专题二十 圆锥曲线中范围与最值问题 课件-2026届高三数学二轮复习

专题二十　圆锥曲线中范围与最值问题 命题热度： 本专题是历年高考命题必考的内容，属于中高档题目，具有一定的难度，主要以解答题的形式进行考查.分值约为13~17分. 考查方向： 考查重点是最值与范围问题，主要考查长度、周长、面积、角度、斜率、向量等相关的最值(范围)问题. 考点一　最值问题 　(2025·黄山模拟)平面内，动点M(x，y)与定点F(，0)的距离和M到定直线l：x=的距离的比值是常数，记动点M的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； 例1 依题意，可得=， 化简得x2+4y2=4， 即曲线E的方程为+y2=1. 解 (2)O为坐标原点，A，B为曲线E上不同两点，经过A，B两点的直线与圆x2+y2=1相切，求△OAB面积的最大值. 依题意，直线AB的斜率不可能是0， 不妨设其方程为x=my+t， 则圆x2+y2=1的圆心O(0，0)到直线x=my+t的距离d==1，即m2+1=t2，① 由 消去x，可得(m2+4)y2+2mty+t2-4=0， 由Δ=4m2t2-4(m2+4)(t2-4)>0， 可得m2-t2+4>0， 解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 则|AB|=· =· =·， 将①式代入，化简得|AB|=， 解 S△OAB=×|AB|×d=2·， 设λ=m2+1，则λ≥1， S△OAB=2·=2·， 因为λ+≥2=6，当且仅当λ=3时取等号，此时m=±， △OAB的面积的最大值为2×=1. 解 圆锥曲线中的最值问题，常见的方法有 (1)函数法：一般需要找出所求几何量的函数解析式，要注意自变量的取值范围.求函数的最值时，一般会用到配方法、基本不等式或者函数的单调性. (2)方程法：根据题目中的等量关系建立方程，根据方程的解的条件得出目标量的不等关系，再求出目标量的最值. (3)不变量法：在平面几何中有一些不变量的最值结果，在求最值时，可以考虑观察图形的几何特点，判断某个特殊位置满足的最值条件，然后再证明. 规律方法 跟踪演练1　已知O为坐标原点，F是抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，M是C上一点，且|MF|=|MO|=. (1)求C的方程； 由抛物线的定义可知F. 因为|MF|=|MO|，所以xM=. 因为|MF|=，所以+=，解得p=2，故C的方程为y2=4x. 解 (2)A，B是C上两点(A，B异于点O)，以AB为直径的圆过点O，Q为AB的中点，求直线OQ斜率的最大值. 由题意知直线AB的斜率不为0，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，其方程为x=my+t， 联立 得y2-4my-4t=0，Δ=16(m2+t)>0，则yA+yB=4m，yAyB=-4t， 因为以AB为直径的圆过点O，所以OA⊥OB，即·=0，则xAxB+yAyB=0， 即·+yAyB=0，又yAyB≠0，解得yAyB=-16=-4t，所以t=4. 解 又xA+xB=m(yA+yB)+8=4m2+8，所以Q(2m2+4，2m)， 当m=0时，kOQ=0； 当m≠0时，kOQ===∈∪. 故直线OQ斜率的最大值为. 解 考点二　范围问题 　(2025·海口模拟)设A，B两点的坐标分别为(-1，0)，(1，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3. (1)求点M的轨迹方程C； 例2 设点M(x，y)，x≠±1，则kAM=，kBM=， 所以×=3，化简得x2-=1， 所以点M的轨迹方程为x2-=1(x≠±1). 解 (2)若直线l与C交于P，Q两点，且·=0(点O为坐标原点)，求|PQ|的取值范围. 当直线l的斜率不存在时，可设P(xP，yP)，Q(xP，-yP)， 则=(xP，yP)，=(xP，-yP)，将其代入双曲线方程得-=1， 又·=-=0，解得yP=±，此时|PQ|=2|yP|=； 当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0， 则3-k2≠0，Δ=12(m2-k2+3)>0. 解 由根与系数的关系得x1+x2=，x1x2=. 则·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m) =(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)·+km·+m2=0， 化简得3k2+3=2m2，此时Δ=6(k2+9)>0， 所以|PQ|=· =·=· 解 =·=·， 当k=0时，此时|PQ|=；当k≠0时，此时|PQ|=·， 因为3-k2≠0，所以k2+>2=6，故>0， 因此|PQ|=·>. 综上可得|PQ|≥，故|PQ|的取值范围为[，+∞). 解 圆锥曲线中的范围问题的思路就是选用一个合适的变量(这个变量能够表达要解决的问题)建立目标函数或不等关系，然后求解.求解范围问题一定要牢记“先找不等式，有时需要找出两个量之间的关系，然后消去另一个量，保留要求的量”.不等式的来源可以是圆锥曲线的有界性、题目条件中某个量的范围等. 规律方法 跟踪演练2　我们把由半椭圆+=1(x≥0)与半椭圆+=1(x≤0)合成的曲线称作“果圆”，其中a2=b2+c2，a>b>c>0.如图，点F0，F1，F2分别是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2分别是“果圆”与x轴、y轴的交点.  (1)若△F0F1F2是边长为 1 的等边三角形，求 “果圆” 的方程； 因为△F0F1F2是边长为1的等边三角形， 所以c=，a2-b2=，b2-c2=， 所以b2=1，a2=， 故“果圆”的方程为+y2=1(x≥0)，y2+=1(x≤0). 解 (2)在(1)的条件下，P为半椭圆+=1(x≤0)上任意一点，M点的坐标为(1，0)，求|PF0|+|PF1|的最大值以及|PM|的最小值； 由(1)可知，F0，F1，F2， 设P(x0，y0)，满足+=1(x≤0)， 则|PM|==， 因为-≤x0≤0，由二次函数的性质易知，当x0=0时，|PM|取得最小值， 解 即|PM|min=. 因为|PF2|+|PF1|=2， 所以|PF0|+|PF1|=2+|PF0|-|PF2|≤2+|F0F2|， 当且仅当P，F0，F2三点共线，且F2在P，F0之间时取等号， 又|F0F2|=1，所以|PF0|+|PF1|≤2+|F0F2|=3，即|PF0|+|PF1|的最大值为3. 解 (3)当 |A1A2|>|B1B2| 时，求的取值范围. 因为a2=b2+c2，a>b>c>0，因此a2<2b2⇒>， 因为|A1A2|>|B1B2|，所以a+c>2b，即c>2b-a，即>2b-a， 因为a<b<2b，所以2b-a>0， 所以a2-b2>(2b-a)2=4b2-4ab+a2，化简得<， 所以的取值范围为. 解 $