精品解析：山东济南市历城第二中学2026届高三下学期3月模拟预测数学试题

济南历城第二中学高三3月模拟预测 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 函数 的最小正周期是（ ） A. B. C. π D. 2π 4. 已知抛物线的焦点为，．若上存在点，使得，且的面积为2，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 现有3本完全相同的书籍进行现场拍卖，有9位竞拍者，每人可以重复竞拍，则不同的竞拍结果有（ ） A. 84种 B. 129种 C. 156种 D. 165种 6. 设等比数列的前项和为，若，则（　　） A 24 B. 32 C. 36 D. 108 7. 在三棱锥中，底面为正三角形，平面 ，若四点都在球表面上，则点到平面的距离为（ ） A. 5 B. C. D. 8. 已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线a，b及平面，．下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C 若，，则 D. 若，，则 10. 已知抛物线，过焦点的直线交于点，则（ ） A. 的坐标为 B. C. 的最小值为2 D. 11. 已知函数，，为的极大值点，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数是__________. 13. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 的周长为20，面积为10 ，D为边BC的中点，则BC边中线AD=________ 14. 已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，，过且垂直于的直线与椭圆C交于D，E两点，，则的周长是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为,且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求该三角形的周长． 16. 已知数列、的前n项和分别为、，，，为等比数列且，. （1）求、； （2）求数列前n项和. 17. 已知两个非零向量，的夹角为，定义与的外积分记为，其结果是一个向量，它的长度规定为，它的方向规定为与，均垂直；如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为上一点，. （1）求的值； （2）若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若为上一点，，求. 18. 已知椭圆的焦距为2，且离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知，直线过点（直线不与轴重合），交椭圆于，两点．直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点，连接交轴于． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求点到直线距离取值范围． 19. 甲，乙两队进行乒乓球双打比赛，规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜.已知每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立. （1）当时. （i）求在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率； （ii）记比赛结束时的场数为，求的分布列和数学期望； （2）若比赛结果为或者时胜方的成长值记3分，负方记0分，比赛结果为时胜方的成长值记2分，负方记1分，求甲队本次比赛的成长值得分的期望，并求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南历城第二中学高三3月模拟预测 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 详解】求集合： ， 由，得，即， 又，，故. 求集合： ， 由，得，故. 所以. 2. 复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，. 3. 函数 的最小正周期是（ ） A. B. C. π D. 2π 【答案】A 【解析】 【详解】， 所以最小正周期. 4. 已知抛物线的焦点为，．若上存在点，使得，且的面积为2，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】依题设，利用题设条件与焦准距可得，再由三角形面积计算即得. 【详解】由题意可知：，则， 设，则，可得，即， 又因为的面积为，解得. 5. 现有3本完全相同的书籍进行现场拍卖，有9位竞拍者，每人可以重复竞拍，则不同的竞拍结果有（ ） A. 84种 B. 129种 C. 156种 D. 165种 【答案】D 【解析】 【详解】3本都给1个人：共种； 3本分为1本和2本，分给2个人：选2个不同竞拍者并分配数量，共种； 3本分给3个人，每人1本：选3个不同竞拍者，共种； 总结果数：种. 6. 设等比数列的前项和为，若，则（　　） A. 24 B. 32 C. 36 D. 108 【答案】B 【解析】 【详解】因为等比数列的前项和为， 所以，，，成等比数列， 所以，解得， 又，所以，解得. 7. 在三棱锥中，底面为正三角形，平面 ，若四点都在球的表面上，则点到平面的距离为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，确定球心O的位置，再利用几何法求出球心O到平面PBC的距离为，再利用等体积法求解即可. 【详解】设底面中心为D，取BC的中点E，连接AE，则A，D，E三点共线，连接PE，过点D作底面的垂线， 取棱PA的中点Q，在平面PAE中，过Q作PA的垂线，则与的交点即为球心O， 在正中，，，得， 又，即， 则，，， 由余弦定理得，则， 过O作PE的垂线，垂足为G，由，， 因为，PA，平面，所以平面， 又平面PBC，则平面平面， 又平面平面，平面，因此平面PBC， 在中，， 所以球心O到平面PBC的距离为， 则三棱锥的体积为， 而，设点到平面的距离为， 由，得，解得， 则点到平面的距离为. 8. 已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，根据复合函数单调性可得函数在上单调递减，进而可得，再利用基本不等式求解即得. 【详解】由，可知定义域为， 又，即， 则， 所以， 因为在单调递减，在定义域内单调递增， 由复合函数单调性可知，在单调递减， 显然在上单调递减，所以函数在单调递减． 令， 因为， 所以函数是定义在上的奇函数，故函数在也单调递减， 所以函数在定义域上单调递减． 正实数a，b满足，所以 故，即，所以， 当且仅当时，取等号，即最小值为6． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线a，b及平面，．下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，若，，则直线与直线可能平行，可能异面，故A错误. 对于B，根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行.若，，则，故B正确. 对于C，若，，则直线与平面，可能垂直可能平行也可能相交但不垂直. 故C错误. 对于D，若，，如图过直线作平面与平面相交于直线，可得，因为，所以，又因为， 可得.故D正确. 10. 已知抛物线，过焦点的直线交于点，则（ ） A. 的坐标为 B. C. 的最小值为2 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据抛物线的性质求焦点坐标即可判断，对于B，设直线，联立方程组结合根与系数的关系求即可判断，对于C，结合抛物线焦点弦公式求弦长的表达式，再求其最小值即可判断，对于D，根据抛物线定义利用表示，进一步计算即可判断. 【详解】对于A，抛物线，设抛物线的焦点到准线的距离为， 则，故的坐标为，故A正确； 对于B，设直线，联立，得， 方程的判别式， ，， ，， 故，故B正确； 对于C，因为， 所以当时，弦的长度最小，最短弦的长度为4，故C错误； 对于D，由， 得，故D正确. 11. 已知函数，，为的极大值点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先求出的导数，再设，利用导数结合零点存在定理可判断的极值点满足的性质，据此判断AB的正误，再利用导数求出的单调性，设，利用导数研究其单调性后可判断，故可判断CD的正误. 【详解】因为，设， 则，当时，；当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 故，当时，即， 而，故存在，使得即， 且时，即，当，即， 故为的极大值点即， 由前述分析可得也是最大值点且，故B正确. 而，而， 故，即A正确. 易知，当时，；当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 因为，故为方程的解， 当时，，而，此时方程无解； 当时，设， 因为在上为增函数，在上为减函数， 故在上为增函数，而， ，故在上存在唯一的零点， 而当时，因为在上为减函数，故， 当时，恒成立，故无解， 综上，即，故C正确，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数是__________. 【答案】5 【解析】 【详解】的展开式通项为， 令解得， 所以展开式中的系数是. 13. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 的周长为20，面积为10 ，D为边BC的中点，则BC边中线AD=________ 【答案】 【解析】 【详解】已知在中，，结合正弦定理，得，整理得， 由射影定理可得，因为的周长为，即，代入，可得， 又因为的面积为，由面积公式，结合余弦定理， 联立可得， 再利用半角公式，则，解得，， 进而得，则或， 则根据中线定理可得， 因此. 14. 已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，，过且垂直于的直线与椭圆C交于D，E两点，，则的周长是________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据已知得到为等边三角形，为的垂直平分线，进而有的周长等于，结合椭圆的定义求三角形的周长，再联立直线与椭圆并应用韦达定理、弦长公式列方程求椭圆参数，即可得周长. 【详解】因为，即，则， 即，， 则，故， 故为等边三角形，为的垂直平分线， 所以，，则的周长等于， 其中，则的周长为， 又因为直线的斜率为， 则直线的斜率为，可得直线为， 联立方程，消去y得， 且，可得， 设，则， 故，解得，故， 则的周长为. 故答案为：8. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为,且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求该三角形的周长． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）用正弦定理把边化为角，再利用三角形内角和与三角恒等变换化简，即得角； （2）先由面积公式求出的值，再用余弦定理求出的值，从而求得三角形的周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得：， 整理得：， 因为，所以，故， 因为，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，所以， 解得， 又因为， 即， 所以，故的周长为. 16. 已知数列、前n项和分别为、，，，为等比数列且，. （1）求、； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先由的递推关系式可构造一个等差数列，进而可得，再根据与的关系可得，对于求可用等比数列的前n项和性质解得，也可根据前n项和公式解得； （2）直接裂项求和可得，即可按裂项，也可按裂项可得. 【小问1详解】 由得，即， 又，是以为首项，2为公差的等差数列， ，， 时，， 时，，符合上式， 综上， 求方法一： 设公比为，由，得， ，.. 求方法二： 若，则.， ，. 【小问2详解】 由（1）知，， （拆项方法二）：， 17. 已知两个非零向量，的夹角为，定义与的外积分记为，其结果是一个向量，它的长度规定为，它的方向规定为与，均垂直；如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为上一点，. （1）求的值； （2）若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若为上一点，，求. 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用外积分的长度规定结合求的值； （2）求出平面的法向量，向量法求直线与平面所成角的正弦值； （3）设，，由与均垂直，求出的值，得到，再由，求的值. 【小问1详解】 在四棱锥中，底面为矩形，底面， 以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，，得， ，， ， ， ， 化简得， 即，又，解得. 【小问2详解】 若为线段的中点，有， ，设平面的一个法向量为， ，令，则，即， 又，设直线与平面所成角为， 则. 【小问3详解】 为上一点，设，， 则，设，， ，又，， 则有，解得， 所以，， 又，则. 18. 已知椭圆的焦距为2，且离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知，直线过点（直线不与轴重合），交椭圆于，两点．直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点，连接交轴于． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求点到直线距离的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）（ⅰ）设与椭圆方程联立，设，，联立直线和椭圆的方程，得出坐标，再利用斜率公式以及韦达定理化简； （ⅱ）根据，，三点共线，得出坐标关系化简求出即可求出. 【小问1详解】 由题意易知：，，，故，， 因此椭圆； 【小问2详解】 （ⅰ）若直线斜率不存，则由对称性可知，此时直线斜率均不存在， 故设，设，， 由，可得， 所以，， 记，则直线， 由，可得， 所以， 故， 代入直线，可得， 同理：， 因此 ， 故有； （ⅱ）设，则，． 由于，，三点共线， 故， 进而， 化简可得：，因此，即， 则， 当A，C重合时，，或（舍去）， 不妨取，此时，即， 此时到AB的距离为； 同理，当B，D重合时，到AB的距离也为； 故点到直线距离的取值范围为. 19. 甲，乙两队进行乒乓球双打比赛，规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜.已知每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立. （1）当时. （i）求在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率； （ii）记比赛结束时的场数为，求的分布列和数学期望； （2）若比赛结果为或者时胜方的成长值记3分，负方记0分，比赛结果为时胜方的成长值记2分，负方记1分，求甲队本次比赛的成长值得分的期望，并求的取值范围. 【答案】（1）（i）；（ii）分布列见解析 （2）；取值范围是 【解析】 【分析】（1）（i）分别计算甲队获胜的概率和甲队获胜且比赛恰好4场的概率，然后利用条件概率求解； （ii）先确定的取值，并计算相应的概率，列出分布列，根据期望计算公式计算； （2）先确定甲队成长值的得分的可能取值，并计算概率，根据期望计算公式计算.得出期望关于的关系式后，通过导数判断在上的单调性确定其范围. 【小问1详解】 当时 （i）设事件表示“比赛恰好进行4场”，事件表示“甲队获胜”. 甲队获胜包含三种情况： 比赛3场甲队获胜，其概率为. 比赛4场甲队获胜，即前3场甲队胜2场，第4场甲队胜，概率为. 比赛5场甲队获胜，即前4场甲队胜2场，第5场甲队胜，概率为. ∴甲队获胜的概率为. 甲队获胜且比赛恰好进行4场概率为. ∴在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了4场的概率为. （ii）的可能取值为3，4，5. ； ； . ∴分布列为 3 4 5 . 【小问2详解】 甲队本次比赛的成长值得分的可能取值为3，2，1，0. ； ； ； . ∴ . 令， ， ∵，∴， 再令， ，判别式， 的两根为，， 由可得或，由可得， ∴在上单调递减，则，而， ∴时，，∴， 因此函数在上单调递增， 当时，，当趋近于1时，. ∴，故的取值范围是. 【点睛】本题考查了独立重复试验的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列，考查了离 散型随机变量的数学期望及与导数综合问题，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $