.025 0.026 水鸟数量 52 48 45 43 40 42 37 39 污染物浓度 0.028 0.030 0.031 0.032 0.035 0.037 0.038 0.040 水鸟数量 36 32 30 29 28 27 26 22 （1）已知III类河流的标准是污染物浓度不高于 ，估计这16条河流中III类河流的比重（用百分数表示，结果保留两位有效数字）; （2）已知关于的线性回归方程为，污染物浓度平均数，预测在下游湿地观测到33只水鸟时河流的污染物浓度（结果精确到）； （3）某摄影师在这16条河流中随机选取3条不同的河流，前往下游湿地拍摄水鸟照片，每次拍摄1张，求至少有2张照片中出现不少于30只水鸟的概率. 【答案】（1）25% （2）0.030 （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格数据得到III类河流的数量然后计算比重即可； （2）先计算出水鸟数量的平均数，代入回归方程得到参数，再利用方程预测时的值； （3）分析事件包含的情况，用组合数得到各种情况的数量，最后根据古典概型计算出概率. 【小问1详解】 根据表格数据，16条河流中污染物浓度的有4条，比重为. 【小问2详解】 水鸟数量的平均数， 所以样本中心点为，代入回归方程得，解得， 即回归方程为，当观测到33只水鸟即时， 根据解得，即预测的污染物浓度为. 【小问3详解】 由表格可知，在这16条河流中，水鸟数量“不少于30只”的共有11条， 设“至少有2张照片中出现不少于30只水鸟”为事件， 则包含两种情况：恰好有2张照片中的水鸟不少于30只，有种情况； 3张照片中的水鸟均不少于30只，有种情况， 根据古典概型的概率计算公式有. 18. 在如图所示的多面体中，四边形ABCD是正方形， ， ， （1）若点 在边 上，证明：存在 ，使得 ； （2）若到平面ABCD 的距离为 2，将梯形绕边 AB 旋转一周，求所形成旋转体的体积. 【答案】（1） ， ， 设， 则. 令，得，所以. 即存在 ，使得 ，此时，即. （2） 【解析】 【分析】（1）设，并用表示，可证得时，成立； （2)利用面面垂直的判定定理及性质定理，作出点在平面的射影，利用到平面ABCD 的距离为 2，求出，即可得梯形绕边 AB 旋转一周，所形成旋转体的特征，由此可求得其体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，记作，连接，则； 取的中点，记作，连接，则， 因为∥，所以. 由，得， 所以. 连接，则∥，且， 因为∥所以∥，且， 所以四边形是等腰梯形，所以是平面内的两条相交直线， 所以平面. 又平面，所以平面平面. 过作，则由平面，平面平面， 得平面. 因为到平面ABCD 的距离为 2，所以. 等腰梯形中，. 所以. 过作，则， 所以. 将梯形绕边 AB 旋转一周，所形成旋转体是由两个相同的圆锥及一个圆柱组成的组合体. 其中圆锥的高为，底面半径为，所以一个圆锥的体积为； 圆柱的高为，底面半径为， 所以圆柱的体积为. 所以将梯形绕边 AB 旋转一周，所形成旋转体的体积为. 19. 广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为的扇形和三角区域构成，其中在一条直线上，，记该设施平面图的面积为，，其中． （1）写出关于的函数关系式； （2）如何设计，使得有最大值？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先，求解三角形和扇形的面积，然后，求和即可得到相应的解析式； （2）根据三角函数辅助角公式和导数的计算等知识求解其最大值即可． 【小问1详解】 由已知可得， 在△中由正弦定理可得： ，所以， 从而， 所以，. 【小问2详解】 ， 由 令增区间是； 令减区间是； 所以在处取得最大值是． 答：设计成时，该设施的平面图面积最大是． 20. 已知点，分别是椭圆右顶点与上顶点，坐标原点到直线的距离为，且点是圆的圆心，动直线与椭圆交于，两点． （1）求椭圆的方程； （2）若点在线段上，，且当取最小值时直线与圆相切，求的值； （3）若直线与圆分别交于，两点，点在线段上，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1) 由点是圆的圆心，，原点到直线的距离为，在中由等面积法有，可求答案. (2) 设，则,求出直线的方程，将点坐标代入直线的方程，可得，当且仅当时，取得最小值，可得到点的坐标，则可得到直线的方程，再由原点到直线的距离为，可求出的值. (3) 由,可得,求出，，可得,可求出的范围. 【详解】(1)由点是圆的圆心，，则,,则 坐标原点到直线的距离为，在中由等面积法有，可得. 所以椭圆的方程为 （2）设，则 则，则直线的方程为. 将点坐标代入直线的方程，可得 故，则当且仅当时，取得最小值. 此时点的坐标为，直线的方程为. 故. (3)由,可得,将代入椭圆方程得： ，即，故. 又点到直线的距离为，则 所以， 可得 令，则 故取值的范围是. 【点睛】本题求考查椭圆方程和考查椭圆中的弦长和圆中的弦长以及求参数的范围，属于中档题. 21. 设，. （1）求证：在上恒成立； （2）若曲线上存在一点（不同于坐标原点），使得曲线在点处的切线与圆（其中）相切，求实数的取值范围； （3）设，点在函数的图像上，且的横坐标，.曲线是由所有的线段构成的折线图，求证：对于任意的，直线与的交点不可能有无穷多个. 【答案】（1）令，，，，在上为单调递增函数，， ，所以在上恒成立，即在上恒成立. （2） （3），， 当时，；当时，； 则点在曲线上，点在上， 当，，， ， 线段的方程为， 即， 在上任取一点， 设， ， ，，， ，， ，，，， 在上是单调递增函数， ， ， ， 线段均在曲线下方， ， 直线与的交点都在轴的上方. 令，则， 当时， ，则在上是单调递增函数， 当时， ，则在上是单调递减函数， 当时，取最小值，且最小值为. 当时，，故，即直线在曲线上方，与折线段无交点； 当时直线与曲线相切于点，与折线段无交点； 当时，，在范围内的根不影响交点个数， 故存在唯一使得. 当时，直线在曲线上方，与折线段无交点； 当时，在这段区间上只有有限条线段，交点个数有限. 综上，直线与的交点不可能有无穷多个. 【解析】 【分析】（1）构造函数，通过导数法得到单调性，得到，从而得证； （2）设，利用导数的几何性质求出曲线在点 处的切线的方程，由曲线在点 处的切线与圆相切，则有圆心到切线方程的距离得到，令，由得到，解出，得到，利用二次函数的图像和性质得到实数 的取值范围. （3）求出，通过讨论和得到点在曲线上，点在上，且，因此线段均在曲线下方，因为，所以直线与的交点都在轴的上方.构造函数，通过导数法得到单调性，从而得到的最小值为.讨论的最小值与的大小得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在曲线上，，， 设， 不同于坐标原点，， ，， 曲线在点 处的切线的斜率为， 切线方程为，即， 圆的圆心为，半径为 ， 曲线在点 处的切线与圆相切， 圆心到切线方程的距离， 即， 令，，，，解得， 则，，时 取最大值，且最大值为， ，， 实数 的取值范围. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市大同中学 2025 学年第二学期 高三年级数学 2026.04 一、填空题（本大题共 12 题，共 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5分） 1. 已知集合 ，集合，则_____________ 2. 在二项式 的展开式中，项的系数为____ 3. 若，，其中，则_________. 4. 已知随机变量 服从正态分布 ，实数 满足 ，则 ___. 5. 已知抛物线 Γ: 上的点 到Γ的准线的距离和到 轴的距离相等，则 到 轴的距离是 __． 6. 若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则的取值范围是_________. 7. 已知，，且，则___ 8. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______． 9. 盒中有3个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同，从盒中随机取1个球，取出后将原球放回，再加入2个同色球，记事件A为“第1次取到白球”，事件为“第2次取到白球”，则____ 10. 设函数， 若恒成立，则实数的取值范围____ 11. 已知，（,2,3）均为实数，且满足 ，，， ，且 的最大值是_____ 12. 某教师采用教具加深学生对线面角的理解，如图，两根细线、经过斜面上一固定的点，可绕点在斜面上旋转，并保持互相垂直，小申、小沪两位同学分别测量、所在直线与水平面的夹角、，测量结果如表所示，根据表格数据推算，的值应为____（结果用角度值表示，精确到）. 测量结果 测量者 α β 小申 小沪 二、选择题（本大题共 4 题，共 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15 − 16 题每题5 分） 13. 若函数f（x）的定义域为R，则“f（x）是偶函数”是“f（|x|）＝f（x）对切x∈R恒成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 某校期中考试有 105 名学生参加，且成绩均相异，统计后得到学生成绩的中位数是 62分，后来发现成绩统计有误，其中53 名学生的成绩要各加上 5 分，其余学生成绩不变.则调整后学生成绩的中位数（ ）. A. 一定是 62 分 B. 一定是 67 分 C. 一定是62 或67 分（均可能） D. 不一定是 62 或 67 分 15. 已知函数在区间内不存在最值，且在区间上，满足恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 如图，直线平面，垂足为，正四面体的棱长为2，，分别是直线和平面上的动点，且，则下列判断：①点到棱中点的距离的最大值为；②正四面体在平面上的射影面积的最大值为．其中正确的说法是． A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 三、解答题（本大题共 78 分，第 17-19 题每题 14 分，第 20-21 题每题 18 分） 17. 某地环境部门监测了16条河流的污染物（主要指磷和氨氮）浓度（单位：）和下游湿地某种水鸟的观测数量（单位：只）. 监测数据如下： 污染物浓度 0.012 0.015 0.018 0.020 0.021 0.023 0.025 0.026 水鸟数量 52 48 45 43 40 42 37 39 污染物浓度 0.028 0.030 0.031 0.032 0.035 0.037 0.038 0.040 水鸟数量 36 32 30 29 28 27 26 22 （1）已知III类河流的标准是污染物浓度不高于 ，估计这16条河流中III类河流的比重（用百分数表示，结果保留两位有效数字）; （2）已知关于的线性回归方程为，污染物浓度平均数，预测在下游湿地观测到33只水鸟时河流的污染物浓度（结果精确到）； （3）某摄影师在这16条河流中随机选取3条不同的河流，前往下游湿地拍摄水鸟照片，每次拍摄1张，求至少有2张照片中出现不少于30只水鸟的概率. 18. 在如图所示的多面体中，四边形ABCD是正方形， ， ， （1）若点 在边 上，证明：存在 ，使得 ； （2）若到平面ABCD 的距离为 2，将梯形绕边 AB 旋转一周，求所形成旋转体的体积. 19. 广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为的扇形和三角区域构成，其中在一条直线上，，记该设施平面图的面积为，，其中． （1）写出关于的函数关系式； （2）如何设计，使得有最大值？ 20. 已知点，分别是椭圆右顶点与上顶点，坐标原点到直线的距离为，且点是圆的圆心，动直线与椭圆交于，两点． （1）求椭圆的方程； （2）若点在线段上，，且当取最小值时直线与圆相切，求的值； （3）若直线与圆分别交于，两点，点在线段上，且，求的取值范围． 21. 设，. （1）求证：在上恒成立； （2）若曲线上存在一点（不同于坐标原点），使得曲线在点处的切线与圆（其中）相切，求实数的取值范围； （3）设，点在函数的图像上，且的横坐标，.曲线是由所有的线段构成的折线图，求证：对于任意的，直线与的交点不可能有无穷多个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $