奇偶性与对称性及应用考向剖析讲义-2026届高三数学二轮复习

奇偶性与对称性及应用考向剖析 基本原理 1. 函数奇偶性定义 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数 的定义域内任意一个 ,都有 ,那么函数 就叫做偶函数 关于 轴对称 奇函数 如果对于函数 的定义域内任意一个 ,都有 ,那么函数 就叫做奇函数 关于原点对称 2. 函数奇偶性常用结论 (1) 函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2) 奇偶函数的图象特征. 函数 是偶函数 函数 的图象关于 轴对称; 函数 是奇函数 函数 的图象关于原点中心对称. (3) 若奇函数 在 处有意义,则有 ; 偶函数 必满足 . (4) 偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反; 奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. (5) 若函数 的定义域关于原点对称，则函数 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式. 记 ,则 . (6) 运算函数的奇偶性规律:运算函数是指两个(或多个) 函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如 对于运算函数有如下结论: 奇士奇=奇; 偶土偶 =偶; 奇士偶＝非奇非偶; 奇 奇 偶; 奇 偶 奇; 偶 偶 偶. (7) 复合函数 的奇偶性规律:内偶则偶，两奇为奇. (8) 常见奇偶性函数模型 奇函数: ① 函数 或函数 2 函数 ； 3 函数 或函数 4 函数 或函数 . 注意: 关于①式,可以写成函数 或函数 . 偶函数: ① 函数 ; 5 函数 ; 6 函数 类型的一切函数； 7 常数函数. (9) 已知 奇函数 ,则 1 ； 2 . 3. 函数对称性定义及应用 (1) 中心对称结论: 1 若函数 满足 ,则 的一个对称中心为 ; 2 若函数 满足 ,则 的一个对称中心为 ; 3 若函数 满足 ,则 的一个对称中心为 . (2) 轴对称性的常用结论如下: 1 若函数 满足 ，则 的一条对称轴为 ; 2 若函数 满足 ，则 的一条对称轴为 ； 3 若函数 满足 ，则 的一条对称轴为 ; 4 的图象关于直线 对称. (3) 函数的对称性与周期性的关系 1 若函数 有两条对称轴 ，则函数 是周期函数，且 ； 2 若函数 的图象有两个对称中心 ,则函数 是周期函数,且 ; 3 若函数 有一条对称轴 和一个对称中心 ,则函数 是周期函数,且 . (4) 函数奇偶性与对称性与函数单调性之间关系 1 在 上是奇函数，且 单调递增 若解不等式 ,则有 ; 在 上是奇函数,且 单调递减 若解不等式 ,则有 ; 2 在 上是偶函数，且 在 单调递增 若解不等式 ,则有 (不变号加绝对值); 在 上是偶函数,且 在 单调递减 若 解不等式 ,则有 (变号加绝对值); 3 关于 对称，且 单调递增 若解不等式 ,则有 ; 关于 对称,且 单调递减 若解不等式 ,则有 ; 4 关于 对称，且 在 单调递增 若解不等式 ,则有 (不变号加绝对值); 关于 对称,且 在 单调递减 若解不等式 ,则有 (不变号加绝对值). 下面我们通过具体的例子来分析. 典例分析 9 方向 1 : 函数奇偶性定义及常用结论 例 1 (2025 ・天津卷) 已知函数 的图象如下,则 的解析式可能为 ( ) A. B. B. D. 【答案】D 【解析】由图可知函数为偶函数,而函数 和函数 为奇函数,故排除选项 ; 又当 时 ,此时 , ,由图可知当 时, ,故 不符合, 符合. 故选 . 【点评】先由函数奇偶性排除 ,再由 时函数值正负情况可得解. 这类试题通常结合函数奇偶性对称性以及代点检验选出, 有时候还要结合函数单调性和函数极限得出. 例 2 (2023 新课标 II 卷) 若 为偶函数,则 ( ) A. -1 B. 0 C. D. 1 【答案】 B 【解析】因为 为偶函数,则 ,解得 ,当 时, ,解得 或 , 则其定义域为 ,关于原点对称. ,故此时 为偶函数. 故选 B. 【点评】根据偶函数性质,利用特殊值法求出 值,如果是解答题用特殊法得到的结果需要通过定义检验即可. 例 3 (多选题) (2025 - 高一上学期浙江杭州期末试题) 已知 是定义在 上的奇函数, 是定义在 上的偶函数,且 在 上单调递增,则( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】由 是定义在 上的奇函数,且在 上单调递增,则 在 上单调递增, ,故 在 上单调递增,所以 ,则 , A 对; 由 是定义在 上的偶函数,且在 上单调递增,则 在 上单调递减,则 ,综上, 错, 对; 若 时, 大小不定, 错. 故选 AC. 【点评】利用函数的奇偶性判断 的区间单调性及函数值的大小,结合单调性比较函数值的大小关系. 例 4 (2025 · 高二下学期上海期末) 已知连续型随机变量 服从正态分布 ,记函数 ,则 的图象 ( ) A. 关于直线 对称 B. 关于点 成中心对称 C. 关于点 成中心对称 D. 关于点 成中心对称 【答案】B 【解析】由连续型随机变量 服从正态分布 ,可得 ,所以正态密度曲线关于直线 对称, 即 . 因为 ,所以 随 增大而增大, 的图象无对称轴,故 A 错误. 因为 ,所以 的图象关于点 成中心对称，故 正确， 、 错误. 故选 B. 【点评】本题考查函数的对称性、正态曲线的性质, 根据正态分布的特征可知 随 增大而增大,故 错误; 由 可得 ,故 正确，C、D 错误. 10 方向 2:函数对称性的定义及应用 例 5 (2025 ・高一上山东济南期中试题) 已知函数 的图象关于(1，2)对称，且 ，则 _____. 【答案】 1 【解析】解法一: 如图, 点 关于点 对称, 则 ,解得 ,即 . 解法二: 因为函数 的图象关于 对称, 所以 , 令 ,得 , 由 ,解得 . 解法三: 由 知 的图象过点 , 又函数 的图象关于 对称, 则 ,解得 ; 由 ,解得 , 所以 . 【点评】求函数对称性的应用,利用图象法或函数的对称性或由 计算即可求解. 例 6 (2021 ・上海卷) 已知函数 的定义域为 ,下列是 无最大值的充分条件是 ( ) A. 为偶函数且关于直线 对称 B. 为偶函数且关于点 对称 C. 为奇函数且关于直线 对称 D. 为奇函数且关于点 对称 【答案】D 【解析】因为 为偶函数,故 ,而 的图象关于直线 对称,故 ,故 ,故 为周期函数且周期为 2,而 在 必有最大值,故 必有最大值,故 错误. 而 的图象关于点 对称,故 ,故 ,故 ,故 ,故 为周期函数且周期为 4,而 在 , 4] 必有最大值,故 必有最大值,故 错误. 因为 为奇函数,故 ,而 的图象关于直线 对称,故 ,故 ,所以 故 为周期函数且周期为 4,而 在 必有最大值,故 必有最大值,故 错误. 因为 为奇函数,故 ,而 的图象关于点 对称,故 ,故 ,设 , 则 ,故 无最大值. 故选 D. 【点评】本题考察判断函数对称性的应用, 根据对称性可判断函数的周期, 故可判断 ABC 的正误, 根据对称性可得 ,据此可判断 的正误. 例 7 (多选题) (2022・新高考全国Ⅰ卷) 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ,记 ,若 均为偶函数,则 ( ) A. B. B. D. 【答案】BC 【解析】解法一: 对称性和周期性的关系研究 对于 ,因为 为偶函数,所以 即 ①,所以 ,所以 关于 对称,则 , 故 C 正确; 对于 ,因为 为偶函数, ,所以 关于 对称,由 ① 求导，和 ，得 ,所以 ,所以 关于 对称,因为其定义域为 ,所以 ,结合 关于 对称,从而周期 ,所以 ,故 B 正确，D 错误；若函数 满足题设条件，则函数 也满足题设条件,所以无法确定 的函数值，故 A 错误. 故选 BC. 解法二: [最优解]特殊值, 构造函数法. 由解法一知 周期为 2，关于 对称，故可设 ,则 ,显然 错误. 故选 BC. 解法三: 因为 均为偶函数,所以 即 ,所以 ,则 ,故 正确; 函数 的图象分别关于直线 对称,又 ,且函数 可导, 所以 ,所以 ,所以 ,所以 ,故 B 正确，D 错误；若函数 满足题设条件，则函数 也满足题设条件,所以无法确定 的函数值，故 A 错误. 故选 BC. 【点评】本题考查抽象函数的奇偶性、函数对称性的应用、函数与导函数图象之间的关系，可通过转化题设条件为函数的对称性,结合原函数与导函数图象的关系, 根据函数的性质逐项判断即可得解. ◆方向 3: 函数奇偶性、对称性的综合应用 例 8 (2025 · 高二下学期辽宁大连期末) 已知奇函数 的定义域为 ,且函数 图象关于 对称. 当 时, ,则 ( ) A. B. C. 1 D. -1 【答案】 A 【解析】函数 图象关于 对称,故 ,又 为奇函数,故 ,所以 ,所以 ,故 是一个周期为 8 的周期函数,故 时, ,故 , 所以 . 故选 A. 【点评】本题考查函数奇偶性的应用、函数对称性的应用. 根据函数对称性和奇偶性得到 是一个周期为 8 的周期函数,故 ,代入求值即可. 例 9 (2025·高二下学期重庆期末)已知定义在 上的函数 的图象经过坐标原点, , ,且函数 为偶函数,则 _____. 【答案】-4899 【解析】由 ,得 , 则 两式相加得 又 ,所以 故 图象关于点 中心对称,且 定义在 上, . 由 为偶函数,知 图象关于直线 对称, 故 是以 4 为一个周期的函数. 因为 的图象经过原点, ,则 由 为偶函数得 ,令 , 得 因 ,令 ,可得 则 , 则 【点评】首先说明 是以 4 为一个周期的函数,然后计算得 即可求解. 例 10 (多选题) 高一上学期浙江杭州期中) 已知函数 恒成立,则 的取值可以为 ( ) A. -1 B. 2 C. 5 D. 8 【答案】BC 【解析】 的定义域为 ,因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,即 ,所以 恒成立, 即 恒成立,解得 . 故选 BC. 【点评】先观察函数对称性,先求出 和 ,得到 ,将不等式恒成立问题转化为求解一元二次不等式即可. 本题的关键点是利用函数解析式,得到 在定义域内恒成立. 学科网（北京）股份有限公司 $