精品解析：河北邯郸市永年区第二中学等校2025-2026学年下学期阶段检测一高一数学

2025～2026下学期阶段检测一 高一数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：必修第二册第六章、第七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列物理量中不是向量的是（ ） A. 重力 B. 时间 C. 加速度 D. 位移 2. 已知复数，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 4. 在中，，，且的面积为5，则角的大小为（ ） A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120° 5. 在钝角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 6. 在中，角，，的对边分别为，，，且，则为（ ） A. 等腰直角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角非等腰三角形 D. 等腰非直角三角形 7. 已知复数，当时，不等式恒成立，则实数t的最大值是（ ） A B. C. D. 8. 已知的内角，，所对的边分别为，，，，，，若，（），若与相交于点，则当取最小值时，（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，复数，，则（ ） A. 的共轭复数为 B. C. 为实数 D. 虚部为-5 10. 如图，在平行四边形中，与交于点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形或直角三角形 C. 已知，，若，则有两解 D. 若为锐角三角形，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为_____． 13. 已知非零向量，满足，且在向量方向上的投影向量为，则，的夹角为_____. 14. 在中，三个内角所对边分别为， ， ，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 设是实数，复数，（是虚数单位）． （1）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围； （2）求的最小值． 16. 已知，. （1）若，且，求，的值； （2）若，且，求坐标. 17. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若的面积为，求的周长． 18. 在中，角的对边分别为，且的面积为 （1）求角的大小； （2）若是的一条中线，求线段的长. 19. 如图所示，直线与边，分别相交于点，，其中内角，，所对的边分别为，，. （1）若，，，，. （ⅰ）求证：； （ⅱ）求和； （2）若（），求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026下学期阶段检测一 高一数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：必修第二册第六章、第七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列物理量中不是向量的是（ ） A. 重力 B. 时间 C. 加速度 D. 位移 【答案】B 【解析】 【详解】向量既有大小又有方向.时间只有大小，没有方向.故选B. 2. 已知复数，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将复数化成的形式，根据的值即可得答案. 【详解】因为， 所以在复平面内对应的点的坐标为. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，即，所以. 4. 在中，，，且的面积为5，则角的大小为（ ） A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120° 【答案】C 【解析】 【详解】的面积， 所以，解得. 因为， 所以角的大小为30°或150°. 5. 在钝角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由余弦定理得， 化简得，解出或2， 当时，为钝角三角形符合题意， 当时，为直角三角形不符合题意. 6. 在中，角，，的对边分别为，，，且，则为（ ） A. 等腰直角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角非等腰三角形 D. 等腰非直角三角形 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 由正弦定理得， 所以. 因为，所以， 所以，即. 所以. 因为，所以. 所以为等腰直角三角形. 方法二： 因， 所以由余弦定理得， 所以，所以. 因为，所以. 因为，所以. 所以为等腰直角三角形. 7. 已知复数，当时，不等式恒成立，则实数t的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分离参数法去转化不等式恒成立，即可求得实数t的最大值. 【详解】因为，又，所以， 由时，不等式恒成立， 则恒成立，即恒成立， 令，因为时，单调递增， 所以，所以实数t的取值范围是． 故选：B 8. 已知的内角，，所对的边分别为，，，，，，若，（），若与相交于点，则当取最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用余弦定理求出，当为线段中点时，，即取最小值，结合已知条件将用表示，最后根据平面向量基本定理得解. 【详解】因为，，， 由余弦定理得：，所以. 因为，所以， 又因为，所以为正三角形. 则当为线段的中点时，，即取最小值， 此时； 又因为，，三点共线，所以， 由平面向量基本定理，得，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，复数，，则（ ） A. 的共轭复数为 B. C. 为实数 D. 的虚部为-5 【答案】BD 【解析】 【分析】求出的共轭复数判断A；求出、可判断B；由复数的加法，求出的值判断C；由复数的乘法运算，求出，可判断D. 【详解】因为的共轭复数为，所以A错误； 因为，，所以B正确； 因为，所以C错误； 因为， 所以虚部为，所以D正确. 10. 如图，在平行四边形中，与交于点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【详解】，， ，， ，故A正确，C错误； ，故B正确，D错误． 11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形或直角三角形 C. 已知，，若，则有两解 D. 若为锐角三角形，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理解三角形判断A，利用正弦定理结合二倍角公式判断B，利用三角形性质可判断C，利用正弦函数性质结合同角三角函数的基本关系判断D即可. 【详解】对A，若，由正弦定理，得，所以，所以A正确； 对B，因为，由正弦定理，得， 所以，即， 因，，所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，所以B正确； 对C，已知，， 当且仅当时，有两解，所以C错误； 对D，因为为锐角三角形，所以，即， 又因为在上为增函数， 且，，所以， 又因为，所以，同理， ，， 即， 所以， 整理得：，所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为_____． 【答案】2 【解析】 【详解】已知复数是纯虚数， ，解得或， ，解得， 综上，． 13. 已知非零向量，满足，且在向量方向上的投影向量为，则，的夹角为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先根据向量垂直性质得到与的关系，再由投影向量得出与的关系，进而求出与的关系，最后根据向量夹角公式求出夹角. 【详解】因，所以，即， 因为在方向上的投影向量为，所以，联立， 可得，所以， 又因为，所以， 所以，的夹角为. 14. 在中，三个内角所对的边分别为， ， ，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知利用余弦定理和基本不等式，可以求出的表达式，对进行化简，最后求出的取值范围． 【详解】因为，，由余弦定理得， 所以， 当且仅当时等号成立． ∴，又 ∴，又因为， 所以，即取值范围为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 设是实数，复数，（是虚数单位）． （1）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的几何意义，列出不等式组，求解即可得出答案； （2）由共轭复数的定义及根据复数的模的公式化简，结合二次函数的性质，即可得出答案． 【小问1详解】 ， 则，解得． 【小问2详解】 ，则，， ， 当时，的最小值为． 16. 已知，. （1）若，且，求，的值； （2）若，且，求的坐标. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算及坐标表示，通过解方程组求参数即可； （2）利用向量共线的坐标表示以及向量的模的定义即可求出的坐标 【小问1详解】 由，， 两式相加得，即； 两式相减得，即； 因为，且， 所以，即， 所以，解得； 【小问2详解】 因为，所以， 又因为，所以，解得，所以， 则或. 17. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理和余弦定理来求解角的大小； （2）应用三角形的面积公式计算边的数量关系. 【小问1详解】 由可知， 由正弦定理，得， 即． 所以， 又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知． 所以， 又， 所以， 所以，即． 所以的周长为． 18. 在中，角的对边分别为，且的面积为 （1）求角的大小； （2）若是的一条中线，求线段的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据面积公式和余弦定理得到，得到答案； （2）由，两边平方结合向量的运算法则计算得到答案. 【小问1详解】 由题意，可得的面积， 所以，所以， 又，所以. 【小问2详解】 为的中点，则，又，， 所以， 故，即线段的长度为. 19. 如图所示，直线与的边，分别相交于点，，其中内角，，所对的边分别为，，. （1）若，，，，. （ⅰ）求证：； （ⅱ）求和； （2）若（），求证：. 【答案】（1）（ⅰ）证明见解析； （ⅱ），； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）应用数量积定义及运算律计算证明；（ⅱ）应用数量积定义及运算律计算求解； （2）应用数量积定义及运算律计算证明. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 因为，，， ， （ⅰ）， 则， 所以，即； （ⅱ）； 因为， 所以 ； 【小问2详解】 因为，所以， 即，和的夹角为， 所以； 如下图，过点作平行于，交于点， 则，所以（或，当点在点的下方时）， 即和的夹角为或， 所以； 与的夹角为， 则， 则有， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $