精品解析：福建厦门沧江高级中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题

厦门沧江高级中学2025-2026学年高一下学期4月月考 数学试题 命卷人：陈絫 审核人：俞王斌 本试卷共4页，19小题，满分150分. 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 化简：等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 2. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，可得，解得. 3. 如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因是线段上的靠近A的三等分点，则. 4. 在中，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】由，所以， 所以． 故选：D. 5. 已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，而，， 所以在上的投影向量为. 6. 在中，，，，则（ ） A. 45° B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由余弦定理得：， 由已知，， ，， 代入得：， 又因为，故. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 7. 某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（ ） A. 处与处之间的距离是 B. 灯塔与处之间的距离是 C. 灯塔在处的西偏南 D. 在灯塔的北偏西 【答案】AC 【解析】 【分析】作图，运用正弦定理和余弦定理解相应的三角形即可. 【详解】在中，由已知得，， 则，由正弦定理得， 所以A处与D处之间的距离为，故A正确； 在中，由余弦定理得， 又，解得．所以灯塔C与D处之间的距离为，故B错误； ，，灯塔C在D处的西偏南，故C正确； 灯塔B在D的南偏东，D在灯塔B的北偏西，故D错误； 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 8. 在中，是边上一点，，，，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】法一：根据余弦定理求解即可；法二：先根据勾股定理逆定理得到，进而求得结果. 【详解】法一：在中，，，， 由互补角余弦值互为相反数得 由余弦定理得 即，故 法二：在中，，故 故 9. 在中，已知，外接圆半径，且，则面积_____. 【答案】 【解析】 【分析】化简可得，继而可得，求出C，结合三角形外接圆半径求出c，再利用余弦定理求出，利用面积公式即可求得答案. 【详解】由得：， 移项分组得：， 两边同提取2，并逆用两角差的正弦公式：， 得， 因为与属于，故两个角度相等或互补. ①若互补：（在三角形中不成立，舍去）. ②若相等：， 故. 由正弦定理得，代入与，解得 由余弦定理，化为. 代入，，，解得 故的面积. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 10. 已知向量， （1）若，求的值； （2）当时，求； （3）若向量，夹角为锐角，求的取值范围 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）条件可转化为，解方程即可； （2）根据向量加法坐标运算公式求，再由向量的模的坐标公式求解； （3）条件可转化为，且需排除同向共线情况，解不等式可得结论. 【小问1详解】 由题设，得，即， 所以. 【小问2详解】 当时，， 所以 故. 【小问3详解】 由题设，，故， 当，同向共线时，有且，此时， 可得，不满足，夹角为锐角， 综上，或. 所以的取值范围为. 11. 已知复数，． （1）若z为实数，求x的值； （2）若z为虚数，求x的取值范围； （3）若z为纯虚数，求x的值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）（2）（3）利用复数有相关概念列式求解. 【小问1详解】 由z为实数，得，所以. 【小问2详解】 由z为虚数，得，解得， 所以x的取值范围为. 【小问3详解】 由z为纯虚数，得且，所以. 12. 如图，某建筑物顶部有一旗杆，且点、、在同一条直线上，小明在地面处观测旗杆顶端的仰角为，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的处，又测得旗杆顶端的仰角为，已知建筑物高度为12米. （1）求点到建筑物的距离； （2）求旗杆的高度. 【答案】（1）10米； （2）米. 【解析】 【小问1详解】 ，，， 则是以为顶点，底角为的等腰三角形，米， 在中，，由正弦定理得：， 代入数据得：米. 点到建筑物的距离是10米. 【小问2详解】 在中，由正弦定理得： 代入数据得：米. 米， 旗杆的高度为米. 13. 在中，内角，，的对边分别为a，b，c，且 （1）求角； （2）若，且边上的中线，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理把角转化成边，再利用余弦定理可得答案； （2）法一：把向量关系式平方，联立余弦定理，解方程可得答案； 法二：延长中线至点，使得，解可得答案； 法三：利用平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和，以及余弦定理列方程，解方程可得答案； 法四：以及余弦定理，列方程，解方程可得答案. 【小问1详解】 因为， 根据正弦定理得 又由余弦定理：， 故：. 【小问2详解】 法一：由（1），又， 故， 而， 得， 即，与联立，解得. 故. 法二：由（1），又， 故， 延长中线至点，使得，又，， 所以，所以，，， 在中，， 由余弦定理得， 即，与联立，解得. 故. 法三：由余弦定理， 即. 平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和. 即，即. 与联立，解得. 故. 法四：由余弦定理， 即. 由， 利用余弦定理得， 即，即. 与联立，解得. 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门沧江高级中学2025-2026学年高一下学期4月月考 数学试题 命卷人：陈絫 审核人：俞王斌 本试卷共4页，19小题，满分150分. 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 化简：等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 3. 如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，，则（ ） A. 45° B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 7. 某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（ ） A. 处与处之间的距离是 B. 灯塔与处之间的距离是 C. 灯塔在处的西偏南 D. 在灯塔的北偏西 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 8. 在中，是边上一点，，，，，则_____. 9. 在中，已知，外接圆半径，且，则面积_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 10. 已知向量， （1）若，求的值； （2）当时，求； （3）若向量，夹角为锐角，求的取值范围 11. 已知复数，． （1）若z为实数，求x的值； （2）若z为虚数，求x的取值范围； （3）若z为纯虚数，求x的值． 12. 如图，某建筑物顶部有一旗杆，且点、、在同一条直线上，小明在地面处观测旗杆顶端的仰角为，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的处，又测得旗杆顶端的仰角为，已知建筑物高度为12米. （1）求点到建筑物的距离； （2）求旗杆的高度. 13. 在中，内角，，的对边分别为a，b，c，且 （1）求角； （2）若，且边上的中线，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $