精品解析：河南洛阳市第三高级中学2026届高三下学期适应性模拟测试卷数学试题（二）

2026届高三适应性模拟测试卷 数学（二） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选抒题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可求解. 【详解】解不等式得，所以 所以． 故选：C. 2. 已知复数满足：，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，可得，进而结合题设可求得，再根据复数的除法法则计算即可. 【详解】设，则， 由，得， 即，所以， 则. 故选：B 3. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【详解】对于A：若，，则的法向量都与平行，即的法向量平行，所以，故正确； 对于B：若，，则或者与相交，故错误； 对于C：若，，则，或者与相交，或者与异面，故错误； 对于D：若且，则，或者，或者与相交，故错误. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】先结合题意得到，再对给定式子平方并利用两角和的正弦公式得到，最后结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】因为，所以，， 因为，所以， 则，由诱导公式得， 由正弦函数性质得在上单调递增， 得到，即，可得，则， 因为，所以， 因为，所以， 则，， 相加可得， 则，即， 解得，由同角三角函数的基本关系可得. 5. 设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求得，再利用椭圆、双曲线离心率的意义列式求出范围. 【详解】双曲线的渐近线方程为，由双曲线的渐近线的斜率小于，得， 因此，由，得， 则，即，则 所以的取值范围是. 故选：D 6. 某校食堂新供应了四种不同的午餐套餐，小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐中选择一种就餐，且在这五天里将这四种套餐都尝一遍，则不同的方案共有（ ） A. 120种 B. 144种 C. 240种 D. 288种 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，小王同学有两天吃同一种套餐，先从5天中选出两天吃同一种套餐，将这两天视为一个整体，然后将4种不同的套餐安排在这两天和另外3天中，即可求解. 【详解】由题意可得，小王同学有两天吃同一种套餐，先从5天中选出两天吃同一种套餐， 然后将4种不同的套餐安排在这两天和另外3天中，则不同的方案共有种. 故选：C. 7. 若函数是上的奇函数，若，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，令，可得， 令，可得， 而，函数是上的奇函数，则， 得到，解得，故. 8. 已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出函数的图象，利用换元法、数形结合思想、分类讨论进行求解即可. 【详解】由恰有5个零点， 则关于的方程恰有5个相异实根， 令，问题转化为满足的恰有5个不同的解. 作出函数的图象，如图所示， 由图易得：当时，关于的方程仅有一个实根，且， 此时仅有1个实根，不合题意； 当时，仅有两个相异实根， 而各仅有1个实根，不合题意； 当时，仅有3个实根， 且各仅有1个实根， 且两实根均小于，则有三个实根，必有， 所以. 又，所以，此时的5个实根互不相等， 即恰有5个零点； 当时，仅有2个相异实根，且， 此时仅有1个实根，有2个实根，不合题意. 所以实数的取值范围为. 故选：C 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. C. D. 数列的前项和 【答案】BCD 【解析】 【分析】由数列前项和与数列的关系求得通项公式，即可判断ABC选项，从而得到数列的通项公式，通过等比数列前项和求得. 【详解】当时，，A选项错误； 当时，， 验证，当时，，∴，C选项正确； ∴，B选项正确； ∴， ∴，D选项正确 故选：BCD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 在中，为的中点，则 B. 在中，若，则是等腰三角形 C. 已知，若与的夹角是钝角，则 D. 在边长为6的正方形中，点在边上，且，点是中点，则 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，因为在中，为的中点， 则， 所以A错误； 对于B，因为是非零向量，所以所在的直线平分， 因为，所以， 所以是等腰三角形，故B正确； 对于C，因为与的夹角是钝角，所以，且与不共线， 由得，所以， 又与不共线，所以，所以， 所以当与的夹角是钝角，且，故C错误； 对于D，如图，以为原点建立平面直角坐标系， 则， 所以， 所以，故D正确. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，，分别为线段，上的动点（包括端点），点在底面内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ） A. 存在唯一的，，使得 B. 存在唯一的，，使得 C. 若为线段的中点，且平面，则动点的轨迹的长度为 D. 若为线段的中点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面垂直性质可知，当时与重合，判断A，由线面平行性质可知，不存在，，使得，判断B；易知中的中位线即为动点的轨迹，其长度为，判断C，利用对称性以及三点共线，判断D. 【详解】对于A选项，当时，因为平面， 所以在平面内或与平面平行， 故当且仅当与重合，且与重合时，，A选项正确； 对于B选项，过在平面内作的平行线，与底面内（包括边界）没有公共点， 故不存在，，使得，B选项不正确； 对于C选项，当为线段的中点时，过作与平面平行的截面， 与底面的交线为中的中位线，即为动点的轨迹，其长度为，C选项正确； 对于D选项，设关于平面的对称点为， 则，D选项正确． 故选：ACD 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设公差不为零的等差数列的前n项和为，且，则_____. 【答案】14 【解析】 【分析】法一：利用等差数列的通项公式和前项和公式计算；法二：利用等差数列的性质计算. 【详解】由题知，，解得. 另解：因为，又，所以， 即，由等差数列性质知，得. 故答案为： 13. 已知函数存在对称中心，求的最小值________ 【答案】 【解析】 【分析】设函数存在对称中心，由列式可得，，进而结合二次函数的性质求解即可. 【详解】设函数存在对称中心， 由， 则， 即， 即 则， 解得，， 则， 所以时，取得最小值. 故答案为：. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为焦点的抛物线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率______. 【答案】3 【解析】 【分析】先求出抛物线方程为，设点的坐标为，求出，及，在中，，即可求解． 【详解】如图所示： 抛物线的焦点为，准线为， 则，得，得抛物线方程为， 设抛物线与双曲线在第一象限交于点的坐标为， 过点作准线，交准线于点，则， 由，得，得， 再由及，解得， 由，得， 在中，， 整理得，得， 即，得. 故答案为：3 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 如图，四棱锥中，底面. （1）证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为为中点.求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：在四棱锥中，由平面 平面，得 ， 由，得，则， 而平面，所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （2）设，建立空间直角坐标系，求出平面 和平面的方向量，结合二面角的向量求法求出，再根据线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，可设，则， 过点作，由平面，得平面， 则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 于是 设平面的法向量， 则 取，得， 又，设平面 的法向量， 则 取，得， 所以，解得. 则， 易知，则， 于是， 所以， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为. 16. 已知函数. （1）讨论函数单调性； （2）当时，函数有两个不同的零点，求证：. 【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）证明如下： 由（1）知，当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 由题知，， 不妨设，则， 设，， 则. 当时，，. 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 故，即， 所以，所以单调递减，， 所以，即. 因为，所以，又，， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）求出的定义域，根据导数与单调性的关系求解即可. （2）根据题意及函数的单调性得到，通过构造函数，求导，结合单调性证明即可. 【小问1详解】 函数，定义域为，则， 当时，，函数在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 17. 为倡导节能环保，实现废旧资源再利用，小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换，其中小明家有1台玩具车和2个不同的玩偶，小亮家也有与小明家不同的1台玩具车和2个不同的玩偶，他们每次等可能的各取一件玩具进行交换． （1）两人进行一次交换后，设小明手中玩具车的台数为，求的分布列及数学期望； （2）两人进行次交换后，记小明手中恰有1个玩具车的概率为． ①求； ②求． 【答案】（1） X 0 1 2 P ． （2）①；②； 【解析】 【分析】（1）首先分析得X的可能取值为0，1，2，再列出其分布列，计算其数学期望即可； （2）①：分两次都交换玩具车、两次都交换玩偶以及一次交换玩具车，一次交换玩偶讨论即可； ②：记小明手中恰有0个玩具车的概率为，利用全概率公式得，再构造等比数列即可得到其表达式. 【小问1详解】 由题意知X的可能取值为0，1，2 ， ， X 0 1 2 P 所以． 【小问2详解】 ①若两次都交换玩具车，则概率为， 若两次都交换玩偶，则概率为， 若一次交换玩具车，一次交换玩偶， 情况1：每次互换的玩具相同，则概率为， 情况2：每次互换的玩具不同，则概率为， 则. ②重复n复这样的操作后，记小明手中恰有0个玩具车的概率为， 则小明手中恰有2个玩具车的概率为， 根据全概率公式可得，当时，， ∴， 由（1）是，∴， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，故， 所以，即 ． 18. 已知椭圆经过点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）斜率为的直线与椭圆交于两点，若线段的中点为，求的取值范围； （3）设椭圆的左､右焦点分别为，过作直线交椭圆于两点，点满足，直线与交于点，设与的面积分别为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆过已知点、离心率公式、三个条件，联立方程组求解，得到椭圆标准方程； （2）用点差法，结合中点坐标公式与斜率公式，得到与的关系；再由中点在椭圆内求范围，进而得到的取值范围； （3）先由向量关系求坐标，联立直线方程求点，得；再设直线方程，联立椭圆用韦达定理求，最后求的取值范围. 【小问1详解】 因为椭圆经过点， 所以，① 又离心率为，则，② 且，③ 联立①②③解得：， 所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 如图所示： 设，由在椭圆上， 则，两式相减得：， 即，① 因为线段的中点为， 所以，② 又直线的斜率为：，③ 将②③代入①化简得：， 因为点在椭圆内，所以即， 又，所以， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 如图所示： 由题知，设， 由，可得， 即， 因，则直线的方程为， 因，则直线的方程为， 联立，即， 所以， 设直线，， 联立，消去整理得：， 由， 则， 所以， 所以， 所以， 因为为方程的解，所以， （i）当时，， 所以， 因为，所以，所以， 当时，， 令， 所以， 由，则； 当时， 令， 所以， 由，则. 故； （ii）当时，， 所以， 因为，所以， 所以， 当时，， 令， 所以， 由，则； 当时， 令， 所以， 由，则， 所以； 综上所述：. 【点睛】方法点睛：椭圆的中点弦问题用点差法；直线与椭圆相交问题应用韦达定理；面积比问题先分别求面积再化简转化. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三适应性模拟测试卷 数学（二） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选抒题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知复数满足：，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 或 5. 设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 某校食堂新供应了四种不同的午餐套餐，小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐中选择一种就餐，且在这五天里将这四种套餐都尝一遍，则不同的方案共有（ ） A. 120种 B. 144种 C. 240种 D. 288种 7. 若函数是上的奇函数，若，则（ ） A. B. C. D. 0 8. 已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. C. D. 数列的前项和 10. 下列说法正确的是（ ） A. 在中，为的中点，则 B. 在中，若，则是等腰三角形 C. 已知，若与的夹角是钝角，则 D. 在边长为6的正方形中，点在边上，且，点是中点，则 11. 如图，在棱长为1的正方体中，，分别为线段，上的动点（包括端点），点在底面内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ） A. 存在唯一的，，使得 B. 存在唯一的，，使得 C. 若为线段的中点，且平面，则动点的轨迹的长度为 D. 若为线段的中点，则的最小值为 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设公差不为零的等差数列的前n项和为，且，则_____. 13. 已知函数存在对称中心，求的最小值________ 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为焦点的抛物线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率______. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 如图，四棱锥中，底面. （1）证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为为中点.求直线与平面所成角的正弦值. 16. 已知函数. （1）讨论函数单调性； （2）当时，函数有两个不同的零点，求证：. 17. 为倡导节能环保，实现废旧资源再利用，小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换，其中小明家有1台玩具车和2个不同的玩偶，小亮家也有与小明家不同的1台玩具车和2个不同的玩偶，他们每次等可能的各取一件玩具进行交换． （1）两人进行一次交换后，设小明手中玩具车的台数为，求的分布列及数学期望； （2）两人进行次交换后，记小明手中恰有1个玩具车的概率为． ①求； ②求． 18. 已知椭圆经过点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）斜率为的直线与椭圆交于两点，若线段的中点为，求的取值范围； （3）设椭圆的左､右焦点分别为，过作直线交椭圆于两点，点满足，直线与交于点，设与的面积分别为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $