专题02一元二次方程及其解法期中复习讲义 (12大题型+题型突破)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题02一元二次方程及其解法期中复习讲义 ☆ 复习目标 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握一元二次方程定 1能根据方程结构合理选 1.快速解答概念类选择/填 义、一般形式ax2 最优解法，提升解题效率：空，基础题零失误； +bx+c-0(a≠0)，能辨类型、2.规范完成所有解法步 2.熟练求解各类一元二次方 识系数（含符号）： 骤，规避符号、漏根、配 程，计算题步骤完整、结果 2.理解方程的解的概念，会 方错误等常见问题； 正确： 验证根、代入求参数； 3结合解的概念解决变式 3.搞定解的概念+解法基 3.熟记4种解法（直接开 题，灵活运用“代入求值”础综合小题，稳拿基础分值： 平方法/因式分解法 思想，保证运算准确。 4.夯实解法核心基础，实现与 配方法/公式法)、求根 后续一元二次方程应用的知 公式，会用判别式判断实 识衔接。 数根情况。 ☆ 题型梳理 题型1.一元二次方程定义判定及求参数 题型2.一元二次方程般式转化 题型3.一元二次方程根的判定及求参数 题型4.一元二次方程解的估算 题型5.一元一次方程的基本解法 题型6.配方法解一元二次方程 题型7.配方法的应用 题型8.一元二次方程根的判别式及求参数 题型9换元法解-元二次方程 题型10.一元二次方程判别式与解法综合 题型11.新定义运算 型12.配方法求代数式最值问题 解答题5题 ☆多 知识梳理 知识点01.一元二次方程和它的解【核心三定：定定义、定形式、定根】 1.定义：抓3个关键不跑偏 只含1个未知数+未知数最高次数2+整式方程，三者缺一不可，且二次项系数 ≠0（隐藏核心，判断必查）。 2.一般形试：ax2+bx+c=0(a≠0)【系数三要素】 试卷第1页，共3页 a(二次项系数)≠0是前提，b(一次项系数)、c(常数项)可含0，化一般 式步骤：去分母一去括号→移项→合并同类项（右边必为0）。 3.方程的根：验根唯一准则 代入未知数的值，使方程左右两边相等即根；一元二次方程根的个数：2个不等 实根/2个相等实根/无实根（提前铺垫，为2.2判别式做衔接）。 【特色考点速记】 判断是否为一元二次方程：先看是否整式，再定未知数个数，最后查最高次数+ 二次项系数≠0： 化一般式+指系数：注意符号（移项变号），缺项系数为0 知识点02.一元二次方程的解法【四法通关：选法有技巧，步骤有模板】 核心原则：能简不繁，优先选法顺序：因式分解法→直接开平方法→配方法→公 式法 1.直接开平方法【平方型专属，一步到位】 适用：x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)（无一次项，可凑平方） 解题步骤： 1.把方程化为(mx+n)2=p的形式 2.当p≥0时，两边开平方得mx+n=VD 3.解两个一元一次方程，得到方程的根 注意事项： ①p<0时，方程无实数根： ②开平方时，不要漏掉“±”号。 化平方形式→开方带士→解一次方程（注意：p<0时无实根） 2.因试分解法【乘积为0专属，最快解法】 适用：方程右边为0，左边能分解为两个一次因式乘积（提公因式/平方差 /十字相乘) 步骤 1.移项：把方程右边化为0 试卷第1页，共3页 2.因式分解：把左边分解为两个一次因式的乘积 3.降次：令每个因式分别为0，得两个一元一次方程 4.求解：解两个一元一次方程 3.配方法【万能基础法，为公式法铺路】 适用：所有一元二次方程（尤适二次项系数为1、一次项系数为偶数） 解题步骤（以x2+bx+c=0为例）： 1.移项：把常数项移到右边，得x2+bx=-c 2.配方：两边加一次项系数一半的平方，得x2+bx+(号P-c+(号)2 3.化为平方形式：(+号-c 4 4.用直接开平方法求解 4.公式法【万能终极法，无技巧硬解】 适用：所有一元二次方程（前三种方法无法快速求解时用） 解题步骤 1.把方程化为标准形式ax2+bx+c=0(a≠0) 2.计算判别式：△=b2-4ac 3.若A0,代入求根公式：x=站4 2a ；若△<0，方程无实数根 【特色技巧+易错点】 一选法技巧：无一次项先试开平方法，能分解先试因式分解法，二次项系数为1 试配方法，复杂方程直接用公式法： 问易错避雷：配方时漏乘、移项忘变号、开方丢±、公式法代错系数（注意b 的符号)、判别式计算错误((-b)2=b)。 【核心口决速记（特色亮点）】 元二次三要件，整、一单、次为二，a非0是关键； 一般形式右为0，系数符号要辨清： 四法解方程，选法看特征，开平分解快，配方公式稳 判别式△定根况，公式代入带±，解题步骤不跳步，易错点要记牢。 试卷第1页，共3页 ☆★ 题型精析 题型01.一元二次方程定义判定及求参数 【典例】一元二次方程x2-4x+3=0的一次项系数和二次项系数分别是() A.4和1 B.-4和1 C.4和0 D.-4和3 【跟踪专练1】若关于x的方程k-2x外2+(k-3)x+4=0是一元二次方程，则k= 【跟踪专练2】若关于x的一元二次方程(m+1)x2-x+m2-m-2=0有一根为0，则m的值 为 【跟踪专练3】已知关于x的一元二次方程m+1)x2-2x+m2+m=0有一根为0，则m的值 是() A.0 B.-1 C.0或1 D.0或-1 题型02.一元二次方程般式转化 【典例】一元二次方程2x2-3x+1=0的一次项系数和常数项分别是() A.-3,1 B.2,1 C.2,-3 D.-3x,1 【跟踪专练1】一元二次方程(x+2)2=2x+1化为一般式为 【跟踪专练2】关于x的一元二次方程(m-1)x2+m'x=x+5化为一般形式后不含一次项， 则m的值为 题型03.一元二次方程根的判定及求参数 【典例】若m是方程x2-3x-1=0的一个根，则-3m2+9m+2026的值为 【跟踪专练1】在一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0)的研究中小明发现4a-2b+c=0,小 红发现9a+3b+c=0,而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根 冷 【跟踪专练2】.若x=2是关于x的方程ax2-bx=2的解，则2023-2a+b的值是（) A.2020 B.2022 C.2021 D.2024 题型04.一元二次方程解的估算 试卷第1页，共3页 【典例】根据下面表格中的信息，判断关于x的方程ax2+bx+c=0.02(a≠0)的一个解x的 范围是() 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c -0.02 0.01 0.03 A.x<3.24 B.3.24<x<3.25 C.3.25<x<3.26 D.x>3.26 【跟踪专练1】小刚在探索一元二次方程x2+12x-15=0的近似解时做了如下表的计算.观 察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是 0 0.5 1 1.5 x2+12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13 【跟踪专练2】下表是代数式x2+12x-15的部分值的情况，根据表格中的数据，则关于方 程x2+12x-15=0的一个正根x的判断正确的是() X 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76 A.x<1.1 B.1.1<x1<1.2 C.1.2<x1<1.3 D.1.3<x<1.4 题型05.一元二次方程的基本解法 【典例】一元二次方程xx+2)=0的根是() A.x=-2 B.x=0 C.x=2 D.x1=0,x2=-2 【跟踪专练1】已知关于x的一元二次方程(k-3)x2+6x+2-9=0的常数项为0，则k的值 为 【跟踪专练2】用公式法解关于x的方程x2-2ar-3a2=0,可求得解为 【跟踪专练3】关于y的方程yy-2)=4y-2),下面解法完全正确的是() 甲 乙 丙 丁 试卷第1页，共3页 整理得： 整理得； y2-6y-8=0 移项得： y2-6y+8=0 配方得： ∴.a=1,b=-6, yy-2)+4y-2)=0 两边同时除以 c=-8 (y+4)(y-2)=0 y2-6y+9=1 (y-2得y=4 ∴b2-4ac=68 y+4=0或y-2=0 y-32=1 六y=-4,2=2 y-3=±1 6±V68 y= =3±√7 2 ·y=4,y2=2 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 题型06.配方法解一元二次方程 【典例】将方程2-4x+1=0化成(x+m)2=n的形式是 【跟踪专练1】将方程x2-2x-1=0化成(x+a)2=b(a、b为常数)的形式，则a、b的值 分别是() A.1,2 B.1,-2 C.-1,-2 D.-1,2 【跟踪专练2】如果方程x2+4x+n=0可以配方成(x+m)2=3,那么(n-m)2025= 题型07.配方法的应用 【典例】用配方法将代数式x2+4x-5变形，结果正确的是() A.(x+22-1B.(x+22-5 C.(x+22+4 D.(x+22-9 【跟踪专练1】将一元二次方程x2-4x-5=0化成(x+a=b的形式，则a+b= 【跟踪专练2】将一元二次方程x2-6x-2017=0转化为(x+a=b的形式，则a+b的值为 () A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 题型08.一元二次方程根的判别式及求参数 【典例】已知关于x的一元二次方程x2-x-2=0,则该方程解的情况是() 试卷第1页，共3页 A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.只有一个解 【跟踪专练1】若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取 值范围是 【跟踪专练2】关于x的一元二次方程x2+(m-1)x-m=0的根的情况是 【跟踪专练3】对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法： ①若4a+2b+c=0,则b2-4ac≥0； ②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根； @若2026是方程ar2+bc+c-0的-个根，则02 一定是cr2+bx+a=0的一个根： ④若x是一元二次方程ax2+bxr+c=0的根，则b2-4ac=(2ax+b)2. 其中正确的是() A.只有①②B.只有①②④ C.①②③④ D.只有①②③ 题型09.换元法解一元二次方程 【典例】若a2-3(a2+1=0,则代数式2的值为() A.-1或3 B.1或-3 C.-1 D.3 【跟踪专练1】己知(x2+y2）x2+y2-3=10,则x2+y2= 【跟踪专练2】若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)有一根为x=36,则一元二次 方程a(x+1)2+bx+b=-2必有一根为() A.33 B.34 C.35 D.36 题型10.一元二次方程判别式与解法综合 【臭制1关于的方程生+3-a=0有安数，则饭值范用 x2 【跟踪专练1】我们可以利用二次根式性质(Va'=a(a≥0)准确解出形如x-3√厂-4=0的 方程， 方法如下： 试卷第1页，共3页 由题意， 可知x≥0， 得x=( 原方程变形为：(-3-4=0 (F-4F+1=0 .√F=4或√F=-1（舍去) x=16 小杰同学将二次根式的性质进一步探究后发现：（一a'=-aa<0). 已知x-3一y+10y=0(x>0),参考上述方法，可求得上= 【跟踪专练2】在解一元二次方程x'-2x-8=0时，小明的解法如下，请按要求完成下列问 题 第一步：x2-2x=8 第二步：x2-2x+1=8 第三步：（x-1)2=8 第四步：x-1=2√2或x-1=-2√2 第五步：x=1+22,x,=1-2V2 (1)小明第三步配方的依据是 A.完全平方公式B.平方差公式C.多项式与多项式乘法法则 (②)上述解题过程中，第 步有误，错误原因是 ，此方程正确的解是 (3)用合适的方法解方程：2y2-9y+5=0. 题型11.新定义运算 d定义： a b 【典例】将4个数a,b,c,d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成 a b 1+x c d =ad-bc,上述记号叫做2阶行列式， 1,则x= 1-xx+1 【跟踪专练1】我们规定一种运算： =ad-bc.依据以上规定计算：当x=时， 试卷第1页，共3页 0.5x x-0.5 =0 a2-ab(a≥b) 【跟踪专练2】对于实数a,b,定义运算“*”：*a*b= (ab-ala<b). 例如4*2，因为4>2 ,所以4*2=42-4×2=8.若x,x2是一元二次方程x2-7x-60=0的两个根，则x*x2= 题型12.配方法求代数式最值问题 【典例】当x=时，二次三项式-2x2+4x-5有最大值，最大值为 【跟踪专练1】若x-y+4=0,则y的最小值为 【跟踪专练2】若W=2x2-4y+3y2-2y+4x+6(x、y为实数)，则W的最小值为 【解答题】 1.已知关于x的方程m2-5x2+m-V5x+2=0. (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 2.解下列方程： (①x-32=18 (2)x2-4x-5=0 (3)x2-2x-1=0 (4)2x2-5x-1=0(用配方法) 3.如果关于x的方程m+1x2+(2m-)x+m-1=0没有实数根，试判断关于x的方程 (m-3)x2-2m+3x-m+5=0的根的情况。 4.阅读下面的材料： 解方程x4-7x2+12=0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设 x2=y,则x4=y2,原方程可化为：y2-7y+12=0,解得乃=3，y2=4,当y=3时， x2=3,x=±V5,当y=4时，x2=4,x=±2..原方程有四个根是：x=√5，x2=-V5, x=2,x4=-2,以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上 试卷第1页，共3页 述方法解答下列问题 (1)解方程：(x2+x)2-5(x2+x)+4=0. (2)已知实数a,b满足(a2+b2)2-3(a2+b2)-10=0,试求a2+b2的值 5.形如x2±2xy+y2的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式， 我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方.配方在某些求代数式最值问题、解方程等 都有广泛的应用。 例如：x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2,可得：当x=-1时，代数式x2+2x+3有最小 值，最小值为2.请回答下列问题： 25m A (1)当x取何值时，代数式x2-8x+10有最小值，最小值为多少 (2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙MN的长为25m,篱笆的 长为40m,当AB为多少米时，围成的长方形花园ABCD面积最大，求出最大面积. 试卷第1页，共3页 专题02一元二次方程及其解法期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握一元二次方程定义、一般形式ax2+bx+c=0(a0)，能辨类型、识系数（含符号）； 2.理解方程的解的概念，会验证根、代入求参数； 3.熟记 4 种解法（直接开平方法 / 因式分解法 / 配方法 / 公式法）、求根公式，会用判别式判断实数根情况。 1.能根据方程结构合理选最优解法，提升解题效率； 2.规范完成所有解法步骤，规避符号、漏根、配方错误等常见问题； 3.结合解的概念解决变式题，灵活运用 “代入求值” 思想，保证运算准确。 1.快速解答概念类选择 / 填空，基础题零失误； 2.熟练求解各类一元二次方程，计算题步骤完整、结果正确； 3.搞定解的概念 + 解法基础综合小题，稳拿基础分值； 4.夯实解法核心基础，实现与后续一元二次方程应用的知识衔接。 题型1.一元二次方程定义判定及求参数 题型2.一元二次方程一般式转化 题型3.一元二次方程根的判定及求参数 题型4.一元二次方程解的估算 题型5.一元二次方程的基本解法 题型6.配方法解一元二次方程 题型7.配方法的应用 题型8.一元二次方程根的判别式及求参数 题型9.换元法解一元二次方程 题型10.一元二次方程判别式与解法综合 题型11.新定义运算 题型12.配方法求代数式最值问题 解答题5题 知识点01.一元二次方程和它的解【核心三定：定定义、定形式、定根】 1. 定义：抓 3 个关键不跑偏 只含1 个未知数+ 未知数最高次数2+整式方程，三者缺一不可，且二次项系数≠0（隐藏核心，判断必查）。 2. 一般形式：ax2+bx+c=0（a0）【系数三要素】 a（二次项系数）≠0 是前提，b（一次项系数）、c（常数项）可含 0，化一般式步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项（右边必为 0）。 3. 方程的根：验根唯一准则 代入未知数的值，使方程左右两边相等即根；一元二次方程根的个数：2 个不等实根 / 2 个相等实根 / 无实根（提前铺垫，为 2.2 判别式做衔接）。 【特色考点速记】 判断是否为一元二次方程：先看是否整式，再定未知数个数，最后查最高次数 + 二次项系数≠0； 化一般式 + 指系数：注意符号（移项变号），缺项系数为 0 知识点02.一元二次方程的解法【四法通关：选法有技巧，步骤有模板】 核心原则：能简不繁，优先选法顺序：因式分解法→直接开平方法→配方法→公式法 1. 直接开平方法【平方型专属，一步到位】 ✅ 适用：x2=p(p≥0) 或 (mx+n)2=p(p≥0)（无一次项，可凑平方） 解题步骤： 1.把方程化为(mx+n)2=p的形式 2.当p≥0时，两边开平方得mx+n=±​ 3.解两个一元一次方程，得到方程的根 注意事项： 1 p<0时，方程无实数根； 2 开平方时，不要漏掉 “±” 号。 化平方形式→开方带±→解一次方程（注意：p<0时无实根） 2. 因式分解法【乘积为 0 专属，最快解法】 ✅ 适用：方程右边为 0，左边能分解为两个一次因式乘积（提公因式 / 平方差 / 十字相乘） 步骤： 1.移项：把方程右边化为 0 2.因式分解：把左边分解为两个一次因式的乘积 3.降次：令每个因式分别为 0，得两个一元一次方程 4.求解：解两个一元一次方程 3. 配方法【万能基础法，为公式法铺路】 ✅ 适用：所有一元二次方程（尤适二次项系数为 1、一次项系数为偶数） 解题步骤（以x2+bx+c=0为例）： 1.移项：把常数项移到右边，得x2+bx=−c 2.配方：两边加一次项系数一半的平方，得x2+bx+()2=−c+()2 3.化为平方形式：(x+)2= 4.用直接开平方法求解 4. 公式法【万能终极法，无技巧硬解】 ✅ 适用：所有一元二次方程（前三种方法无法快速求解时用） 解题步骤： 1.把方程化为标准形式ax2+bx+c=0（a0） 2.计算判别式：Δ=b2−4ac 3.若Δ≥0，代入求根公式：；若Δ<0，方程无实数根 【特色技巧 + 易错点】 ⏩选法技巧：无一次项先试开平方法，能分解先试因式分解法，二次项系数为 1 试配方法，复杂方程直接用公式法； ⏩易错避雷：配方时漏乘、移项忘变号、开方丢±、公式法代错系数（注意b的符号）、判别式计算错误（(−b)2=b2）。 【核心口诀速记（特色亮点）】 一元二次三要件，整、一单、次为二，a非 0 是关键； 一般形式右为 0，系数符号要辨清； 四法解方程，选法看特征，开平分解快，配方公式稳 判别式Δ定根况，公式代入带±，解题步骤不跳步，易错点要记牢。 题型01.一元二次方程定义判定及求参数 【典例】一元二次方程的一次项系数和二次项系数分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】对照确定二次项系数和一次项系数． 【详解】解：的一次项系数是，二次项系数是． 【跟踪专练1】若关于的方程是一元二次方程，则___________． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解此定义是关键；根据一元二次方程的定义，最高次项指数为2且二次项系数不为零，即可求解． 【详解】解：由题意，方程为一元二次方程， 则满足， 解得， 即或． 当时，二次项系数；当时，二次项系数． 故均符合条件． 故答案为：或． 【跟踪专练2】若关于的一元二次方程 有一根为0，则的值为______． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程的定义得到，再利用方程的解的定义，将代入已知方程，列出关于的方程，求解后结合二次项系数不为0的条件确定的值； 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一根为0， ∴将代入方程得： ， 即， 因式分解得， 解得或， 又∵一元二次方程的二次项系数不能为0，即，得， ∴的值为2． 【跟踪专练3】已知关于的一元二次方程有一根为，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 将代入关于的一元二次方程中得，且，解出的值即可． 【详解】解：由题意，得且， 或，且， ， 故选：A． 题型02.一元二次方程一般式转化 【典例】一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（    ） A．，1 B．2，1 C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程的一般形式为（），其中为一次项系数，为常数项． 【详解】解：在方程中，一次项系数是，常数项是． 【跟踪专练1】一元二次方程化为一般式为___________． 【答案】 【详解】解：， 展开完全平方得， 移项、合并同类项得． 【跟踪专练2】关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；将方程化为一般形式，根据不含一次项的条件，令一次项系数为零，且二次项系数不为零，求解． 【详解】解：原方程化为一般形式：， 即， 由于不含一次项，则一次项系数，且二次项系数． 解，得． 由，得， 故． 故答案为：． 题型03.一元二次方程根的判定及求参数 【典例】若m是方程的一个根，则的值为___________． 【答案】 【分析】由m是方程的一个根，可得，再进一步代入求解即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 【跟踪专练1】在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 【答案】 【详解】解：依题意，当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 所以这个方程的根为，． 【跟踪专练2】.若是关于的方程的解，则的值是（    ） A．2020 B．2022 C．2021 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，注意整体思想的运用． 将 代入方程，求出 的值，再整体代入所求表达式计算． 【详解】解：是方程的解， ， ． ． 故选： B． 题型04.一元二次方程解的估算 【典例】根据下面表格中的信息，判断关于的方程的一个解的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是数形结合．由表中数据得到时，；时，，则取到之间的某一个数时，使，于是可判断关于的方程的一个解的范围． 【详解】解：时，；时，， 关于的方程的一个解的范围是． 故选：C． 【跟踪专练1】小刚在探索一元二次方程的近似解时做了如下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是______． x 0 1 2 13 【答案】1 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，此类题要细心观察表格中的对应数据，即可找到x的取值范围． 通过观察表格中函数值的变化，确定根所在区间，进而得出整数部分． 【详解】解：当时，； 当时，； 由于函数值在和之间由负变正，根据零点存在定理，方程在1到之间有一个根，因此该根的整数部分是1， 故答案为：1． 【跟踪专练2】下表是代数式的部分值的情况，根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据表中数据可得：和时，代数式的值一个小于0，一个大于0，从而可判断当的某个值时，代数式的值为0． 【详解】解：当时，， 当时，， 方程的一个正根的取值范围为：， 故选：B． 题型05.一元二次方程的基本解法 【典例】一元二次方程的根是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴或， 解得：，． 【跟踪专练1】已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据常数项为0列出方程求出k的值，根据一元二次方程的定义可知二次项系数不为，求解即可得到的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项为0， ∴， 解得或， ∵二次项系数不为0， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】用公式法解关于x的方程，可求得解为_______． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 先计算判别式，再代入求根公式求解即可． 【详解】解：由方程可得，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， 则判别式， ， 当时，，则，； 当时，，则，； 综上，方程的解为，． 故答案为：，． 【跟踪专练3】关于y的方程，下面解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 整理得； ∴，， ∴ ∴ 两边同时除以得 移项得： ∴ ∴或 ∴， 整理得： 配方得： ∴ ∴ ∴， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 利用一元二次方程的解法进行逐个判断，即可求解． 【详解】解：甲、方程化简得，甲写成，故甲解法错误； 乙、直接两边除以，未考虑的情况，会漏解，故乙解法错误； 丙、移项时符号错误，正确移项应为，丙写成，导致后续结果错误，故丙解法错误； 丁、化简得，配方得，得，即，解得，，解法完全正确； 综上可知丁的解法完全正确，选项D符合题目要求． 故选：D． 题型06.配方法解一元二次方程 【典例】将方程化成的形式是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法的运用，掌握配方法的方法是关键． 根据配方法，找出一次项系数，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：， 等式变形得，， 等式两边同时加上得，， ∴配方得，， 故答案为： ． 【跟踪专练1】将方程化成（a、b为常数）的形式，则a、b的值分别是（　　） A．1，2 B．1， C．， D．，2 【答案】D 【详解】解：原方程为， 移项得， 配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 即，整理为的形式得， ，． 【跟踪专练2】如果方程可以配方成，那么__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-配方法，通过配方法将方程转化为完全平方形式，比较系数求出和的值，再计算并求其2025次幂即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 已知配方后为 ， ∴，， 解得， 则， 所以 ， 故答案为：． 题型07.配方法的应用 【典例】用配方法将代数式变形，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，关键是找到完全平方式然后进行配方，将代数式通过配方法变形，需将二次项和一次项组合成完全平方形式，并调整常数项． 【详解】解：， 故选：D． 【跟踪专练1】将一元二次方程化成的形式，则___________． 【答案】7 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的步骤是解答本题的关键． 直接根据配方法的步骤解题即可． 【详解】解：方程移项得， 配方得， 即， ，， ． 故答案为：7． 【跟踪专练2】将一元二次方程转化为的形式，则的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】A 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，利用完全平方公式将原方程转化为指定的完全平方形式，确定参数a和b的值后，计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 即， 与对比，得， ∴， 故选：A． 题型08.一元二次方程根的判别式及求参数 【典例】已知关于的一元二次方程，则该方程解的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个解 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 利用一元二次方程根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：一元二次方程为， 则判别式， 又由于， 则，即， 因此，该一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【跟踪专练1】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 【答案】/ 【分析】根据一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个不相等的实数根时，判别式大于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解不等式得， 即的取值范围是． 【跟踪专练2】关于的一元二次方程的根的情况是_________． 【答案】 有实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，解题的关键是正确计算判别式并判断其符号．先确定一元二次方程的系数a，b，c；再代入根的判别式公式进行计算；最后根据的符号判断根的情况． 【详解】解：对于方程， ，，， ， ． 故该一元二次方程有实数根． 故答案为：有实数根． 【跟踪专练3】对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若2026是方程的一个根，则一定是的一个根； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（   ） A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③ 【答案】C 【分析】根据一元二次方程解的含义、一元二次方程根的判别式等知识逐个分析即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故正确； ∵方程有两个不相等的实根， ∴， 方程的判别式， ∵，， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根，故正确； ∵2026是方程的一个根， ∴， ∴， ∴是的一个根，故正确； ∵是一元二次方程的根， ∴，即， ∵，故正确； 综上所述，正确的是①②③④． 题型09.换元法解一元二次方程 【典例】若，则代数式的值为（    ） A．或 B．1或 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程；令，再解一元二次方程即可； 【详解】解：设，可知， 原方程可化为：， 解得：或， ∵， ∴ ∴， 故选： D． 【跟踪专练1】已知，则______． 【答案】5 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，设，则，原方程可变形为，解方程求出t的值即可得到答案． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：5． 【跟踪专练2】若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（　　） A．33 B．34 C．35 D．36 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解的应用，关键是将第二个方程变形为与第一个方程结构相同的形式，利用换元思想找到对应解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一根为 ∴ 将方程变形为： 令 解得 ∴一元二次方程必有一根为35， 故选：C 题型10.一元二次方程判别式与解法综合 【典例】关于的方程有实数根，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】应用换元法，，将原方程转化为，根据方程有实根，及该实根的范围，列出的范围，即可求解， 本题考查了换元法解分式方程，一元二次方程的实根，解题的关键是：设． 【详解】解：设，则原方程变形为， ∵原方程有实数根， 方程有实数根， 设的两个实数根为， ∵是对称轴， ∴， 令， 当时，， 当时，， ∴． 故答案为： 【跟踪专练1】我们可以利用二次根式性质准确解出形如的方程， 方法如下： 由题意，可知，得 原方程变形为： ∴ ∴或（舍去） ∴ 小杰同学将二次根式的性质进一步探究后发现：． 已知，参考上述方法，可求得______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，因式分解法解一元二次方程等知识，设，代入原方程，利用换元法将方程转化为关于的二次方程，求解后得到的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由，设，则， 代入原方程，得， ， ∵， ∴， ∴， ， 设（)，则， 代入得：，即， 整理为：， ∴，（舍去，因为)， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】在解一元二次方程时，小明的解法如下，请按要求完成下列问题． 第一步： 第二步： 第三步： 第四步：或 第五步：， (1)小明第三步配方的依据是__________； A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 (2)上述解题过程中，第________步有误，错误原因是_________，此方程正确的解是________________； (3)用合适的方法解方程：． 【答案】(1)A (2)二，没有给等号右边加1，， (3)， 【分析】（1）配方法的依据是完全平方公式，即，据此可得出结果； （2）需要检查每一步的计算是否正确，找出错误的步骤并分析原因，然后求解方程； （3）使用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：A项：完全平方公式是，在配方时，通常会使用该公式来将方程转化为完全平方的形式； B项：平方差公式是，与配方无关； C项：多项式与多项式乘法法则是，也与配方无关， ∴小明第三步配方的依据是完全平方公式，选A． （2）解：小明在解题过程中，第二步有误，错误原因是没有给等号右边加1， 正确的解题过程如下： ， ， ， ， 或， ，． （3）解：， ，，， ， ， ，． 题型11.新定义运算 【典例】将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：，上述记号叫做2阶行列式，若，则___________ ． 【答案】0或 【分析】根据题中已知的新定义列出式子，然后化简得到关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：由得，， ， ， ， 或， 解得，或． 【跟踪专练1】我们规定一种运算：．依据以上规定计算：当____时，． 【答案】1 【分析】本题主要考查了新运算规则、解一元二次方程等知识点，理解新运算法则是解题的关键． 根据规定的运算规则将行列式转化为关于x的一元二次方程，然后解方程求得x的值即可． 【详解】解：由运算规则，得， 整理得：． 解得：． 故答案为1． 【跟踪专练2】对于实数，定义运算“*”：*．例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则_____． 【答案】204或 【分析】此题考查了解一元二次方程，新定义问题， 先解一元二次方程求出两个根，再根据运算“*”的定义，分情况计算． 【详解】解方程， 因式分解得， 所以或， 即两根为或． 当 时，， 所以． 当时，， 所以． 故答案为：204或． 题型12.配方法求代数式最值问题 【典例】当______时，二次三项式有最大值，最大值为______． 【答案】 1 【分析】根据配方法的步骤把代数式通过配方变形为，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴时，代数式有最大值，其最大值为． 【跟踪专练1】若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式、配方法的应用、非负数的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．先根据已知等式用含的代数式表示，然后通过配方及非负数性质求解即可． 【详解】解：， ． 则． 的最小值为 故答案为： 【跟踪专练2】若（x、y为实数），则W的最小值为________． 【答案】3 【分析】本题考查配方法的应用，通过配方法将原式化为完全平方和的形式，利用非负数的性质求最小值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，当， 时取等号， 故的最小值为； 故答案为：3． 【解答题】 1．已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 即且， ∴； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得 2．解下列方程： (1) (2) (3) (4)（用配方法） 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）利用直接开方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：； （2）解：， 则或 解得：； （3）解：， 其中，，， ， ， 解得：； （4）解：， ， ， ， ， ， 解得：． 3．如果关于的方程没有实数根，试判断关于的方程的根的情况． 【答案】当时，方程有一个实数根；当且时，方程有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 首先根据已知方程无实根可得m的取值范围，再计算新方程的判别式，结合m的取值范围确定新方程根的判别式的情况，进而得出新方程根的情况即可． 【详解】解：当时，方程化为， 解得，不符合题意， 当时，方程没有实数根， ∴， 解得； 当时，方程化为， 解得，方程有一个根； 当且时，， 此时方程有两个不相等的实数解． ∴当时，方程有一个实数根；当且时，方程有两个不相等的实数根． 4．阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为，解得，当时， ，当时，．∴原方程有四个根是： ， ，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． (1)解方程：． (2)已知实数a，b满足，试求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，代数式求值，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）设，则，整理，得，解关于y的一元二次方程，然后解关于x的一元二次方程即可求解； （2）设，则，整理得，解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：设，则， 整理得：， 解得：， 当，即时， 解得； 当，即时， 解得． 综上，原方程的解为，． （2）设，则， 整理得：， 解得： (舍去)， ∴． 5．形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用． 例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： (1)当取何值时，代数式有最小值，最小值为多少． (2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 【答案】(1)当时，代数式有最小值，最小值为 (2)当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是． 【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是明确题意，列出关系式． （1）将代数式配方成，再根据非负数的性质可得答案； （2）设，则，根据题意可以得到面积与矩形一边长的关系式，然后配方即可求得结果，注意求出的边长要符合题意． 【详解】（1）解：∵， ∵， ∴． 当时，代数式有最小值，最小值为． （2）解：设，则， ∴， 解得． ∴． ∵， ∴当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $