第9章 因式分解 单元复习（5大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年苏科版八年级数学下学期培优讲义

第9章 因式分解 知识点1：因式分解的概念 1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做多项式的因式分解（也叫分解因式）。 2.核心特征： 针对对象：仅多项式（单项式无需分解）； 结果形式：必须是整式的积，相同因式需写成幂的形式； 分解要求：需分解到每一个因式不能再分解为止； 与整式乘法的关系：互为逆变形（非逆运算），前者是恒等变形，后者是运算。 知识点2：提公因式法 1.公因式定义：多项式各项都含有的公共因式。 2.公因式确定方法（五看）： 看系数：提取各项系数的最大公因数； 看字母：取各项相同的字母； 看指数：取相同字母的最低指数； 看整体：相同的多项式整体视为公因式； 看符号：首项为负时，公因式符号取负。 3.分解步骤： 第一步：确定公因式（系数→字母→指数→符号）； 第二步：提取公因式，确定另一个因式； 第三步：写成两个因式的积的形式。 4.注意事项： 公因式提取要彻底，剩余因式无公因式； 提取后括号内项数与原多项式一致。 知识点3：公式法 公式类型 表达式 结构特征 平方差公式 左边：二项式，两项均为平方形式，符号相反； 右边：两个数的和与差的积 完全平方公式 左边：三项式，首末两项为平方形式且符号相同，中间项为两数积的2倍； 右边：两数和（或差）的平方 知识点4：因式分解的一般步骤与拓展方法 1.基本步骤：一提（先提公因式）→二套（再套公式）→三检查（是否分解彻底）。 2.拓展方法： 分组分解法：将多项式分组后，各组提公因式或用公式，再整体提公因式； 十字相乘法：对于型二次三项式，分解为； 换元法：将多项式中重复出现的整体设为新字母，简化后分解； 配方法：通过添减项构造完全平方式，再用平方差公式分解。 【基础必考题型】 【题型1】因式分解的概念辨析 1.核心知识点: 因式分解的定义； 因式分解与整式乘法的区别。 2.解题方法技巧: 定义判断法：紧扣“多项式→整式积”的变形特征，排除“和差形式”“单项式拆分”等情况； 逆运算验证：若变形后能通过整式乘法还原原多项式，则为因式分解； 易错点规避：注意单项式不存在因式分解，含分式的变形不是因式分解。 【例题1】.（25-26八年级上·贵州遵义·期末）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D．前三个都是 【答案】B 【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断即可． 【详解】解：、该变形是整式的乘法，是因式分解的逆运算，不属于分解因式，故本选项不符合题意； 、，是因式分解，故本选项符合题意； 、等式右边不是整式积的形式，不属于分解因式，故本选项不符合题意； 、本选项不符合题意． 【变式题1-1】.（24-25七年级下·山东聊城·月考）下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因式分解是把一个多项式变形为几个整式乘积的形式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A．右边不是几个整式乘积的形式，不属于因式分解，故该选项不符合题意， B．左边是单项式，不是多项式，不属于因式分解，故该选项不符合题意， C．左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，故该选项符合题意， D．右边的不是整式，因此右边不是几个整式乘积的形式，不属于因式分解，故该选项不符合题意． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·四川泸州·期末）下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义判断，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的变形，需满足结果为整式乘积、所有因式都是整式两个条件． 【详解】解：选项A的变形是整式乘法，结果是和的形式，不符合因式分解定义． 选项C的变形结果是和的形式，不是几个整式的积，不符合定义． 选项D的变形中，是分式，不是整式，不符合定义． 选项B中，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义． 【变式题1-3】.（2026九年级下·重庆·专题练习）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．该选项右边不是整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； B．该选项右边没有化为几个整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； C．该选项左边是整式积的形式，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意； D．该选项将多项式化为两个整式的积，且变形正确，符合因式分解的定义，属于因式分解，符合题意． 【题型2】公因式的确定与提公因式法分解 1.核心知识点: 公因式的确定方法； 提公因式法的分解步骤。 2.解题方法技巧: 分步确定公因式：先找系数最大公因数，再找相同字母及最低指数，最后考虑符号； 整体处理技巧：将与转化为相同整体（如）； 检验方法：提取公因式后，用单项式乘多项式验证结果是否与原多项式一致。 【例题2】.（25-26八年级上·湖南湘潭·期末）与的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式最大公因式的求解，需分别确定系数的最大公约数和相同字母的最低次幂，再将它们相乘得到最大公因式. 【详解】解：根据最大公因式的确定方法：①系数取最大公因数，②字母取公共的字母，③相同字母指数取最小的， ∴与的最大公因式是． 故选：C． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）写出下列多项式各项的公因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】找多项式各项的公因式，需分别确定系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次幂，再将二者相乘即可． 【详解】（1）解：对于多项式，系数3、、6的最大公约数是3，各项都含有的相同字母为，且的最低次幂是1， ∴各项的公因式为． （2）解：对于多项式，系数4、的最大公约数是2，各项都含有的相同字母为、，的最低次幂是1，的最低次幂是2， ∴各项的公因式为． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·江苏常州·月考）分解因式：________ 【答案】 【分析】确定原式公因式为. 运用提公因式法进行因式分解即可. 【详解】解：. 【变式题2-3】.（25-26八年级下·山东济南·月考）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接提取公因式即可； （2）把变形为，再提取公因式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型3】平方差公式的直接应用 1.核心知识点: 平方差公式的结构特征； 公式的逆用技巧。 2.解题方法技巧: 结构识别：判断多项式是否为“平方-平方”形式，可先整理符号（如）； 整体代换：将多项式中的整体视为公式中的或（如中，为整体）； 分解彻底：分解后检查各因式是否还能继续分解（如需分解为）。 【例题3】.（25-26八年级上·重庆綦江·期末）下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．根据平方差公式分析判断即可． 【详解】解：A、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； B、，能用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意； C、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； D、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式题3-1】.（2026·江苏苏州·模拟预测）因式分解：_____． 【答案】 【分析】直接套用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 【变式题3-2】.（25-26九年级下·福建·月考）因式分解：_______． 【答案】 【分析】利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·湖北武汉·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，掌握基本的因式分解方法是关键； （1）提取公因式即可； （2）利用平方差公式公式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【题型4】完全平方公式的直接应用 1.核心知识点: 完全平方公式的结构特征； 中间项符号与结果形式的关系。 2.解题方法技巧: 三项式识别：首末两项是否为平方数，中间项是否为两平方数底数积的2倍； 符号判断：中间项为正，结果为“和的平方”；中间项为负，结果为“差的平方”； 系数整理：若首项系数不为1，先提取系数化为1后再用公式（如）。 【例题4】.（25-26八年级上·河南周口·期末）下列多项式，①，②，③，④能用公式法分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查公式法分解因式． 逐个分析每个多项式是否满足公式条件即可． 【详解】解：①为平方和，无公式可分解； ②，可用平方差公式； ③不符合完全平方或平方差公式结构，无法用公式法分解； ④，可用完全平方公式； 能用公式法分解的有②和④，共2个． 故选：B． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·江苏常州·月考）因式分解：________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·天津·开学考试）因式分解： 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·天津·开学考试）因式分解： 【答案】 【分析】将看作一个整体，利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ． 【题型5】提公因式法与公式法的简单综合 1.核心知识点: 因式分解的基本步骤； 提公因式后对剩余部分套用公式。 2.解题方法技巧: 优先提公因式：无论是否能直接用公式，先提取各项公因式，简化多项式； 分步分解：提取公因式后，观察剩余部分的结构，选择合适公式继续分解； 结果检验：确保每一步分解都符合法则，无漏项或错符号。 【例题5】.（2026·陕西宝鸡·一模）分解因式：______． 【答案】 【分析】先提取公因式3，再利用完全平方公式对剩余多项式进行因式分解． 【详解】解： ． 【变式题5-1】.（2026·山东日照·一模）分解因式：________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解因式． 【详解】解：原式 ． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·江苏常州·月考）因式分解： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提取公因式即可分解因式； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·江苏无锡·月考）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． （3）原式 ． 【培优高频题型】 【题型6】分组分解法分解因式 1.核心知识点: 分组分解法的思路； 分组后提公因式或用公式的技巧。 2.解题方法技巧: 分组原则：分组后能使各组产生公因式，或一组能用公式、另一组能提公因式； 常见分组方式：二二分组（如）、一三分组（如）； 整体提取：分组分解后，观察两组结果的公因式，再次提取完成分解。 【例题6】.（2026·湖南·模拟预测）因式分解：___________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．运用分组分解法，先将多项式合理分组，再依次利用提取公因式法、平方差公式进行因式分解，直至分解为几个整式的积的形式． 【详解】解： 故答案为：． 【变式题6-1】.（24-25八年级下·山东青岛·月考）阅读理解 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： ． 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形或直角三角形，理由见解析． 【分析】（1）利用分组分解法进行求解即可； （2）利用分组分解法将等式左边的多项式进行因式分解后，进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：为等腰三角形或直角三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ∵、、是的三边长， ∴， ∴或， ∴为等腰三角形或直角三角形． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：分解因式： 解：原式 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）上述材料中例2括号中应填入________； （2）运用拆项添项法分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键． （1）根据例2的解析过程，通过拆项后提取公因式，括号内应填入二次多项式； （2）运用拆项添项法，将多项式拆成可分组分解的形式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】（1）例2中，原式， ， 故括号中应填入 ； 故答案为：； （2）解：原式 ， 故答案为： ． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·广东湛江·期末）阅读材料：在多项式因式分解中，存在一些无法直接用提公因式法或公式分解法分解的多项式．分组因式分解法是指将这类多项式重新分组后，再通过提公因式法或公式法继续分解的方法例如： ． 利用上述分解因式的方法，解决问题． (1)因式分解：； (2)若a，b，c是的三边，求证：； (3)求方程的整数解． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或． 【分析】本题考查整式的运算，掌握因式分解、平方差公式以及多项式乘以多项式是解题的关键，． （1）根据分解因式的方法-分组分解法分解因式即可； （2）不等式左边分解因式后，根据两边之和大于第三边验证即可； （3）先进行因式分解，然后解方程组即可得到结论． 【详解】（1）解： （2）证明： ， ∵，， ∴，， ∴， 则； （3）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∵x，y为整数， ∴与也是整数， ∴， ∴或， ∴或． 【题型7】十字相乘法分解二次三项式 1.核心知识点: 十字相乘法的适用条件； 常数项分解与一次项系数的关系。 2.解题方法技巧: 分解常数项：将常数项分解为两个因数，使两因数之和等于一次项系数； 十字验证：用十字交叉线表示因数组合，交叉相乘再求和，验证是否等于一次项系数； 拓展应用：对于二次项系数不为1的多项式，先分解二次项系数，再按上述步骤分解（如）。 【例题7】.（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·月考）因式分解： _________ ． 【答案】 【分析】先提公因式，再利用十字相乘法因式分解． 【详解】解：． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）因式分解时，甲看错了m的值，分解的结果是，乙看错了n的值，分解的结果是．求分解因式的正确结果． 【答案】 【分析】利用多项式乘多项式还原原式，确定的值，然后再因式分解． 【详解】解：甲分解结果，甲看错，故； 乙分解结果，乙看错，故． 则原式为，分解为． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读下列材料，并完成后面的任务． 在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如下图所示． 任务： (1)因式分解：____________． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数的所有可能的值． 【答案】(1) (2)整数的所有可能的值为或 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解的知识点，掌握十字相乘法中 “常数项分解为两数之积，一次项系数为这两数之和” 的规律是解题的关键． （1）利用十字相乘法，找到两个数，它们的和等于一次项系数，积等于常数项，从而分解因式； （2）列出常数项的所有整数因数对，计算每对因数的和，这些和就是的所有可能值． 【详解】（1）解：∵二次三项式中，常数项，一次项系数 ∴ ． （2）解：∵二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式， ，，，， ∴整数的所有可能的值为或或或， 即整数的所有可能的值为或． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·河南开封·期末）【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中位于图的上一行，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1＝，把常数项－6也分解为两个因数的积，即；然后把按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数－1，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：_____； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面式子分解因式： （2） 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：．反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试对下面的式子进行分解因式： ①_____； ②若、均为整数，且、满足，则_____． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②7或3． 【分析】本题考查阅读理解，因式分解，读懂题意，理解材料中因式分解的方法是解题的关键． （1）根据“十字相乘法”进行因式分解即可； （2）先把看成整体，运用“十字相乘法”进行因式分解，再运用完全平方公式和“十字相乘法”进行因式分解． （3）①将式子分为，两组进行因式分解即可； ②将式子化为，根据、均为整数，求解即可． 【详解】解：（1）如图， ． 故答案为：． （2）如图， ，． （3）① ． 故答案为：． ②∵， ∴， ∴， ∵、均为整数， ∴或或或， ∴或或（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）， ∴当时，， 当时，． 综上所述，或3． 故答案为：7或3． 【题型8】因式分解在整除问题中的应用 1.核心知识点: 因式分解的方法； 整除的性质（若能整除，则能整除的因式分解式）。 2.解题方法技巧: 因式分解变形：将待判断的代数式因式分解，转化为几个整式的积； 整除判断：观察分解后的因式是否包含除数（或除数的倍数）； 字母限定：若字母为整数，需结合整数的性质分析因式的取值（如，能被4整除）。 【例题8】.（24-25八年级上·全国·期中）【代数推理】阅读下列材料，并完成相应任务． 我们已经知道，能被3整除的数的特征是这个数的各个数位上数的和是3的倍数．证明如下： 已知：一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，若能被3整除． 求证：这个三位数也能被3整除． 证明：根据题意，得这个三位数为． ． ∵能被3整除，也能被3整除， ∴这个三位数能被3整除． 任务：一个四位数的千位、百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，d，若 能被3整除，求证：这个四位数也能被3整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查因式分解的应用，首先得到个四位数为，仿照题干给定的方法，将表示为的形式，即可得证． 【详解】证明：根据题意，得这个四位数为． ． 因为能被3整除，也能被3整除，所以这个四位数能被3整除． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·河南新乡·月考）【观察】，， ，…… 【猜想】比任意一个正整数大4的数与这个正整数的平方差能被8整除． 【验证】 （1）若这个正整数是5，通过计算说明9和5的平方差能被8整除． （2）若设这个正整数为n，试说明比n大4的数与n的平方差能被8整除． 【延伸】 （3）试说明比任意一个整数大8的数与这个整数的平方差能被16整除． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查因式分解的应用，掌握平方差公式法进行因式分解是解题的关键． （1）根据题意，列式计算即可； （2）根据题意，利用平方差公式法进行因式分解即可； （3）根据题意，利用平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】解：（1），， 和5的平方差能被8整除． （2）， 比n大4的数与n的平方差能被8整除． （3）设这个数为m，比m大8的数为， 则， 比任意一个整数大8的数与这个整数的平方差能被16整除． 【变式题8-2】.（24-25八年级下·福建厦门·月考）数学课上，老师和同学们玩猜数字游戏，小刘按照老师的要求 随意写一个能被9整除的正整数； 将a中的各数位上的数字进行打乱，重新排序，得到数； 计算，得到数； 将c中的各数位上的数字进行打乱，重新排序，得到数； 将d中一个数位上的非零数划去，得到； 将e中的各数位上的数字进行打乱，重新排序，得到数． 小天：老师，我最后得到的数字． 老师：你划去的数字是6． 老师是如何猜到的呢？小天对此非常好奇，经过查阅资料，他发现被9整除的数，其各个数位的数字相加得到的数能够被9整除，证明过程如下： 试证明：一个正整数，若这个数的各个数位的数字相加得到的数能够被9整除，那么原数会被9整除． 证明：设是一个三位数，且能被9整除，则 因为能被9整除，能被9整除， 所以能被9整除 同理可知，一个正整数的各个数位的数字相加得到的数能够被9整除，那么原数会被9整除．请阅读上述材料，回答下列问题： (1)试判断能否被9整除，并说明理由； (2)试证明：这个猜数字游戏中，无论为何值，都会被9整除． (3)若小刘按照猜数字游戏的步骤得到的为3849，则划去的数字是__________． 【答案】(1)能被9整除，理由见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】（1）判断的各数位上的数字之和是否能被9整除，即可； （2）设a中的各数位上的数字之和为，，其中k，为正整数，可得b中的各数位上的数字之和为，可设，其中为正整数，从而得到，即可解答； （3）设划去的数字为x，经过一系列操作后得到的数，其中且为正整数，由（2）得：c能被9整除，可得f的各位数字之和加上划去的数字x也能被9整除，即可求解． 【详解】（1）解：能被9整除，理由如下： ∵， ∴能被9整除； （2）解：设a中的各数位上的数字之和为，，其中k，为正整数， ∵将a中的各数位上的数字进行打乱，重新排序，得到数b， ∴b中的各数位上的数字之和为， ∴b能被9整除， 可设，其中为正整数， ∴， ∴c能被9整除； （3）解：设划去的数字为x，经过一系列操作后得到的数，其中且为正整数，由（2）得：c能被9整除， ∴f的各位数字之和加上划去的数字x也能被9整除， ∵f的各位数字之和为∶， ∴能被9整除， ∵24不能被9整除，且为正整数， ∴， 即划去的数字为3． 故答案为：3 【点睛】此题考查了因式分解的应用，正确掌握因式分解的方法及例题中的解题方法是解题的关键． 【变式题8-3】.（2025·安徽六安·三模）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“相邻两个奇数的平方差是否能被8整除）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下： 能否被8整除 能 能 能 能 能 … … 按上表规律，完成下列问题： （ⅰ）____； （ⅱ）若是正整数，请用含的式子描述你能得出的一般性结论，并证明你的结论； (2)兴趣小组还猜测：相邻两个偶数的平方差不能被8整除．师生一起研讨，分析过程如下： 假设相邻两个偶数的平方差能被8整除．令一个偶数为（为正整数），则相邻的一个偶数可表示为，则（为正整数）．因为_____，所以_____，这与为正整数相矛盾，故相邻两个偶数的平方差不能被8整除． 阅读以上内容，请在横线上填写所缺内容． 【答案】(1)（ⅰ）48；（ⅱ）能被8整除，证明见解析 (2)（或）， 【分析】本题考查了数字类规律探索，因式分解的应用，掌握相关运算法则是解题关键． （1）（ⅰ）根据表中规律作答即可； （ⅱ）根据表中规律即可得出能被8整除；根据平方差公式化简，即可得解； （2）根据题中方法利用平方差公式化简即可求解． 【详解】（1）解：（ⅰ）； （ⅱ）能被8整除； 证明： ， 又是正整数， 能被8整除，结论成立； （2）解： ， ． 故答案为：（或），． 【压轴素养题型】 【题型9】配方法分解因式 1.核心知识点: 完全平方公式的结构； 配方法的添减项技巧。 2.解题方法技巧: 构造完全平方：对于二次三项式，将二次项和一次项化为完全平方形式，添减常数项保持恒等（如）； 套用平方差：构造完全平方后，若剩余部分为平方差形式，用平方差公式继续分解； 注意事项：添减的常数项为一次项系数一半的平方，确保变形恒等。 【例题9】.（24-25七年级下·江苏泰州·期中）【阅读材料】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：（1）求的最小值． 解：， ，， 当时，即当时，有最小值，最小值为1． 再如：求的最大值． 原式， ，， 当时，有最大值，最大值为11． 【问题解决】 (1)当______时，代数式有最小值； (2)用“配方法”求代数式的最大值； (3)已知，则______． (4)如图，王叔叔准备利用一面墙（墙足够长），用总长度52米的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个1米宽的小门，设长为x米，当x为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)5 (3)8 (4)当时，长方形场地的面积有最大值，最大值为243平方米 【分析】本题考查了因式分解的应用，理解题意，应用配方法解决问题是解题的关键． （1）仿照阅读材料的方法，利用配方法即可求解； （2）仿照阅读材料的方法，利用配方法即可求解； （3）利用配方法得到，，结合求出的值，即可求解； （4）设长为x米，用表示出长方形场地的面积，再利用配方法求出面积最大值和对应的值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 当时，即当时，代数式有最小值 故答案为：． （2）解： ， ， ， 当时，有最大值，最大值为5． （3）解：， ， ，， ，， 即，， ， 又， ，， 即，， 解得：，， ． 故答案为：8． （4）解：设长为x米， 由题意得，（米）， 长方形场地的面积 ， ， ， 当时，长方形场地的面积有最大值，最大值为243平方米． 【变式题9-1】.（24-25九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①，∵，∴，∴代数式有最小值； ②，∵，∴，∴代数式有最大值4． 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为 ；代数式的最大值为 ； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)2； (2) (3)18 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，不等式的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式分解因式得到，，再仿照题意求解即可； （2）利用完全平方公式分解因式得到，据此求解即可； （3）根据，可得，设，则，则可得到，据此可得答案． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为2； ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的最大值为； （2）解： ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为； （3）解：∵， ∴ ， 设，则， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为18． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·湖南郴州·期末）教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式：． ； 再如：求代数式的最小值． ， 可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________． (2)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)时，多项式有最小值，最小值为 (3)，时，多项式的最小值为 【分析】（）仿照题例解答即可求解； （）仿照题例解答即可求解； （）仿照题例解答即可求解； 本题考查了配方法的应用，掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， ∵，， ∴当且时，多项式取最小值， 即时，多项式有最小值，最小值； （3）解： ， ，， ∴当且时，多项式取最小值， 即当，时，多项式的最小值为． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·上海浦东新·期末） 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （）【理解探究】 已知代数式，则A的最小值为______； （）【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，求这两块菜地的面积和的差并比较两块菜地的大小，并说明理由； 【答案】 ，理由见解析 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式，非负数的性质，理解题意是解题的关键． ()仿照材料的方法将代数式变形为，再利用非负数的性质即可求出最小值； ()用长方形面积公式分别表示出甲乙两块菜地的面积，再利用作差法比较大小即可得出结论． 【详解】解：（）， ∵， ∴ 当时，， 因此有最小值，最小值为， 即的最小值为， ∴的最小值为； 故答案为：； （）解：甲菜地的面积， 乙菜地的面积， ， ∵， ∴， 即， ∴． 【题型10】因式分解在几何问题中的应用 1.核心知识点: 因式分解的方法； 几何图形的面积、周长公式。 2.解题方法技巧: 几何建模：将几何量（边长、面积）用代数式表示，根据题意建立等式； 因式分解转化：对等式进行因式分解，结合几何量的非负性求解（如已知长方形面积为，则边长为和，即正方形）； 综合应用：结合三角形三边关系、图形拼接等知识，分析因式分解结果的几何意义。 【例题10】.（25-26八年级上·河南驻马店·期中）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式： 解：原式 ②，利用配方法求M的最小值 解： ∵ ∴当时，M有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法分解因式： (2)若，则M有最______值，为______． (3)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为60米的木栅栏围成一个长方形花圃，为了设计一个面积尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为x米，完成下列任务： ①列式：用含x的式子表示花圃的面积：_______平方米； ②请说明当x取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2)大， 2 (3)①②当时，花圃的面积最大，最大面积是450平方米 【分析】本题主要考查了因式分解，完全平方公式的应用， （1）先提出4，再配方得出完全平方公式，然后根据平方差公式分解； （2）先提出，再配方，根据完全平方公式的非负性讨论最大值； （3）根据长方形的面积公式表示，再配方讨论极值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵ ∴ ∴， 所以M有最大值，为2； 故答案为：大，2； （3）解：①（平方米）． 故答案为：； ② ∵ ∴ ∴， ∴当时，花圃的面积最大，最大面积是450平方米． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·山西吕梁·期末）阅读下列材料、并完成相应任务． 代数式大小比较 比较任意两个代数式，大小，可采用“作差法”．若时，则；若时、则；若时，则． 例如：当时，比较与的大小． 解： ， …… 解决问题： 数学课上，李老师出示了图1和图2（内外均为长方形，数据如图所示），并问：哪个图形阴影部分的面积更大？嘉嘉同学认为图1中“回”字形阴影部分的面积更大；琪琪同学认为图2中“门”字形阴影部分的面积更大． 任务： (1)请直接写出：图1中“回”字形阴影部分的面积为________；图2中“门”字形阴影部分的面积为________； (2)若，请根据作差法判断哪位同学的想法正确． 【答案】(1)； (2)嘉嘉同学的想法正确，理由见解析 【分析】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，整式的加减运算，因式分解的应用，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）利用分割法以及多项式乘多项式的法则进行计算即可； （2）利用作差法进行判断即可． 【详解】（1）解：由图1可知， ， ， ， ∴“回”字形阴影部分的面积为； 由图2可知， ， ， ， ∴“门”字形阴影部分的面积为； 故答案为：；； （2）解： ， ， ， ，， ， ， 嘉嘉同学的想法正确． 【变式题10-2】.（24-25八年级下·山东济南·月考）（1）对于一个矩形，可以通过部分、整体两种方法分别计算它的面积，得到一个等式，要求等式从左边到右边，是一个多项式到几个整式的积的变形形式，相当于对左边的多项式进行因式分解，我们把这样的等式叫“因式分解等式”，如图1、是4个小矩形拼接而成的大矩形，根据计算矩形的面积，可以得到的“因式分解等式”为__________；如图2，若，时，根据计算矩形的面积可以得到的“因式分解等式”为__________； （2）类似的，通过不同的方法表示同一个长方体的体积，也可以探求相应的“因式分解等式”、如图3，棱长为的正方体被分割成8块．则有__________； （3）根据（1）和（2）中的结论解答下列问题：若图1与图2中的a与b的值满足，，求的值． 【答案】（1）；； （2）； （3）． 【分析】本题主要考查了因式分解、完全平方公式等内容，熟练掌握相关知识是正确解答此题的关键． (1)根据图形面积即可得解； (2)根据正方体的体积公式以及分割成的图形体积之和即可得解； (3)参考上述结论计算求解即可． 【详解】解：（1）由图形等面积可得；；； 故答案为：；； （2）正方体的体积为， 由图可知正方体被分割成8部分， 其中1个边长为的小正方体， 1个边长为的小正方体， 3个底面边长为，高为的长方体， 3个底面边长为，高为的长方体， ， 故答案为：； （3），，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式题10-3】.（24-25八年级下·四川广元·开学考试）数形结合是一种重要的数学思想．《周髀算经》中记载有“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一”，这表明当时人们已经将几何与代数结合在一起研究，其意义重大、影响深远，例如，对于等式，可由图1进行解释：整个大长方形的长为，宽为a，其面积可用长乘以宽得到，也可用1个小正方形的面积与2个小长方形的面积之和来表示． (1)由图2，你能得到的数学等式为：______； (2)观察图3，解决以下问题：若，，求的值． (3)小灵同学用2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，7张两边分别为的长方形纸片拼出了一个大长方形，请你直接写出该大长方形的长和宽． 【答案】(1) (2)3 (3)长方形的长为，宽为 【分析】（1）根据大长方形的面积等于各部分的面积之和求解即可； （2）先得出，再将，代入计算即可； （3）由题意得，再分解因式即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可得． 故答案为：； （2）解：从总体看，大正方形的边长为，面积为， 从部分看，图形的面积为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：由题意可知：， ∴大长方形的长为，宽为． 【点睛】本题考查的是多项式乘多项式、完全平方公式的应用、因式分解的应用，利用面积法列出等式是解题的关键． 易错点 混淆因式分解与整式乘法，将误认为是因式分解； 提公因式不彻底，遗漏系数的最大公因数或相同字母的最低指数（如分解为，未提取）； 运用平方差公式时，忽略两项符号相反的条件（如错误分解）； 完全平方公式应用时，遗漏中间项的2倍关系（如误分解为）； 分组分解时分组不当，导致各组无法产生公因式（如将分为）。 重点 1.掌握因式分解的基本方法（提公因式法、公式法），能熟练分解基本类型的多项式； 2.理解因式分解的定义和一般步骤，能区分因式分解与整式乘法； 3.掌握分组分解法、十字相乘法、换元法等拓展方法，能分解复杂多项式； 4.运用因式分解解决化简求值、整除判断、几何计算等实际问题。 难点 1.复杂多项式的因式分解，尤其是需要综合多种方法（如先分组再换元，再套公式）的题目； 2.因式分解在几何、规律探究等跨学科问题中的应用，需建立代数与几何、数字规律的联系； 3.含参数多项式的因式分解，需通过分类讨论确定参数的取值； 4.逆向思维的应用，如根据因式分解结果构造原多项式、补充多项式的缺失项等。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方差公式和完全平方公式，对比等式左右两边即可判断． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意． 2．已知，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题运用平方差公式分解因式，再结合已知条件化简，即可求出结果. 【详解】解：， ∴ . 3．已知（_______），则横线上应填的代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将等式右侧的多项式分解因式，然后对比即可解答． 【详解】解： ∵， ∴ 横线上应填的代数式是，即故选D符合题意． 4．小明是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，，，，，，分别对应“曲”，“美”，“最”，“铁”，“我”，“爱”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．最美铁曲 B．我爱最美 C．我爱美曲 D．我爱铁曲 【答案】A 【分析】先对原式因式分解，再根据因式与汉字的对应关系得到密码信息，即可选出正确选项． 【详解】解： ∵ ，，，，分别对应“曲”，“美”，“最”，“铁”， ∴结果呈现的密码信息可能是最美铁曲． 二、填空题 5．分解因式：=___________ 【答案】 【分析】先对原式中互为相反数的因式变形，提取相同公因式，再用提公因式法完成因式分解． 【详解】解：． 6．若关于x的方程，则代数式的值是_________． 【答案】5 【分析】根据已知方程得到，对所求代数式变形后，利用整体代入法计算即可． 【详解】， ， ． 7．若整式加上一个单项式后，能用完全平方公式分解因式，则加上的单项式是______． 【答案】或或 【分析】根据完全平方公式的结构特征，分情况讨论，确定符合条件的单项式即可． 【详解】解：完全平方公式的结构为，分两种情况讨论： 当和分别为完全平方中的两个平方项时， 此时，，中间项为， 因此可以加上的单项式为或； 当为其中一个平方项，为中间项时，设所加的单项式为， 根据完全平方公式，有，解得， 因此加上的单项式为， 综上，符合条件的单项式为：或或． 8．已知的三边满足：，则 （1）_______； （2）的周长为_______． 【答案】 6 14 【分析】（1）由，用含的代数式表示，代入，整理后配方，利用偶次方的非负性求出、、的值，即可得到所求结果． （2）根据三角形的周长公式解答即可． 【详解】解：（1）， ， 把代入得： 整理得：， 即 ∴ 且 解得：，； （2）由（1）得：，，， ∴的周长为． 三、解答题 9．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提取公因式法计算即可； （2）利用完全平方公式，平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 10．利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．阅读材料，解答问题：若，求的值． 解：，即：， ∴，， ∴． 根据你的观察，探究下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可推出，再由非负数的性质可得答案； （2）根据已知条件可推出，再由非负数的性质可得x、y的值，最后代入求值即可； （3）求出，则可得到，即，利用非负数的性质求出b、c的值，进而求出a的值，最后代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，判断是最大值还是最小值，并求出这个最值； (3)已知正数，，满足，求． 【答案】(1) (2)时，多项式有最大值，最大值为 (3) 【分析】（1）根据题意配方后因式分解即可； （2）配方后利用偶次幂的非负性求解即可； （3）配方后利用偶次幂的非负性求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，多项式有最大值，最大值为． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， 解得：，，， ∴． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章 因式分解 知识点1：因式分解的概念 1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做多项式的因式分解（也叫分解因式）。 2.核心特征： 针对对象：仅多项式（单项式无需分解）； 结果形式：必须是整式的积，相同因式需写成幂的形式； 分解要求：需分解到每一个因式不能再分解为止； 与整式乘法的关系：互为逆变形（非逆运算），前者是恒等变形，后者是运算。 知识点2：提公因式法 1.公因式定义：多项式各项都含有的公共因式。 2.公因式确定方法（五看）： 看系数：提取各项系数的最大公因数； 看字母：取各项相同的字母； 看指数：取相同字母的最低指数； 看整体：相同的多项式整体视为公因式； 看符号：首项为负时，公因式符号取负。 3.分解步骤： 第一步：确定公因式（系数→字母→指数→符号）； 第二步：提取公因式，确定另一个因式； 第三步：写成两个因式的积的形式。 4.注意事项： 公因式提取要彻底，剩余因式无公因式； 提取后括号内项数与原多项式一致。 知识点3：公式法 公式类型 表达式 结构特征 平方差公式 左边：二项式，两项均为平方形式，符号相反； 右边：两个数的和与差的积 完全平方公式 左边：三项式，首末两项为平方形式且符号相同，中间项为两数积的2倍； 右边：两数和（或差）的平方 知识点4：因式分解的一般步骤与拓展方法 1.基本步骤：一提（先提公因式）→二套（再套公式）→三检查（是否分解彻底）。 2.拓展方法： 分组分解法：将多项式分组后，各组提公因式或用公式，再整体提公因式； 十字相乘法：对于型二次三项式，分解为； 换元法：将多项式中重复出现的整体设为新字母，简化后分解； 配方法：通过添减项构造完全平方式，再用平方差公式分解。 【基础必考题型】 【题型1】因式分解的概念辨析 1.核心知识点: 因式分解的定义； 因式分解与整式乘法的区别。 2.解题方法技巧: 定义判断法：紧扣“多项式→整式积”的变形特征，排除“和差形式”“单项式拆分”等情况； 逆运算验证：若变形后能通过整式乘法还原原多项式，则为因式分解； 易错点规避：注意单项式不存在因式分解，含分式的变形不是因式分解。 【例题1】.（25-26八年级上·贵州遵义·期末）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D．前三个都是 【变式题1-1】.（24-25七年级下·山东聊城·月考）下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·四川泸州·期末）下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（2026九年级下·重庆·专题练习）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【题型2】公因式的确定与提公因式法分解 1.核心知识点: 公因式的确定方法； 提公因式法的分解步骤。 2.解题方法技巧: 分步确定公因式：先找系数最大公因数，再找相同字母及最低指数，最后考虑符号； 整体处理技巧：将与转化为相同整体（如）； 检验方法：提取公因式后，用单项式乘多项式验证结果是否与原多项式一致。 【例题2】.（25-26八年级上·湖南湘潭·期末）与的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）写出下列多项式各项的公因式： (1)； (2)． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·江苏常州·月考）分解因式：________ 【变式题2-3】.（25-26八年级下·山东济南·月考）因式分解： (1)； (2)． 【题型3】平方差公式的直接应用 1.核心知识点: 平方差公式的结构特征； 公式的逆用技巧。 2.解题方法技巧: 结构识别：判断多项式是否为“平方-平方”形式，可先整理符号（如）； 整体代换：将多项式中的整体视为公式中的或（如中，为整体）； 分解彻底：分解后检查各因式是否还能继续分解（如需分解为）。 【例题3】.（25-26八年级上·重庆綦江·期末）下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（2026·江苏苏州·模拟预测）因式分解：_____． 【变式题3-2】.（25-26九年级下·福建·月考）因式分解：_______． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·湖北武汉·期末）因式分解： (1)； (2)． 【题型4】完全平方公式的直接应用 1.核心知识点: 完全平方公式的结构特征； 中间项符号与结果形式的关系。 2.解题方法技巧: 三项式识别：首末两项是否为平方数，中间项是否为两平方数底数积的2倍； 符号判断：中间项为正，结果为“和的平方”；中间项为负，结果为“差的平方”； 系数整理：若首项系数不为1，先提取系数化为1后再用公式（如）。 【例题4】.（25-26八年级上·河南周口·期末）下列多项式，①，②，③，④能用公式法分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题4-1】.（25-26八年级下·江苏常州·月考）因式分解：________． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·天津·开学考试）因式分解： 【变式题4-3】.（25-26八年级下·天津·开学考试）因式分解： 【题型5】提公因式法与公式法的简单综合 1.核心知识点: 因式分解的基本步骤； 提公因式后对剩余部分套用公式。 2.解题方法技巧: 优先提公因式：无论是否能直接用公式，先提取各项公因式，简化多项式； 分步分解：提取公因式后，观察剩余部分的结构，选择合适公式继续分解； 结果检验：确保每一步分解都符合法则，无漏项或错符号。 【例题5】.（2026·陕西宝鸡·一模）分解因式：______． 【变式题5-1】.（2026·山东日照·一模）分解因式：________． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·江苏常州·月考）因式分解： (1)； (2)； 【变式题5-3】.（25-26八年级下·江苏无锡·月考）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【培优高频题型】 【题型6】分组分解法分解因式 1.核心知识点: 分组分解法的思路； 分组后提公因式或用公式的技巧。 2.解题方法技巧: 分组原则：分组后能使各组产生公因式，或一组能用公式、另一组能提公因式； 常见分组方式：二二分组（如）、一三分组（如）； 整体提取：分组分解后，观察两组结果的公因式，再次提取完成分解。 【例题6】.（2026·湖南·模拟预测）因式分解：___________． 【变式题6-1】.（24-25八年级下·山东青岛·月考）阅读理解 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： ． 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：分解因式： 解：原式 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）上述材料中例2括号中应填入________； （2）运用拆项添项法分解因式：________． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·广东湛江·期末）阅读材料：在多项式因式分解中，存在一些无法直接用提公因式法或公式分解法分解的多项式．分组因式分解法是指将这类多项式重新分组后，再通过提公因式法或公式法继续分解的方法例如： ． 利用上述分解因式的方法，解决问题． (1)因式分解：； (2)若a，b，c是的三边，求证：； (3)求方程的整数解． 【题型7】十字相乘法分解二次三项式 1.核心知识点: 十字相乘法的适用条件； 常数项分解与一次项系数的关系。 2.解题方法技巧: 分解常数项：将常数项分解为两个因数，使两因数之和等于一次项系数； 十字验证：用十字交叉线表示因数组合，交叉相乘再求和，验证是否等于一次项系数； 拓展应用：对于二次项系数不为1的多项式，先分解二次项系数，再按上述步骤分解（如）。 【例题7】.（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·月考）因式分解： _________ ． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）因式分解时，甲看错了m的值，分解的结果是，乙看错了n的值，分解的结果是．求分解因式的正确结果． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读下列材料，并完成后面的任务． 在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如下图所示． 任务： (1)因式分解：____________． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数的所有可能的值． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·河南开封·期末）【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中位于图的上一行，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1＝，把常数项－6也分解为两个因数的积，即；然后把按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数－1，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：_____； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面式子分解因式： （2） 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：．反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试对下面的式子进行分解因式： ①_____； ②若、均为整数，且、满足，则_____． 【题型8】因式分解在整除问题中的应用 1.核心知识点: 因式分解的方法； 整除的性质（若能整除，则能整除的因式分解式）。 2.解题方法技巧: 因式分解变形：将待判断的代数式因式分解，转化为几个整式的积； 整除判断：观察分解后的因式是否包含除数（或除数的倍数）； 字母限定：若字母为整数，需结合整数的性质分析因式的取值（如，能被4整除）。 【例题8】.（24-25八年级上·全国·期中）【代数推理】阅读下列材料，并完成相应任务． 我们已经知道，能被3整除的数的特征是这个数的各个数位上数的和是3的倍数．证明如下： 已知：一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，若能被3整除． 求证：这个三位数也能被3整除． 证明：根据题意，得这个三位数为． ． ∵能被3整除，也能被3整除， ∴这个三位数能被3整除． 任务：一个四位数的千位、百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，d，若 能被3整除，求证：这个四位数也能被3整除． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·河南新乡·月考）【观察】，， ，…… 【猜想】比任意一个正整数大4的数与这个正整数的平方差能被8整除． 【验证】 （1）若这个正整数是5，通过计算说明9和5的平方差能被8整除． （2）若设这个正整数为n，试说明比n大4的数与n的平方差能被8整除． 【延伸】 （3）试说明比任意一个整数大8的数与这个整数的平方差能被16整除． 【变式题8-2】.（24-25八年级下·福建厦门·月考）数学课上，老师和同学们玩猜数字游戏，小刘按照老师的要求 随意写一个能被9整除的正整数； 将a中的各数位上的数字进行打乱，重新排序，得到数； 计算，得到数； 将c中的各数位上的数字进行打乱，重新排序，得到数； 将d中一个数位上的非零数划去，得到； 将e中的各数位上的数字进行打乱，重新排序，得到数． 小天：老师，我最后得到的数字． 老师：你划去的数字是6． 老师是如何猜到的呢？小天对此非常好奇，经过查阅资料，他发现被9整除的数，其各个数位的数字相加得到的数能够被9整除，证明过程如下： 试证明：一个正整数，若这个数的各个数位的数字相加得到的数能够被9整除，那么原数会被9整除． 证明：设是一个三位数，且能被9整除，则 因为能被9整除，能被9整除， 所以能被9整除 同理可知，一个正整数的各个数位的数字相加得到的数能够被9整除，那么原数会被9整除．请阅读上述材料，回答下列问题： (1)试判断能否被9整除，并说明理由； (2)试证明：这个猜数字游戏中，无论为何值，都会被9整除． (3)若小刘按照猜数字游戏的步骤得到的为3849，则划去的数字是__________． 【变式题8-3】.（2025·安徽六安·三模）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“相邻两个奇数的平方差是否能被8整除）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下： 能否被8整除 能 能 能 能 能 … … 按上表规律，完成下列问题： （ⅰ）____； （ⅱ）若是正整数，请用含的式子描述你能得出的一般性结论，并证明你的结论； (2)兴趣小组还猜测：相邻两个偶数的平方差不能被8整除．师生一起研讨，分析过程如下： 假设相邻两个偶数的平方差能被8整除．令一个偶数为（为正整数），则相邻的一个偶数可表示为，则（为正整数）．因为_____，所以_____，这与为正整数相矛盾，故相邻两个偶数的平方差不能被8整除． 阅读以上内容，请在横线上填写所缺内容． 【压轴素养题型】 【题型9】配方法分解因式 1.核心知识点: 完全平方公式的结构； 配方法的添减项技巧。 2.解题方法技巧: 构造完全平方：对于二次三项式，将二次项和一次项化为完全平方形式，添减常数项保持恒等（如）； 套用平方差：构造完全平方后，若剩余部分为平方差形式，用平方差公式继续分解； 注意事项：添减的常数项为一次项系数一半的平方，确保变形恒等。 【例题9】.（24-25七年级下·江苏泰州·期中）【阅读材料】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：（1）求的最小值． 解：， ，， 当时，即当时，有最小值，最小值为1． 再如：求的最大值． 原式， ，， 当时，有最大值，最大值为11． 【问题解决】 (1)当______时，代数式有最小值； (2)用“配方法”求代数式的最大值； (3)已知，则______． (4)如图，王叔叔准备利用一面墙（墙足够长），用总长度52米的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个1米宽的小门，设长为x米，当x为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？ 【变式题9-1】.（24-25九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①，∵，∴，∴代数式有最小值； ②，∵，∴，∴代数式有最大值4． 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为 ；代数式的最大值为 ； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·湖南郴州·期末）教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式：． ； 再如：求代数式的最小值． ， 可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________． (2)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·上海浦东新·期末） 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （）【理解探究】 已知代数式，则A的最小值为______； （）【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，求这两块菜地的面积和的差并比较两块菜地的大小，并说明理由； 【题型10】因式分解在几何问题中的应用 1.核心知识点: 因式分解的方法； 几何图形的面积、周长公式。 2.解题方法技巧: 几何建模：将几何量（边长、面积）用代数式表示，根据题意建立等式； 因式分解转化：对等式进行因式分解，结合几何量的非负性求解（如已知长方形面积为，则边长为和，即正方形）； 综合应用：结合三角形三边关系、图形拼接等知识，分析因式分解结果的几何意义。 【例题10】.（25-26八年级上·河南驻马店·期中）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式： 解：原式 ②，利用配方法求M的最小值 解： ∵ ∴当时，M有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法分解因式： (2)若，则M有最______值，为______． (3)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为60米的木栅栏围成一个长方形花圃，为了设计一个面积尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为x米，完成下列任务： ①列式：用含x的式子表示花圃的面积：_______平方米； ②请说明当x取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少平方米？ 【变式题10-1】.（25-26八年级上·山西吕梁·期末）阅读下列材料、并完成相应任务． 代数式大小比较 比较任意两个代数式，大小，可采用“作差法”．若时，则；若时、则；若时，则． 例如：当时，比较与的大小． 解： ， …… 解决问题： 数学课上，李老师出示了图1和图2（内外均为长方形，数据如图所示），并问：哪个图形阴影部分的面积更大？嘉嘉同学认为图1中“回”字形阴影部分的面积更大；琪琪同学认为图2中“门”字形阴影部分的面积更大． 任务： (1)请直接写出：图1中“回”字形阴影部分的面积为________；图2中“门”字形阴影部分的面积为________； (2)若，请根据作差法判断哪位同学的想法正确． 【变式题10-2】.（24-25八年级下·山东济南·月考）（1）对于一个矩形，可以通过部分、整体两种方法分别计算它的面积，得到一个等式，要求等式从左边到右边，是一个多项式到几个整式的积的变形形式，相当于对左边的多项式进行因式分解，我们把这样的等式叫“因式分解等式”，如图1、是4个小矩形拼接而成的大矩形，根据计算矩形的面积，可以得到的“因式分解等式”为__________；如图2，若，时，根据计算矩形的面积可以得到的“因式分解等式”为__________； （2）类似的，通过不同的方法表示同一个长方体的体积，也可以探求相应的“因式分解等式”、如图3，棱长为的正方体被分割成8块．则有__________； （3）根据（1）和（2）中的结论解答下列问题：若图1与图2中的a与b的值满足，，求的值． 【变式题10-3】.（24-25八年级下·四川广元·开学考试）数形结合是一种重要的数学思想．《周髀算经》中记载有“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一”，这表明当时人们已经将几何与代数结合在一起研究，其意义重大、影响深远，例如，对于等式，可由图1进行解释：整个大长方形的长为，宽为a，其面积可用长乘以宽得到，也可用1个小正方形的面积与2个小长方形的面积之和来表示． (1)由图2，你能得到的数学等式为：______； (2)观察图3，解决以下问题：若，，求的值． (3)小灵同学用2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，7张两边分别为的长方形纸片拼出了一个大长方形，请你直接写出该大长方形的长和宽． 易错点 混淆因式分解与整式乘法，将误认为是因式分解； 提公因式不彻底，遗漏系数的最大公因数或相同字母的最低指数（如分解为，未提取）； 运用平方差公式时，忽略两项符号相反的条件（如错误分解）； 完全平方公式应用时，遗漏中间项的2倍关系（如误分解为）； 分组分解时分组不当，导致各组无法产生公因式（如将分为）。 重点 1.掌握因式分解的基本方法（提公因式法、公式法），能熟练分解基本类型的多项式； 2.理解因式分解的定义和一般步骤，能区分因式分解与整式乘法； 3.掌握分组分解法、十字相乘法、换元法等拓展方法，能分解复杂多项式； 4.运用因式分解解决化简求值、整除判断、几何计算等实际问题。 难点 1.复杂多项式的因式分解，尤其是需要综合多种方法（如先分组再换元，再套公式）的题目； 2.因式分解在几何、规律探究等跨学科问题中的应用，需建立代数与几何、数字规律的联系； 3.含参数多项式的因式分解，需通过分类讨论确定参数的取值； 4.逆向思维的应用，如根据因式分解结果构造原多项式、补充多项式的缺失项等。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2 3．已知（_______），则横线上应填的代数式是（    ） A． B． C． D． 4．小明是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，，，，，，分别对应“曲”，“美”，“最”，“铁”，“我”，“爱”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．最美铁曲 B．我爱最美 C．我爱美曲 D．我爱铁曲 二、填空题 5．分解因式：=___________ 6．若关于x的方程，则代数式的值是_________． 7．若整式加上一个单项式后，能用完全平方公式分解因式，则加上的单项式是______． 8．已知的三边满足：，则 （1）_______； （2）的周长为_______． 三、解答题 9．因式分解： (1)； (2)． 10．利用因式分解计算： (1)； (2)． 11．阅读材料，解答问题：若，求的值． 解：，即：， ∴，， ∴． 根据你的观察，探究下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)已知，，求的值． 12．阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，判断是最大值还是最小值，并求出这个最值； (3)已知正数，，满足，求． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $